5.3 三角函数的图象与性质-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

(3)原式= -cos αsin αtan α tan αsin α = -cos α. (4) 原式 = - sin αsin α- 3π 2 +2π( ) ( - tan α) = - sin αsin ( α+ π 2 ) (-tan α)= -sin αcos α(-tan α)= sin 2α. 典例 7 【解】当 n= 2k,k∈Z 时, 原式= sin(α +2kπ)+sin(α-2kπ) sin(α+2kπ)cos(α-2kπ) = 2 cos α . 当 n= 2k+1,k∈Z 时, 原式= sin[α +(2k+1)π]+sin[α-(2k+1)π] sin[α+(2k+1)π]cos[α-(2k+1)π] = - 2 cos α . 综上,原式= 2 cos α ,n 为偶数, - 2 cos α ,n 为奇数. ì î í ï ï ï ï 典例 8 【解】(1)因为 sin(π+α)= -sin α= 3 5 , 所以 sin α= - 3 5 . 又 α 是第四象限角,所以 cos α= 4 5 , 所以 cos(α-π)= cos(π-α)= -cos α= - 4 5 . (2)因为 sin π 2 -α( ) = cos α= - 1 3 ,且 α∈(0,π), 所以 sin α= 1-cos 2α = 2 2 3 , 所以 tan α= sin α cos α = -2 2 ,所以 tan(α+π)= tan α= -2 2 . (3)因为 tan(π+α)= 3,所以 tan α= 3, 所以 2cos(π-α)-3sin(π+α) 4cos(-α)+sin(2π-α) = -2cos α+3sin α 4cos α-sin α = -2+3tan α 4-tan α = -2+3×3 4-3 = 7. 变式题 (1) 3 5 　 (2)2 2 3 　 (3) 5 9 【解析】(1)通过观察可知 π 3 - x 与 x + π 6 的 和 为 π 2 , 由 诱 导 公 式 得 sin π 3 -x( ) = cos π 2 - π 3 -x( )é ë êê ù û úú =cos x+ π 6( ) , ∴ cos x+ π 6( ) = 3 5 . (2)∵ cos(α-55°)= - 1 3 <0,且 α 是第四象限角, ∴ α-55°是第三象限角, ∴ sin(α-55°)= - 1-cos2(α-55°) = - 2 2 3 . ∵ α+125° = 180°+(α-55°), ∴ sin(α+125°)= sin[180°+(α-55°)] = -sin(α-55°)= 2 2 3 . (3)∵ cos 4π 3 -α( ) = cos 3π2 - π 6 +α( )é ë êê ù û úú = -sin ( π6 +α ) = - 1 3 , cos 2 7π 6 +α( ) = -cos π6 +α( ) é ë êê ù û úú 2 =cos 2 π 6 +α( ) =1-sin2 π6 +α( ) = 8 9 , ∴ cos 4π 3 -α( ) +cos 2 7π 6 +α( ) = - 13 + 8 9 = 5 9 . 5.3　三角函数的图象与性质 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ① x x≠ π 2 +kπ,k∈Z{ } 　 ②[ -1,1] 　 ③R　 ④2π　 ⑤1　 ⑥-1　 ⑦奇函数 　 ⑧偶函数 　 ⑨奇函数 　 ⑩( kπ,0) ( k∈ Z)　 􀃊􀁉􀁓 ( kπ+ π2 ,0 ) (k∈Z)　 􀃊􀁉􀁔 ( kπ 2 ,0 ) (k∈Z)　 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1) 4π 3 , 5π 3( ) 　 (2) x π 4 +2kπ<x< 7π 4 +2kπ,k∈Z}{ (3) ( kπ2 - π 6 ,kπ 2 + π 8 ] ,k∈Z　 (4) 0, π 4( ) ∪ 5π 4 ,2π( ) 【解析】(1)画出 y= sin x,x∈[0,2π]的大致图象,如图所示. 因为 sin π 3 = 3 2 ,所以 sin π+ π 3( ) = - 3 2 ,sin ( 2π- π3 ) = - 3 2 , 即在[0,2π]内,满足 sin x= - 3 2 的是 x= 4π 3 和 x= 5π 3 , 所以不等式 sin x<- 3 2 的解集是 4π 3 , 5π 3( ) . (2)要使函数 y = lg( 2 - 2cos x)有意义,则 2 - 2cos x> 0,可 得 cos x< 2 2 ,作出 y = cos x 的大致图象和直线 y = 2 2 ,如图 所示. 由图象可知,cos x< 2 2 的解集为{ x π4 +2kπ<x< 7π 4 +2kπ,k∈Z} . (3)令 tan 2x= 1,则 2x= π 4 +kπ,k∈Z,解得 x= π 8 +kπ 2 ,k∈Z; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 令 tan 2x = - 3 ,则 2x = - π 3 + kπ,k∈Z,解得 x = - π 6 + kπ 2 , k∈Z. 因为- 3 <tan 2x≤1,所以- π 6 +kπ 2 <x≤ π 8 +kπ 2 ,k∈Z,即原不 等式的解集为 ( - π6 + kπ 2 , π 8 +kπ 2 ] ,k∈Z. (4)作出 y= sin x 和 y = cos x 在 x∈(0,2π)的函数图象,如图 所示. 根据函数图象可得,满足 cos x>sin x 的 x 的取值范围为 0, π 4( ) ∪ 5π 4 ,2π( ) . 典例 2 【解】(1)T= 2π 1 2 = 4π. (2)T= 2π 3 . (3)作出函数 y= | cos x | 的大致图象,如图所示(实线部分) . 由图象可知,y= | cos x |的最小正周期为 π. (4)作出函数 y= | sin 2x | (x∈R)的大致图象,如图所示. 由图 象可知,函数 y= | sin 2x |的最小正周期为 π 2 . 典例 3 【解】(1)因为 x∈R, f(-x)= 　 2 sin(-2x) = -　 2 sin 2x = -f(x), 所以函数 f(x)=　 2 sin 2x 是奇函数. (2)因为 x∈R,f(x)= sin ( 3x4 + 3π 2 ) = -cos 3x 4 , 所以 f(-x)= -cos ( - 3x4 ) = -cos 3x 4 = f(x), 所以函数 f(x)= sin ( 3x4 + 3π 2 )是偶函数. (3)因为 x∈R,f(-x)= sin | -x | = sin | x | = f(x), 所以函数 f(x)= sin | x |是偶函数. (4)由 1-cos x≥0, cos x-1≥0,{ 得 cos x= 1,所以 x = 2kπ(k∈Z),关于原 点对称,此时 f(x)= 0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 变式题 (1)5π 6 　 ( 2) π 3 【解析】 ( 1) 因为 f( x) = 3sin ( 2x- π 3 +φ )为偶函数,所以- π3 +φ= kπ+ π 2 ,k∈Z. 又因为 φ∈(0,π),所以 φ= 5π 6 . (2)因为 f(x)= 3sin 2x- π 3 +φ( ) 为奇函数, 所以- π 3 +φ= kπ,k∈Z. 又因为 φ∈(0,π),所以 φ= π 3 . 典例 4 D 【解析】 因为 f ( x) 的最小正周期 T = π, 所以 f ( 5π3 ) = f ( 5π 3 -2π ) = f ( - π3 ) . 又 y = f( x)是偶函数,所以 f(-x)= f(x), 所以 f ( 5π3 ) = f ( - π 3 ) = f ( π 3 ) = sin π 3 = 3 2 . 故选 D. 典例 5 (1) -5π 6 ,- π 3 é ë êê ù û úú 　 (2) ( kπ2 - π 12 ,kπ 2 + 5π 12 ) ,k∈Z 　 (3) 3 2 【解析】(1)方法一:令 z = 2x+ π 6 ,x∈[ -π,0],则 z∈ -11π 6 , π 6 é ë êê ù û úú ,因为 y = sin z,z∈ -11π 6 , π 6 é ë êê ù û úú 的单调递减区间 为 -3π 2 ,- π 2 é ë êê ù û úú ,且由- 3π 2 ≤2x+ π 6 ≤- π 2 ,得- 5π 6 ≤x≤- π 3 , 所以函数 y = 2sin 2x+ π 6( ) , x∈ [ - π, 0] 的单调递减区间 为 -5π 6 ,- π 3 é ë êê ù û úú . 方法二:正弦函数 y= sin u 的单调递减区间为 [ π2 +2kπ, 3π 2 + 2kπ ] (k∈Z), 由 π 2 +2kπ≤2x+ π 6 ≤3π 2 +2kπ(k∈Z), 解得 π 6 +kπ≤x≤2π 3 +kπ(k∈Z) . 记 A = π 6 +kπ, 2π 3 +kπé ë êê ù û úú ( k ∈ Z ), 则 A ∩ [ - π, 0 ] = -5π 6 ,- π 3 é ë êê ù û úú ,所以函数 y = 2sin 2x+ π 6( ) ,x∈[ -π,0]的单调 递减区间为 -5π 6 ,- π 3 é ë êê ù û úú . (2)令 kπ- π 2 <2x- π 3 <kπ+ π 2 ,k∈Z, 解得 kπ 2 - π 12 <x<kπ 2 +5π 12 ,k∈Z, 所以函数 y = tan 2x- π 3( ) 的单调递增区间为 ( kπ 2 - π 12 ,kπ 2 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17 5π 12 ) ,k∈Z. (3)因为 x∈ 0, π 2 é ë êê ù û úú ,所以 ωx+ π 4 ∈ π 4 ,ω· π 2 + π 4 é ë êê ù û úú . 因为函数 y = 3 2 cos ωx+ π 4( ) (ω>0)在区间 0, π 2 é ë êê ù û úú 上单调递 减,所以 ω· π 2 + π 4 ≤π, 又 ω>0,所以 0<ω≤ 3 2 ,所以 ω 的最大取值为 3 2 . 典例 6 (1) - 3 2 ,3é ë êê ù û úú 　 (2)1　 (3) 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú 【解析 】 ( 1 ) 当 x ∈ 0, π 2 é ë êê ù û úú 时, 2x - π 6 ∈ - π 6 , 5π 6 é ë êê ù û úú , sin 2x- π 6( ) ∈ - 1 2 ,1é ë êê ù û úú , 所以 3sin 2x- π 6( ) ∈ - 3 2 ,3é ë êê ù û úú ,即 f(x)= 3sin 2x- π 6( ) 在区间 0, π 2 é ë êê ù û úú 上的值域为 - 3 2 ,3é ë êê ù û úú . (2)由题意得 a≠0, 当 a > 0 时, a+b=1, -a+b=-3,{ 解得 a=2, b=-1,{ 此时 g(x)= -sin 2x+ π 3( ) ,其最大值为 1. 当 a < 0 时, a+b= -3, -a+b= 1,{ 解得 a= -2, b= -1,{ 此时 g(x) = -sin ( -2x+ π3 ) ,其最大值为 1. 综上,g(x)的最大值为 1. (3) f(x)= cos 2x+sin x+1 = 1-sin 2x+sin x+1 = -sin 2x+sin x+2, 令 t= sin x,x∈ π 4 , 7π 6( ù û úú ,则 t∈ - 1 2 ,1é ë êê ù û úú . 因为 f( t) = - t2 + t+ 2 图象的对称轴方程为 t = 1 2 ,图象开口 向下, 所以 f( t) min = - - 1 2( ) 2 - 1 2 + 2 = 5 4 , f ( t) max = - 1 2( ) 2 + 1 2 + 2 = 9 4 , 所以 f( t)∈ 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú ,所以 f(x)∈ 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú , 所以函数 f ( x) = cos 2x + sin x + 1 在 π 4 , 7π 6( ù û úú 上的值域 为 5 4 , 9 4 é ë êê ù û úú . 典例 7 (1)- π 6 　 (2) π 6 【解析】(1) 由题意得 f π 3( ) = sin 2π 3 +φ( ) = ±1, ∴ 2π 3 +φ= kπ+ π 2 (k∈Z), ∴ φ= kπ- π 6 (k∈Z) . ∵ φ∈ - π 2 , π 2( ) ,∴ φ= - π 6 . (2)∵ 函数 y= 3cos(2x+φ)的图象关于点 4π 3 ,0( ) 中心对称, ∴ 2×4π 3 +φ = kπ + π 2 ,k∈Z,得 φ = kπ - 13π 6 ,k∈Z,由此得 |φ | min = π 6 . 5.4　三角恒等变换 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①cos αcos β+sin αsin β　 ②cos αcos β-sin αsin β ③sin αcos β-cos αsin β　 ④sin αcos β+cos αsin β ⑤1+tan αtan β　 ⑥tan α+tan β　 ⑦cos 2α-sin 2α ⑧2cos 2α-1　 ⑨ 2tan α 1-tan 2α 　 ⑩± 　 1-cos α 1+cos α 三、思考辨析 1. √　 2. √　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1)7π 4 　 (2) 1 7 　 π 4 【解析】(1)因为 α,β 为钝角,sin α= 5 5 ,cos β= -3 10 10 , 所以 cos α= -2 5 5 ,sin β= 10 10 , 所以 cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β= 2 2 >0. 又 α+β∈(π,2π),所以 α+β∈ ( 3π2 ,2π ) ,所以 α+β= 7π 4 . (2)因为 tan(α+β)= 9 13 ,tan β- π 4( ) = - 1 3 , 所 以 tan α+ π 4( ) = tan α+β- β- π 4( ) é ë êê ù û úú = tan(α+β)-tan β- π 4( ) 1+tan(α+β)tan β- π 4( ) = 9 13 + 1 3 1- 9 13 × 1 3 = 4 3 , 所以 tan α= tan α+ π 4( ) - π 4 é ë êê ù û úú = tan α+ π 4( ) -tan π 4 1+tan α+ π 4( ) tan π 4 = 1 7 . 因为 cos γ = 3 10 10 ,所以 cos 2γ = 2cos2γ - 1 = 2 × 3 10 10( ) 2 - 1 = 4 5 . 又 γ 为锐角,所以 0< 2γ< π 2 ,所以 sin 2γ = 1-cos22γ = 3 5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 5.3 三角函数的图象与性质 >>答案链接 P16 1. 正弦曲线、余弦曲线相邻两条对称中心、相邻两条对称轴之间的距离都是半个周期,相邻的对称 中心与对称轴之间的距离是 1 4 个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2. 对于 y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),若为偶函数,则 φ= π 2 +kπ(k∈Z);若为奇函数,则 φ= kπ(k∈Z) . 069 对于 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0),若为偶函数,则 φ= kπ(k∈Z);若为奇函数,则 φ= π 2 +kπ(k∈Z) . 对于 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),若为奇函数,则 φ= kπ 2 (k∈Z) . 3. 最小正周期 (1)【RJA 版·必修第一册·P203·探究与发现】函数 y = Asin(ωx+φ),x∈R 及函数 y = Acos(ωx+ φ),x∈R(其中 A,ω,φ 为常数,且 A≠0,ω>0)的最小正周期为 T= 2π ω . 推导:令 z=ωx+φ,则 z∈R,y=Asin z 及 y=Acos z 的最小正周期都是 2π, 因为 z+2π = (ωx+φ) +2π =ω x+ 2π ω( ) +φ,所以 T= 2π ω . (2)函数 y=Atan(ωx+φ) +b 其中 A,ω,φ 为常数,且 A≠0,ω>0,ωx+φ≠ π 2 +kπ,k∈Z( ) 的最小正周期 为 T= π ω . 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ” . 1. 存在 x∈R 满足 sin x= 2 . 　 　 ( 　 　 ) 2. y= sin | x |与 y= | sin x |都是周期函数. 　 　 (　 　 ) 3. 函数 y= sin x,x∈( -π,π]是奇函数. (　 　 ) 4. 正切函数 y= tan x 在定义域内不是增函数. (　 　 ) 5. 在区间[0,2π]上,函数 y= cos x 仅在 x= 0 时取得最大值 1. 　 　 (　 　 ) >>答案链接 P16 考点一 解三角不等式 解三角不等式,通常要结合三角函数的图象求解. 在求解三角不等式的过程中,我们还要考虑角的范 围、特殊角等因素,同时也要注意不等式的严格性(是否包含等号). (1)在[0,2π]内,不等式 sin x<- 3 2 的解集是 . (2)函数 y= lg( 2 -2cos x)的定义域是 . (3)不等式- 3 <tan 2x≤1 的解集为 . (4)在 x∈(0,2π)上,满足 cos x>sin x 的 x 的取值范围是 . 070 考点二 三角函数的周期性 求三角函数的周期的方法:(1)定义法:使函数满足周期性的一个非零常数即为函数的周期;(2)公式 法:正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和余弦型函数 y = Acos(ωx+φ) (Aω≠0)的最小正周期 T = 2π |ω | ;正切型函数 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期 T= π |ω | . 求下列函数的最小正周期: (1)y= 3 sin ( x2 - π 4 ) ;(2)y= 2cos (3x+ π 6 ) ;(3)y= | cos x | ;(4)y= | sin 2x | . 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三 三角函数的奇偶性 判断一般函数的奇偶性的方法,对于三角函数仍然是适用的,这里不再赘述. 需要强调的是,可视情 况对三角函数进行适当的化简,然后再判断其奇偶性. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)= 2 sin 2x;(2) f(x)= sin 3x 4 +3π 2( ) ;(3) f(x)= sin | x | ;(4) f(x)= 　 1-cos x +　 cos x-1 . 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知函数 f(x)= 3sin (2x- π3 +φ ) ,φ∈(0,π) . (1)若 f(x)为偶函数,则 φ= ;(2)若 f(x)为奇函数,则 φ= . 071 考点四 奇偶性与周期性的综合问题 奇偶性与周期性结合考查,是高考中经常给的出题模式,需要熟练掌握相关结论. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈ 0, π 2 é ë ê ê ù û ú ú 时,f(x)= sin x,则 f 5π 3( ) 等于(　 　 ) A. - 1 2 　 　 　 B. 1　 　 　 C. - 3 2 　 D. 3 2 考点五 三角函数的单调区间及最值 对于正弦型函数、余弦型函数和正切型函数,分析其在某区间内的单调性时,一般有两种常用的方法. (1)换元法:如分析 y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)在区间[m,n]上的单调性时,可令 t=ωx+φ,求得 t 的取值 范围为[M,N],分析函数 y= sin t 在区间[M,N]上的单调性. (2)利用三角函数的单调性求出原函数所有的单调区间,然后再看所给区间与求出来的单调区间有 哪些交集,从而确定原函数在所给区间内的单调性. (1)函数 y= 2sin 2x+ π 6( ) ,x∈[ -π,0]的单调递减区间为 . (2)函数 y= tan 2x- π 3( ) 的单调递增区间为 . (3)若函数 y= 3 2 cos ωx+ π 4( ) (ω>0)在 0, π 2 é ë ê ê ù û ú ú 上单调递减,则 ω 的最大取值为 . (1) f(x)= 3sin 2x- π 6( ) 在区间 0, π 2 é ë ê ê ù û ú ú 上的值域为 . (2)若 f(x)= acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,则 g(x)= bsin (ax+π3 )的最大值为 　 . (3)函数 f(x)= cos 2x+sin x+1 在 π 4 , 7π 6( ù û ú ú 上的值域为 . 考点六 三角函数图象的对称性 对称轴处,y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和 y = Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的值一定取到最值;对称中心处,y = Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和 y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的值一定是 0,但 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的值可能 为 0,也可能没有意义. (1)已知函数 y= sin(2x+φ) - π 2 <φ< π 2( ) 的图象关于直线 x= π 3 对称,则 φ 的值为 . (2)如果函数 y= 3cos(2x+φ)的图象关于点 4π 3 ,0( ) 中心对称,那么 |φ |的最小值为 . 072