5.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

第五章 &1册 三角函数 真题潮源 考点 教材原型 真题再现 三角函数 【RJA版·必修第一册·P241·4】 【2020·新课标I·理·7】 的图象 函数=Asin(x+)(A>0.>0.0<<) 设函数(x)=cos(x)在[-r,n]的 在一个周期内的图象如图所示,此函数 的解析式为 图象大致如图所示,则f(x)的最小正周 期为( -_ #A.9# 10r 4# 【RJA版·必修第一册·P229·9】 三角恒等 【2023·新高考I·8】 变换 1 。 已知sin(a-B)= 3,cos asin B= cos(2a+2B)=( (1) sin acos B=5cos asin B _ 7# (2) tan a=5tan B B. 061 四辨料·丹数 5.1 任意角和孤度制 三角函数 的概念 研课本 划重点 >答案链接P13 知识梳理 -概念:一条射线绕其端点按① 时针方向旋转形成的角为正角,按②__ 时针方向旋转形成的角为负角,没有旋转就形成了一个零角 一任意角 一象限角:在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴 重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角 -与角a终边相同的角,连同角a在内,构成一个集合S-(BB-③_,kE乙 长度等于④ 任意角和 的圆砥所对的圆心角叫做1孤度的角,孤度单位用符号 弥度制 张度 rad表示 一狐度与角度的转化:180-n rad,1 rad-(180 {- R指扇形的半径,a指扇 一扇形公式- 宅 -形的圆心角,指扇形的 -面积s-/R- 辄长,S指扇形的面积 一概念--已知角a的终边与单位圆交点P的坐标为(x,y). 则y-⑧_,r-,-(0),将正 P 弦函数,余弦函数和正切函数统称为三角函数 /A(t0 -y-sinx,xER -三角函数- 三角函数 -y-cosx.xEB 的概念 正弦上为正 余弦右为正 正切一三正 三角函数在各象限的符号 sind coso tnd -口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦 思考辨析 判断下列问题,正确的打“V”,错误的打“×” _ 1.小于90*的角是锐角 ~ - 3 ____ _~ 3.1弥度的圆心角所对的孤长等于半径 4.终边相同的角的同名三角函数值相等,反之不一定成立 _ _→ 2} 062 H 1 快提升·练典例 >答案链接P14 考点一 任意角的表示 示通法 判断角的终边所在象限,只需要把角改写成θ+k·360{,keZ.0<0<360的形式,判断θ的终边所 在象限即可. 典例1(1)【2020·新课标II·理·2】若a为第四象限角,则( __~ A.cos2a>0 B. cos 2a<0 C.sin2a0 D. sin2a<0 (2)已知a是第三象限角,则是( 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第四象限角 D. 第二或第四象限角 考点二 角度与狐度互化 示通法 (180{}即可. 角度与孤度相互转化,只需要掌握180*=TTrad,1rad= 例2把下列狐度化为角度,角度化为狐度. 13 考点三 扇形基本量问题 示通法 2 063 四联将·丹 典例3已知扇形A0B的周长为8cm. (1)若这个扇形的面积为3cm{},求圆心角的大小 (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB 【点拨】本题条件涉及扇形的面积和周长,就要考虑利用扇形的面积公式求解 考点四 三角函数的概念 示通法 (1)若角a的终边与单位圆交点为P(x,y),则sina=y, cos a=x,tana=(xz0); (2)若已知角a终边上任意一点P(x,y),则sina-.cosa=-,tana=(x*0),其中r=+y 表示点P与原点间的距离. 例4(1)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角a,B的终边分别与单位圆 交于点 (12)和3),那么sin0· tag-_ 变式题 已知角a的终边过点P(-3a.4a)(a0),求2sina+cosa 1064续不断的曲线. 又因为 f(0)= ( 12 ) 0 -0 = 1>0,f ( 13 ) = ( 1 2 ) 1 3 - ( 13 ) 1 3 > 0,f ( 12 ) = ( 1 2 ) 1 2 - ( 12 ) 1 3 <0, 则 f ( 13 ) f ( 1 2 ) <0,故函数 f(x)的零点在区间 1 3 , 1 2( ) 内, 即方程 ( 12 ) x = x 1 3 的根所在区间是 1 3 , 1 2( ) . 故选 C. 典例 6 C 【解析】因为 f(x+ 1) = - f( x),所以函数 y = f( x) (x∈R)是周期为 2 的周期函数,因为 x∈[ - 1,1]时,f(x) = 1-x2 ,所以根据周期性作出 y= f(x)的图象,如图所示. 再作出 函数 g(x)= | lg x | ,x>0, ex,x<0{ 的图象. 由图可知,在区间 [ - 6, 6]内,函数 f( x) 与 g( x) 图象的交点个数为 12,所以函数 h(x)= f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为 12. 故选 C. 典例 7 {0}∪[1,+∞ ) 【解析】函数 y= | 3x-1 |的图象是由函 数 y= 3x 的图象向下平移 1 个单位长度后,再把位于 x 轴下方 的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示, 当 k= 0 或 k≥1 时,直线 y= k 与函数 y= | 3x-1 |的图象有唯一 的交点,即方程 | 3x-1 | = k 有一解. 故答案为{0}∪[1,+∞ ) . 变式题 B 【解析】由 f(x) = 3x - 1 +ax x = 0,可得 a = 3x - 1 x ,令 g(x)= 3x- 1 x , x∈(-∞ ,-1),由于存在 x0 ∈( -∞ ,-1),使得 f(x0 )= 0,则实数 a 的取值范围即为函数 g(x)在(-∞ ,-1)上 的值域. ∵ 函数 y = 3x,y = - 1 x 在( -∞ ,- 1) 上均单调递增, ∴ 函数 g(x)在(-∞ ,-1)上单调递增,∴ g(x)<3-1 +1 = 4 3 ,又 g(x)= 3x- 1 x >0,∴ 函数 g(x)在( -∞ ,- 1)上的值域为 ( 0, 4 3 ) . 故选 B. 典例 8 C 【解析】令 u= f(x),作出函数 u= f(x)的图象,如图 所示,因为方程 u2 +bu+c = 0 至多有两个实根,设这两个实根 分别为 u1 ,u2 ,由图象可知,直线 u=u1 与函数 u = f(x)图象的 交点个数可能为 0,3,4,由于关于 x 的方程 f 2(x) +bf(x) +c = 0 有 7 个不同实数解,则关于 u 的二次方程 u2 +bu+c = 0 的一 个根 u1 = 0,则 0 2 +b·0+c = 0,可得 c = 0,则方程 u2 +bu = 0 的 另一个根为 u2 = -b,直线 u=u2 与函数 u = f(x)图象的交点个 数必为 4,则-b>0,解得 b<0. 因此,b<0 且 c= 0. 故选 C. 典例 9 C 【解析】函数 f(x)= 2x x+1 +ln x= 2- 2 x+1 +ln x 是定义 域为{x | x>0}的增函数,满足 f(a) f(b) f(c) <0(a<b<c),所以 f(a),f( b),f( c) 中有 1 个负数和 2 个正数(且负数一定是 f(a)),或 3 个均为负数,由函数零点存在定理可知,函数的 零点可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞ )内,不可能在(b,c)内. 故 选 C. 典例 10 【解】 ( 1) 设投资金额为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 由题设 f(x)= k1x(k1 ≠0),g(x)= k2 x(k2 ≠0), 由题图知 f(2)= 1,所以 k1 = 1 2 ,且 g(4)= 4,所以 k2 = 2, 故 f(x)= 1 2 x(x≥0),g(x)= 2 x(x≥0) . (2)设投入 A产品 x 万元,则投入 B 产品(12-x)万元,设企业利 润为 y 万元,则 y=f(x)+g(12-x)= 1 2 x+2 12-x(0≤x≤12). 令 t= 12-x(0≤t≤2 3 ),则 x= 12-t2 , 所以 y= 6- 1 2 t2 +2t= - 1 2 ( t-2) 2 +8, 当 t= 2,即 x= 8 时,y 取得最大值,ymax = 8. 故 A 产品投入 8 万 元,B 产品投入 4 万元,才能使企业获得最大利润,最大利润 是 8 万元. 典例 11 【解】(1)根据题意可知,当销售利润 0≤x≤20 时, y= 0. 1x;当 x>20 时,y= 0. 1×20+2log2(x-20+5)= 2+2log2(x- 15), 所以 可 得 奖 金 y 关 于 销 售 利 润 x 的 关 系 式 为 y= 0. 1x,0≤x≤20, 2+2 log2(x-15),x>20. { (2)易知当 0≤x≤20 时,奖金不可能为 10 万元, 所以令 2+2log2(x-15)= 10,即log2(x-15)= 4,解得 x= 31, 即业务员老江的销售利润是 31 万元. 第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【研课本·划重点】 一、知识梳理 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 ①逆　 ②顺　 ③α+k·360°　 ④半径长　 ⑤57. 30° ⑥ |α |R　 ⑦ 1 2 |α |R2 　 ⑧sin α　 ⑨cos α　 ⑩tan α 二、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. √　 5. 【快提升·练典例】 典例 1 (1)D　 (2)D 【解析】(1)方法一:由 α 为第四象限 角,可得 270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z,所以 540°+ 2k·360°<2α<720°+2k·360°,k∈Z, 此时 2α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的非正半轴上,所以 sin 2α<0. 故选 D. 方法二(特值法):令 α = - 30°,则 cos 2α = cos ( - 60°) > 0, sin 2α = sin ( - 60°) < 0,B,C 错误;令 α = - 60°,则 cos 2α = cos(-120°)<0,A 错误. 故选 D. (2)因为 α 是第三象限角,所以 180°+k·360°<α<270°+k· 360°,k∈Z,所以 90°+k·180°< α 2 <135°+k·180°,k∈Z,当 k 为偶数时, α 2 是第二象限角;当 k 为奇数时, α 2 是第四象限 角. 故选 D. 典例 2 【解】(1) 7 12 π = 7 12 π× 180 π( ) ° = 105°. (2)-13 6 π = -13 6 π× 180 π( ) ° = -390°. (3)1 125° = 1 125× π 180 = 25 4 π. (4)-225° = -225× π 180 = - 5 4 π. (5)36° = 36× π 180 = π 5 . (6)-150° = -150× π 180 = -5π 6 . 典例 3 【解】设扇形 AOB 的半径为 r cm,弧长为 l cm,圆心角 为 α. (1)由题意知 2r+l= 8, 1 2 lr= 3,{ 解得 r= 3,l= 2{ 或 r= 1,l= 6,{ ∴ α= l r = 2 3 或 6. (2)∵ 扇形 AOB 的周长为 8 cm,∴ 2r+l= 8, ∴ 扇形 AOB 的面积 S = 1 2 lr = 1 4 l· 2r≤ 1 4 l+2r 2( ) 2 = 1 4 × 8 2( ) 2 = 4,当且仅当 2r = l,即 α = l r = 2,r = 2 时,S 取得最大 值 4, ∴ 弦长 AB= 2sin 1×2 = 4sin 1, ∴ 扇形 AOB 的面积取得最大值时,圆心角的大小为 2,弦长 AB 为 4sin 1 cm. 典例 4 (1)-16 13 　 (2) 3 10 +30 10 或 3 10 -30 10 【解析】(1)由任意角的正弦函数、正切函数的定义知 sin α = 12 13 ,tan β= 4 5 - 3 5 = - 4 3 ,所以 sin α·tan β= 12 13 × ( - 43 ) = - 16 13 . (2)因为 r= x2 +9 ,cos θ= x r ,所以 10 10 x= x x2 +9 . 又 x≠0,所以 x= ±1,所以 r= 10 . 因为 y= 3>0,所以 θ 是第一或第二象限角. 当 θ 为第一象限角时, sin θ = 3 10 10 , tan θ = 3, 则 sin θ + tan θ= 3 10 +30 10 . 当 θ 为第二象限角时,sin θ= 3 10 10 ,tan θ= -3,则 sin θ+tan θ= 3 10 -30 10 . 变式题 【解】 r= (-3a) 2 +(4a) 2 = 5 | a | . ①若 a > 0, 则 r = 5a, α 为第二象限角, sin α = y r = 4a 5a = 4 5 ,cos α= x r = -3a 5a = - 3 5 , 所以 2sin α+cos α= 8 5 - 3 5 = 1. ②若 a< 0,则 r = - 5a,α 为第四象限角, sin α = 4a-5a = - 4 5 , cos α= -3a -5a = 3 5 , 所以 2sin α+cos α= - 8 5 + 3 5 = -1. 综上,2sin α+cos α 的值为±1. 5.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①1　 ②tan α　 ③-sin α　 ④-cos α　 ⑤-sin α　 ⑥-tan α　 ⑦-cos α　 ⑧cos α　 ⑨sin α　 ⑩cos α　 􀃊􀁉􀁓-sin α 二、思考辨析 1. √　 2. 　 3. 　 4. √　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 【解】(1)因为 cos α= - 8 17 <0, 所以 α 是第二或第三象限角. 若 α 是第二象限角,则 sin α = 1-cos2α = 15 17 ,tan α = sin α cos α = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14