5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

①逆　 ②顺　 ③α+k·360°　 ④半径长　 ⑤57. 30° ⑥ |α |R　 ⑦ 1 2 |α |R2 　 ⑧sin α　 ⑨cos α　 ⑩tan α 二、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1)D　 (2)D 【解析】(1)方法一:由 α 为第四象限 角,可得 270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z,所以 540°+ 2k·360°<2α<720°+2k·360°,k∈Z, 此时 2α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的非正半轴上,所以 sin 2α<0. 故选 D. 方法二(特值法):令 α = - 30°,则 cos 2α = cos ( - 60°) > 0, sin 2α = sin ( - 60°) < 0,B,C 错误;令 α = - 60°,则 cos 2α = cos(-120°)<0,A 错误. 故选 D. (2)因为 α 是第三象限角,所以 180°+k·360°<α<270°+k· 360°,k∈Z,所以 90°+k·180°< α 2 <135°+k·180°,k∈Z,当 k 为偶数时, α 2 是第二象限角;当 k 为奇数时, α 2 是第四象限 角. 故选 D. 典例 2 【解】(1) 7 12 π = 7 12 π× 180 π( ) ° = 105°. (2)-13 6 π = -13 6 π× 180 π( ) ° = -390°. (3)1 125° = 1 125× π 180 = 25 4 π. (4)-225° = -225× π 180 = - 5 4 π. (5)36° = 36× π 180 = π 5 . (6)-150° = -150× π 180 = -5π 6 . 典例 3 【解】设扇形 AOB 的半径为 r cm,弧长为 l cm,圆心角 为 α. (1)由题意知 2r+l= 8, 1 2 lr= 3,{ 解得 r= 3,l= 2{ 或 r= 1,l= 6,{ ∴ α= l r = 2 3 或 6. (2)∵ 扇形 AOB 的周长为 8 cm,∴ 2r+l= 8, ∴ 扇形 AOB 的面积 S = 1 2 lr = 1 4 l· 2r≤ 1 4 l+2r 2( ) 2 = 1 4 × 8 2( ) 2 = 4,当且仅当 2r = l,即 α = l r = 2,r = 2 时,S 取得最大 值 4, ∴ 弦长 AB= 2sin 1×2 = 4sin 1, ∴ 扇形 AOB 的面积取得最大值时,圆心角的大小为 2,弦长 AB 为 4sin 1 cm. 典例 4 (1)-16 13 　 (2) 3 10 +30 10 或 3 10 -30 10 【解析】(1)由任意角的正弦函数、正切函数的定义知 sin α = 12 13 ,tan β= 4 5 - 3 5 = - 4 3 ,所以 sin α·tan β= 12 13 × ( - 43 ) = - 16 13 . (2)因为 r= x2 +9 ,cos θ= x r ,所以 10 10 x= x x2 +9 . 又 x≠0,所以 x= ±1,所以 r= 10 . 因为 y= 3>0,所以 θ 是第一或第二象限角. 当 θ 为第一象限角时, sin θ = 3 10 10 , tan θ = 3, 则 sin θ + tan θ= 3 10 +30 10 . 当 θ 为第二象限角时,sin θ= 3 10 10 ,tan θ= -3,则 sin θ+tan θ= 3 10 -30 10 . 变式题 【解】 r= (-3a) 2 +(4a) 2 = 5 | a | . ①若 a > 0, 则 r = 5a, α 为第二象限角, sin α = y r = 4a 5a = 4 5 ,cos α= x r = -3a 5a = - 3 5 , 所以 2sin α+cos α= 8 5 - 3 5 = 1. ②若 a< 0,则 r = - 5a,α 为第四象限角, sin α = 4a-5a = - 4 5 , cos α= -3a -5a = 3 5 , 所以 2sin α+cos α= - 8 5 + 3 5 = -1. 综上,2sin α+cos α 的值为±1. 5.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①1　 ②tan α　 ③-sin α　 ④-cos α　 ⑤-sin α　 ⑥-tan α　 ⑦-cos α　 ⑧cos α　 ⑨sin α　 ⑩cos α　 􀃊􀁉􀁓-sin α 二、思考辨析 1. √　 2. 　 3. 　 4. √　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 【解】(1)因为 cos α= - 8 17 <0, 所以 α 是第二或第三象限角. 若 α 是第二象限角,则 sin α = 1-cos2α = 15 17 ,tan α = sin α cos α = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 15 17 - 8 17 = -15 8 . 若 α 是第三象限角,则 sin α = - 1-cos2α = - 15 17 , tan α = sin α cos α = 15 8 . 提醒：本题容易忽略对 α 的终边所在象限的讨论,从而导 致求解出错. (2)方法一(常规解法):由已知得 sin α cos α = 2,① sin2α+cos2α= 1,② ì î í ïï ï 由①得 sin α= 2cos α,代入②得 4cos2α+cos2α= 1, 所以 cos2α= 1 5 . 又 α∈ ( π,3π2 ) ,所以 cos α<0,所以cos α= - 5 5 . 方法二(速解):将角 α 视为直角三角形中的一个内角,如图 所示,在 Rt△ABC 中,直角边 AC,BC 的长分别为 1,2,tan α = tan A=BC AC = 2, 则 AB= 5 ,所以 cos α= 5 5 . 又 α∈ ( π,3π2 ) ,所以 cos α<0,所以 cos α= - 5 5 . 典例 2 A 【解析】∵ tan 2α= cos α 2-sin α , ∴ tan 2α= sin 2α cos 2α = 2sin αcos α 1-2sin2α = cos α 2-sin α . ∵ α∈ 0, π 2( ) ,∴ cos α≠0, ∴ 2sin α 1-2sin2α = 1 2-sin α ,解得sin α= 1 4 , ∴ cos α= 1-sin 2α = 15 4 ,∴ tan α= sin α cos α = 15 15 . 故选 A. 典例 3 - 12 5 【解析】方法一 (构建方程组):因为 sin α + cos α= 7 13 ,① 所以 sin2α+cos2α+2sin αcos α= 49 169 ,即 2sin αcos α= -120 169 . 因为 α∈(0,π),所以 sin α>0,cos α<0, 所以 sin α - cos α = (sin α-cos α) 2 = 1-2sin αcos α = 17 13 . ② 由①②解得 sin α= 12 13 ,cos α= - 5 13 ,所以 tan α= sin α cos α = -12 5 . 方法二(弦化切):同方法一求出 sin αcos α= - 60 169 , 所以 sin αcos α sin2α+cos2α = - 60 169 ,等式左边分子、分母同时除以cos2α, 得 tan α tan2α+1 = - 60 169 , 整理得 60tan2α+169tan α+60 = 0, 解得 tan α= - 5 12 或 tan α= -12 5 . 由 sin α+cos α= 7 13 >0,sin αcos α= - 60 169 <0, 知 | sin α | > | cos α | ,故 tan α= -12 5 . 典例 4 (1)C 　 (2) - 3 5 　 1 3 【解析】 (1) sin θ(1+sin 2θ) sin θ+cos θ = sin θ(sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ) sin θ+cos θ = sin θ ( sin θ + cos θ ) = sin θ(sin θ+cos θ) sin 2θ+cos 2θ = tan 2θ+tan θ tan 2θ+1 = 4-2 4+1 = 2 5 . 故选 C. (2)cos 2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θ cos 2θ+sin 2θ = 1-tan 2θ 1+tan 2θ = 1-2 2 1+22 = - 3 5 , tan ( θ- π4 ) = tan θ-1 1+tan θ = 2-1 1+2 = 1 3 . 典例 5 【解】 ( 1)方法一:sin 1 320° = sin( 3 × 360° + 240°) = sin 240° = sin(180°+60°)= -sin 60° = - 3 2 . 方法二: sin 1 320° = sin ( 4 × 360° - 120°) = sin ( - 120°) = -sin(180°-60°)= -sin 60° = - 3 2 . (2) tan ( - 945°) = - tan 945° = - tan ( 225° + 2 × 360°) = -tan 225° = -tan(180°+45°)= -tan 45° = -1. ( 3 ) 原 式 = cos(360° +225°) sin(360°+135°)-sin(360°+210°) = cos(180°+45°) sin(180°-45°)-sin(180°+30°) = -cos 45° sin 45°-(-sin 30°) = - 2 2 2 2 + 1 2 = 2 -2. 典例 6 【解】(1) 原 式 = sin(180° +α)·cos α tan α = -sin α·cos α tan α = -cos2α. (2)原式= sin α(-cos α) cos αtan α = -cos α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 (3)原式= -cos αsin αtan α tan αsin α = -cos α. (4) 原式 = - sin αsin α- 3π 2 +2π( ) ( - tan α) = - sin αsin ( α+ π 2 ) (-tan α)= -sin αcos α(-tan α)= sin 2α. 典例 7 【解】当 n= 2k,k∈Z 时, 原式= sin(α +2kπ)+sin(α-2kπ) sin(α+2kπ)cos(α-2kπ) = 2 cos α . 当 n= 2k+1,k∈Z 时, 原式= sin[α +(2k+1)π]+sin[α-(2k+1)π] sin[α+(2k+1)π]cos[α-(2k+1)π] = - 2 cos α . 综上,原式= 2 cos α ,n 为偶数, - 2 cos α ,n 为奇数. ì î í ï ï ï ï 典例 8 【解】(1)因为 sin(π+α)= -sin α= 3 5 , 所以 sin α= - 3 5 . 又 α 是第四象限角,所以 cos α= 4 5 , 所以 cos(α-π)= cos(π-α)= -cos α= - 4 5 . (2)因为 sin π 2 -α( ) = cos α= - 1 3 ,且 α∈(0,π), 所以 sin α= 1-cos 2α = 2 2 3 , 所以 tan α= sin α cos α = -2 2 ,所以 tan(α+π)= tan α= -2 2 . (3)因为 tan(π+α)= 3,所以 tan α= 3, 所以 2cos(π-α)-3sin(π+α) 4cos(-α)+sin(2π-α) = -2cos α+3sin α 4cos α-sin α = -2+3tan α 4-tan α = -2+3×3 4-3 = 7. 变式题 (1) 3 5 　 (2)2 2 3 　 (3) 5 9 【解析】(1)通过观察可知 π 3 - x 与 x + π 6 的 和 为 π 2 , 由 诱 导 公 式 得 sin π 3 -x( ) = cos π 2 - π 3 -x( )é ë êê ù û úú =cos x+ π 6( ) , ∴ cos x+ π 6( ) = 3 5 . (2)∵ cos(α-55°)= - 1 3 <0,且 α 是第四象限角, ∴ α-55°是第三象限角, ∴ sin(α-55°)= - 1-cos2(α-55°) = - 2 2 3 . ∵ α+125° = 180°+(α-55°), ∴ sin(α+125°)= sin[180°+(α-55°)] = -sin(α-55°)= 2 2 3 . (3)∵ cos 4π 3 -α( ) = cos 3π2 - π 6 +α( )é ë êê ù û úú = -sin ( π6 +α ) = - 1 3 , cos 2 7π 6 +α( ) = -cos π6 +α( ) é ë êê ù û úú 2 =cos 2 π 6 +α( ) =1-sin2 π6 +α( ) = 8 9 , ∴ cos 4π 3 -α( ) +cos 2 7π 6 +α( ) = - 13 + 8 9 = 5 9 . 5.3　三角函数的图象与性质 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ① x x≠ π 2 +kπ,k∈Z{ } 　 ②[ -1,1] 　 ③R　 ④2π　 ⑤1　 ⑥-1　 ⑦奇函数 　 ⑧偶函数 　 ⑨奇函数 　 ⑩( kπ,0) ( k∈ Z)　 􀃊􀁉􀁓 ( kπ+ π2 ,0 ) (k∈Z)　 􀃊􀁉􀁔 ( kπ 2 ,0 ) (k∈Z)　 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. 　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1) 4π 3 , 5π 3( ) 　 (2) x π 4 +2kπ<x< 7π 4 +2kπ,k∈Z}{ (3) ( kπ2 - π 6 ,kπ 2 + π 8 ] ,k∈Z　 (4) 0, π 4( ) ∪ 5π 4 ,2π( ) 【解析】(1)画出 y= sin x,x∈[0,2π]的大致图象,如图所示. 因为 sin π 3 = 3 2 ,所以 sin π+ π 3( ) = - 3 2 ,sin ( 2π- π3 ) = - 3 2 , 即在[0,2π]内,满足 sin x= - 3 2 的是 x= 4π 3 和 x= 5π 3 , 所以不等式 sin x<- 3 2 的解集是 4π 3 , 5π 3( ) . (2)要使函数 y = lg( 2 - 2cos x)有意义,则 2 - 2cos x> 0,可 得 cos x< 2 2 ,作出 y = cos x 的大致图象和直线 y = 2 2 ,如图 所示. 由图象可知,cos x< 2 2 的解集为{ x π4 +2kπ<x< 7π 4 +2kπ,k∈Z} . (3)令 tan 2x= 1,则 2x= π 4 +kπ,k∈Z,解得 x= π 8 +kπ 2 ,k∈Z; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 5.2同角三角函数的基本关系与 必修第 册 诱导公式 第 研课本·划重点 章 >答案链接P14 知识梳理 三角函 同角三角 平方关系：sina+cosa=D 函数的基 本关系 商数关系：m4-②— cos a (a授+k,keZ) 公式-：sin(a+2kr)=sina,cos(a+2km)=cosa,tan(a+2kr)=tana,k∈Z 终边相同的角的三角函数值 公式二：sin(π+a)-3 cos(π+a)-④ .tan(π+t)）tanu 终边关于原点对称的角的三角函数值 公式三：sin(-a)= cos(-a)=cosa,tan(-a)=⑥】 诱导 终边关于x轴对称的角的三角函数值 公式 公式四：sin(π-a)=sin&,cos(π-a)=(⑦】 tan(a-a)=-tan a 终边关于轴对称的角的三角函数值 公式五：sim受-a⑧ co5-叶g 终边关于直线y=x对称的角的三角函数值 公式六：sim(受+a-0一，cos(3+a-① 奇变偶不 前提一将诱导公式统一为经±a(k∈Z)的三角函数与：的三角函数的关系 变，符号 看象限 奇变偶不变：“奇偶”指的是的系数k是奇数还是偶数，当k为奇数时，sn变 含义 为cos或cos变为sin:当k为偶数时，sin或cos不发生改变 符号看象限： 假定：是第一象限角，看的是钙±αk∈Z)的终边所在象限的三角 函数名的符号 二思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”. 1.sin(-a-360)=-sin a. 2.cos(-a+B)=-cos(a-B). 065 回归课本 3.诱导公式中的角α只能是锐角. A+B C 高 4.在△ABC中，in2=cos2 数学 5.利用诱导公式化简sin(kπ+a)(k∈Z)时，化简结果与k有关. () 快提升·练典例 >答案链接P14 考点一同角三角函数的基本关系及其应用 考向1知一求三 9示通法 (l)若已知sina(cosa),由平方关系求cosc(sina),再由商数关系求ana,若a的终边所在的象 限不确定，则需要讨论α是第几象限角，再求未知的三角函数值 (2)若已知tana,利用n =tana和sin'a+cos2a=1列方程组，求得sina和cosa cos a 因圆1()已知casa=7求血&，ama的值 8 (2)已知a∈(a,),ama=2,求csa的值 【点拨】(1)没有给出角α的范围，需要根据cosa的值进行讨论. (2)直接根据角《的范围求解即可. 奥圆2【221·全国甲，理·91若ae0, cos a ,tan 2a= 2-sin a ,则tana=( 得 5 .5 C. D.15 3 【点拨】解答本题的关键是利用二倍角公式对已知等式进行变形，再利用同角三角函数的基本关系求解 4066 考向2综合求值 必修第 示通法 册 (1)sin a+cosa,sina-cosa,sin acos a三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求 第 二”.sina与cosa的和、差、积转化需要用到(sina±cosa)2=1±2 sin acos a.求sina+cosa或 章 sina-cos a的值时，要注意根据角的终边位置判断它们的符号. (2)已知ana=m,求关于sina,cosa的齐次式的值：常见的齐次式有两类，一类是sina+cos“ csin a+dcos a' 数 另一类是asin'a+bsin acos a+ccos2a.第一类问题，分子、分母同时除以cosa,得到关于tana的式 子；第二类问题，可将分母看作1，将1变形为sin2a+cos2a,然后分子、分母同时除以cos2a,得到关 于tana的式子.对原式变形后代入tana=m,即可求解， 典例3已知sina+cosa= 7 3a∈(0，T),则ana= 奥囫4(1)12021·新高考1·6】若an0=-2,则im+in20）=( sin 0+cos 0 6 A.5 B、2 2 6 5 D. (2)【2020·浙江·13】已知tan0=2,则cos20= 考点二 诱导公式 考向1 给角求值 9示通法 运用诱导公式求值的一般思路：(1)将负角变为正角：(2)将角化到[0，π)或[0,2π)内. 典例5求值：(1)sim1320°；(2)an(-945):(3) c0s(-585) sin495°+sin(-570°) 考向2化简 9示通法 三角函数化简的几个方向： (1)变名：切化弦，统一名：(2)变角：用诱导公式统一角：(3)变式：将式子化为最简 067 回归课本 典例6化简： （1)im(540+m）0esl-@）:(2)in(2m+a)o(-m+a） tan(a-180) cos(-a)tan a 警 sin-)(a) /3π. (3 tan(-m+a)sin(m-a) —:(4)cosa+2sima-2 tan(T-a). 典例7【RA版·必修第一册·P195·9变式】化简： in(a+nT)+sin(a-nT (nEZ). sin(a+nm)cos(a-nT) 考向3给值求值 团8(1)已知血(+o)=},且a是第四象限角，求o(a-m)的值 (2)已知ae(0,m),sin 侵=号求am(a+r)的值 (3)已知am(m+o）=3,求2os(m-a）-3sinm+a)的值 4cos(-a)+sin(27-) 变式题 a)已知行小-号则m+的值为 (2)已知cos(a-55)=-3,且a为第四象限角，则sim(a+125°)的值为 (3)已知n后a号则emaa石o的值为 4068