4.3 函数的应用-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

4.3 函数的应用 >>答案链接 P12 054 1. 函数 y= f(x) -g(x)的零点为 x0⇔方程 f(x)= g(x)有实数解 x0 ⇔函数 y = f(x)与 y = g(x)图象公 共点的横坐标为 x0 . 2. 若 f(x)在[a,b]上单调,且 f(a) f(b) <0,则 f(x)在(a,b)内有且仅有 1 个零点. 3. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)零点 x1,x2 的分布情况 零点的分布 图象 满足条件 x1 <x2 <m Δ>0, - b 2a <m, f(m) >0 ì î í ï ïï ï ïï m<x1 <x2 Δ>0, - b 2a >m, f(m) >0 ì î í ï ïï ï ïï x1 <m<x2 f(m) <0 m<x1 <x2 <n Δ>0, m<- b 2a <n, f(m) >0, f(n) >0 ì î í ï ï ïï ï ï ï m<x1 <n<x2 <p f(m) >0, f(n) <0, f(p) >0 ì î í ï ï ï ï 只有一个零点 在(m,n)内 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3　 　 　 　 　 　 　 图 4 f(m) f ( n) < 0 ( f ( m′) f ( n′) < 0 ) ( 如图 1 ) 或 f(m)= 0, m<- b 2a <m +n 2 ì î í ïï ïï (如图 2) 或 Δ=0, m<- b 2a <n ì î í ïï ïï (如图 3) 或 f(n)= 0, m+n 2 <- b 2a <n ì î í ïï ïï (如图 4) 055 4. 增长快慢比较:V(ax) >V(xα) >V(logax),V(kx) >V(logax),其中 a>0,且 a≠1. 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ×” . 1. 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的公共点. (　 　 ) 2. 函数 y= f(x)为 R 上的单调函数,则 f(x)有且仅有一个零点. (　 　 ) 3. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0),若 b2 -4ac<0,则 f(x)无零点. (　 　 ) 4. 某商品进价为每件 100 元,按进价增加 10%出售,若九折出售,则每件还能获利. (　 　 ) 5. 若 a>1,在(0,+∞ )上随着 x 的增大,y=ax 的增速会超过 y= xa 和 y= logax 的增速. (　 　 ) >>答案链接 P12 考点一 函数的图象及其应用 考向 1　函数图象的变换 图象变换作图步骤 (1)作出基本函数的图象(一般用虚线). (2)根据函数的特点选择图象变换的次序. 如:y= f(ax+b)的图象→y= f( | ax+b | )的图象→y= | f( | ax+ b | ) |的图象. (多选)关于函数 f(x)= | ln | 2-x | | ,下列描述正确的有(　 　 ) A. 函数 f(x)在(1,2)上单调递增 B. 函数 y= f(x)的图象关于直线 x= 2 对称　 　 　 C. 若 x1≠x2,但 f(x1)= f(x2),则 x1 +x2 = 2 D. 函数 f(x)有且仅有两个零点 【点拨】作出函数 f(x)的图象,数形结合解决问题. 考向 2　根据函数解析式识别图象 根据函数解析式识别图象的方法 (1)直接法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象,或是根据自变量取不同取值范 围时函数值的增减情况、增减速度等判断函数图象. (2)间接法:①由函数的定义域,判断图象的左右位置;由函数的值域,判断图象的上下位置. ②由函数的单调性,判断图象的升降变化趋势. ③由函数的奇偶性,判断图象的对称性. ④由函数的周期性,判断图象是否具有循环往复的特点. ⑤从特殊点出发,排除不符合要求的选项. 056 函数 y= ln(2- | x | )的大致图象为(　 　 ) A B C D 考向 3　根据函数图象判断解析式 (1)观察图象所在象限,判断定义域和值域. (2)观察图象对称性,判断奇偶性. (3)观察图象变化趋势,判断单调性. (4)观察特殊点位置,进行排除. 【2023·天津·4】函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为(　 　 ) A. f(x)= 5(e x-e-x) x2 +2 　 　 　 　 　 B. f(x)= 5sin x x2 +1 　 　 　 　 　 C. f(x)= 5(e x+e-x) x2 +2 　 　 　 　 　 D. f(x)= 5cos x x2 +1 考向 4　利用函数图象刻画实际问题 (1)根据实际问题中变量变化的快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,对比是否符合,排除不符合 实际的情况,选择符合实际情况的答案. (2)根据实际问题构建恰当的函数模型,画出函数图象,结合图象判断选项. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是(　 　 ) A. 消耗 1 L 汽油,乙车最多可行驶 5 km B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 km / h 的速度行驶 1 h,消耗 10 L 汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 km / h,相同条件下,在该市用丙车比用乙 车更省油 057 考点二 函数的零点及其应用 考向 1　求函数零点所在区间 函数零点所在区间的判断方法 (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上. (2)零点存在定理. (3)图象法:画出相应的函数图象,通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断,或者转化为 两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 方程 1 2( ) x = x 1 3 的根所在区间是(　 　 ) A. 2 3 ,1( ) 　 　 　 　 B. 12 , 2 3( ) 　 　 　 　 C. 1 3 , 1 2( ) 　 　 　 　 D. 0, 1 3( ) 考向 2　求零点的个数 求零点个数的方法 (1)直接法:令 f(x)= 0,若能求出根,则方程有几个不同的根,函数就有几个不同的零点. (2)零点存在定理:由零点存在定理只能确定函数 f(x)在(a,b)内有零点,还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性、周期性等)才能确定函数零点的个数. (3)图象法:①画出函数 f(x)的图象,函数 f(x)的图象与 x 轴交点的个数就是函数 f(x)零点的个数. ②将函数 f(x)拆成两个图象易得的函数 h(x)和 g(x)的差,根据 f( x)= 0⇔h(x)= g(x),可知函数 f(x)的零点个数即为函数 y=h(x)和 y=g(x)图象的交点个数. (4)性质法:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需确 定在一个周期内的零点个数,就能得到此函数的零点个数. 若函数 y= f(x)(x∈R)满足 f(x+1)= -f(x),且 x∈[ -1,1]时,f(x)= 1-x2 ,已知函数 g(x)= | lg x | ,x>0, ex,x<0,{ 则函数 h(x)= f(x) -g(x)在区间[ -6,6]内的零点个数为(　 　 ) A. 14　 　 B. 13　 　 　 C. 12　 　 D. 11 【点拨】函数 h(x)= f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数,即函数 f(x)与 g(x)在区间[-6,6]内图象的交 点个数,作出两函数图象,数形结合解决问题. 考向 3　与零点有关的参数问题 解决与零点有关的参数问题的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构造关于参数的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式 (组)确定参数的值或取值范围. (2)分离参数法:先将参数分离,化为 a=g(x)的形式,进而转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法:将函数解析式(方程)作移项等变形,转化为两函数图象的交点问题,结合函数的单 调性、周期性、奇偶性等性质求解. 058 若方程 | 3x-1 | = k 有一解,则实数 k 的取值范围为　 　 　 　 . 已知函数 f(x)= 3x-1 +ax x ,若存在 x0∈( -∞ ,-1),使得 f(x0)= 0,则 a∈(　 　 ) A. -∞ , 4 3( ) 　 　 B. 0, 4 3( ) 　 　 　 C. ( -∞ ,0)　 　 D. 4 3 ,+∞( ) 【点拨】分离参数,将问题转化为求函数在已知区间内的值域问题. 考向 4　嵌套零点问题 判断嵌套函数 f(g(x))零点个数的基本步骤 (1)换元解套,设内层函数为 t,将一个双层问题转化为两个单层问题,即直线 t= t′与 t=g(x)图象的交 点个数问题,y= f( t)的零点问题. (2)依次解方程,令 f( t)= 0,求 t,代入 t=g(x)求出 x 的值,或判断图象交点个数,借助函数的图象、性 质求解. 设定义域为 R 的函数 f(x)= | lg | x-1 | | ,x≠1, 0,x= 1,{ 则关于 x 的方程 f 2(x) +bf(x) +c= 0 有 7 个不 同实数解的充要条件是(　 　 ) A. b<0 且 c>0　 　 B. b>0 且 c<0　 　 　 C. b<0 且 c= 0　 　 D. b≥0 且 c= 0 考向 5　二分法 二分法求函数零点近似值的一般步骤 (1)确定零点 x0 的初始区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点 c. (3)计算 f(c),并进一步确定零点所在的区间:①若 f(c)= 0(此时 x0 = c),则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0(此时 x0∈(a,c)),则令 b= c;③若 f(c)f(b)<0(此时 x0∈(c,b)),则令 a= c. (4)判断是否达到精确度 ε:若 | a-b | <ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复步骤(2) ~ (4). 设函数 f(x)= 2x x+1 +ln x 满足 f(a) f(b) f(c) <0(a<b<c),若 f(x)存在零点 x0,则下列选项中一 定错误的是(　 　 ) A. x0∈(a,c)　 　 B. x0∈(a,b)　 　 C. x0∈(b,c)　 D. x0∈(c,+∞ ) 考点三 函数模型及其应用 考向 1　已知函数模型求解实际问题 已知函数模型求解实际问题的一般步骤 (1)认清所给函数模型,明确哪些量为参数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的参数. (3)利用该模型求解实际问题. 059 某企业抓住机遇推进生产改革,现准备从单一产品转为生产 A,B 两种产品,根据市场调查 与市场预测,生产 A 产品的利润与投资金额成正比,其关系如图 1 所示;生产 B 产品的利润与投资 金额的算术平方根成正比,其关系如图 2 所示(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位:万元) . 图1 　 图2 (1)分别求出生产 A,B 两种产品的利润与投资金额之间的函数关系式. (2)该企业已筹集到 12 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 12 万元资金, 才能使企业获得最大利润? 最大利润是多少? 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 2　构造函数模型解决实际问题 解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,识别条件与结论,弄清数量关系,初步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用已有知识建立相应的数学 模型. (3)解模:求解数学模型,得出结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 20 万元时,按销售利润的 10%进行奖励;当销售利润超过 20 万元时,若超出 A 万元,则超出部分按 2log2(A+5)进行奖励. 记 奖金为 y(单位:万元),销售利润为 x(单位:万元) . (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的关系式. (2)如果业务员老江获得 10 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060 g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称. 又 f(-x)+g(-x)= loga(1-x)+loga(1+x)= f(x)+g(x), 所以函数 f(x)+g(x)为偶函数. 典例 11 (2,1) 【解析】令 2x- 3 = 1,则 x = 2,此时 loga(2x- 3)= 0,所以函数 y = loga(2x-3)的图象恒过定点(2,0),所以 函数 f(x)= loga(2x-3)+1 的图象恒过定点(2,1) . 典例 12 B 【解析】设 y= f(x)= ln | x | x2 +2 ,则函数 f(x)的定义域 为{x | x≠0},关于原点对称,又 f( -x)= ln | -x | (-x) 2 +2 = f(x),所以 函数 f(x)为偶函数,排除 A,C;当 x∈(0,1)时,ln | x | <0,x2 + 2>0,所以 f(x)<0,排除 D. 故选 B. 典例 13 {a | a>1} 【解析】方程 f(x) +x-a = 0 有且只有一个 实根,即函数 y= f(x)的图象与直线 y= -x+a 有且只有一个交 点,在同一坐标系中分别作出 y = f(x)与 y = -x+a 的图象,如 图所示,由图可知,当 a>1 时,直线 y= -x+a 与 y= f(x)的图象 只有一个交点. 故实数 a 的取值范围为{a | a>1} . 变式题 6 【解析】令 g(x) = 0,即 f 2(x) - 3f(x) + 2 = 0,解得 f(x)= 1 或 f(x)= 2,作出函数 f(x)的图象,如图所示,由图可 知,方程 f(x)= 1 有 3 个实数解,方程 f(x)= 2 有 3 个实数解, 且均互不相同,所以函数 g(x)= f 2(x) -3f(x) +2 的零点个数 是 6. 典例 14 B 【解析】由题意可知函数 y = f( x) 的图象与 y = log2(x+a)的图象关于直线 y = x 对称,所以点 ( f ( 1), 1), ( f(2),2) 在 函 数 y = log2 ( x + a ) 的 图 象 上, 所 以 log2 [ f(1)+a] = 1, log2 [ f(2)+a] = 2, { 所以 f(1) +a= 2, f(2)+a= 4,{ 所以 f(1)+f(2) +2a= 6, 又 f(1)+f(2)= 2,所以 2+2a= 6,所以 a= 2. 故选 B. 4.3　函数的应用 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①左　 ②右　 ③上　 ④下　 ⑤x 轴　 ⑥y 轴　 ⑦原点 ⑧x 轴　 ⑨x 轴　 ⑩y 轴　 􀃊􀁉􀁓y 轴　 􀃊􀁉􀁔y 轴　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖a 􀃊􀁉􀁗f(x)= 0　 􀃊􀁉􀁘f(a) f(b)<0 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 ABD 【解析】把 y = ln x 在 x 轴下方的图象翻折到上 方,即可得到函数 y= | ln x |的图象,将 y= | ln x |在 y 轴右侧的图 象翻折到左侧,右侧不变,即可得到函数 y= | ln |x | | = | ln | -x | |的 图象,再将 y= | ln | -x | | 的图象向右平移 2 个单位长度,即可 得到函数 y= | ln | -(x-2) | | = | ln | 2-x | | 的图象,如图所示. 由 图可得函数 f( x) 在(1,2) 上单调递增,故 A 正确;函数 y = f(x)的图象关于直线 x = 2 对称,故 B 正确;若 x1 ≠ x2 ,但 f(x1 )= f(x2 ),则 x1 ,x2 关于直线 x = 2 对称,即 x1 +x2 = 4,故 C 错误;函数 f(x)有且仅有两个零点,故 D 正确. 故选 ABD. 典例 2 A 【解析】由 2 - | x | > 0,解得 - 2 < x < 2,所以函数 f(x)的定义域为{x | -2<x<2},关于原点对称. 因为 f( -x) = ln(2- | -x | )= ln(2- | x | )= f(x),所以函数 f(x)为偶函数,排 除选项 C,D. 当 x = 3 2 时,f ( 32 ) = ln 1 2 < 0,排除选项 B. 故 选 A. 典例 3 D 【解析】由题图知函数图象关于 y 轴对称,其为偶 函数,且 f(-2)= f(2)<0,由5sin( -x) (-x) 2 +1 = -5sin x x2 +1 且定义域为 R, 即 B 中函数为奇函数, 排除; 当 x > 0 时, 5(e x-e-x) x2 +2 > 0, 5(ex+e-x) x2 +2 >0,即 A, C 中 ( 0, + ∞ ) 上函数值为正,排除. 故 选 D. 典例 4 D 【解析】消耗 1 L 汽油,乙车最多行驶里程大于 5 km,故 A 错误; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行 驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故 B 错误; 甲车以 80 km / h 的速度行驶时燃油效率为 10 km / L,行驶 1 h,里程为 80 km,消耗 8 L 汽油,故 C 错误; 最高限速 80 km / h,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件 下,在该市用丙车比用乙车更省油,故 D 正确. 故选 D. 典例 5 C 【解析】 构造函数 f( x) = ( 12 ) x - x 1 3 ,因为 y = ( 12 ) x 和 y= -x 1 3 在 R 上单调递减, 所以函数 f(x)在 R 上单调递减,且函数 f(x)的图象是一条连 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 续不断的曲线. 又因为 f(0)= ( 12 ) 0 -0 = 1>0,f ( 13 ) = ( 1 2 ) 1 3 - ( 13 ) 1 3 > 0,f ( 12 ) = ( 1 2 ) 1 2 - ( 12 ) 1 3 <0, 则 f ( 13 ) f ( 1 2 ) <0,故函数 f(x)的零点在区间 1 3 , 1 2( ) 内, 即方程 ( 12 ) x = x 1 3 的根所在区间是 1 3 , 1 2( ) . 故选 C. 典例 6 C 【解析】因为 f(x+ 1) = - f( x),所以函数 y = f( x) (x∈R)是周期为 2 的周期函数,因为 x∈[ - 1,1]时,f(x) = 1-x2 ,所以根据周期性作出 y= f(x)的图象,如图所示. 再作出 函数 g(x)= | lg x | ,x>0, ex,x<0{ 的图象. 由图可知,在区间 [ - 6, 6]内,函数 f( x) 与 g( x) 图象的交点个数为 12,所以函数 h(x)= f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为 12. 故选 C. 典例 7 {0}∪[1,+∞ ) 【解析】函数 y= | 3x-1 |的图象是由函 数 y= 3x 的图象向下平移 1 个单位长度后,再把位于 x 轴下方 的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示, 当 k= 0 或 k≥1 时,直线 y= k 与函数 y= | 3x-1 |的图象有唯一 的交点,即方程 | 3x-1 | = k 有一解. 故答案为{0}∪[1,+∞ ) . 变式题 B 【解析】由 f(x) = 3x - 1 +ax x = 0,可得 a = 3x - 1 x ,令 g(x)= 3x- 1 x , x∈(-∞ ,-1),由于存在 x0 ∈( -∞ ,-1),使得 f(x0 )= 0,则实数 a 的取值范围即为函数 g(x)在(-∞ ,-1)上 的值域. ∵ 函数 y = 3x,y = - 1 x 在( -∞ ,- 1) 上均单调递增, ∴ 函数 g(x)在(-∞ ,-1)上单调递增,∴ g(x)<3-1 +1 = 4 3 ,又 g(x)= 3x- 1 x >0,∴ 函数 g(x)在( -∞ ,- 1)上的值域为 ( 0, 4 3 ) . 故选 B. 典例 8 C 【解析】令 u= f(x),作出函数 u= f(x)的图象,如图 所示,因为方程 u2 +bu+c = 0 至多有两个实根,设这两个实根 分别为 u1 ,u2 ,由图象可知,直线 u=u1 与函数 u = f(x)图象的 交点个数可能为 0,3,4,由于关于 x 的方程 f 2(x) +bf(x) +c = 0 有 7 个不同实数解,则关于 u 的二次方程 u2 +bu+c = 0 的一 个根 u1 = 0,则 0 2 +b·0+c = 0,可得 c = 0,则方程 u2 +bu = 0 的 另一个根为 u2 = -b,直线 u=u2 与函数 u = f(x)图象的交点个 数必为 4,则-b>0,解得 b<0. 因此,b<0 且 c= 0. 故选 C. 典例 9 C 【解析】函数 f(x)= 2x x+1 +ln x= 2- 2 x+1 +ln x 是定义 域为{x | x>0}的增函数,满足 f(a) f(b) f(c) <0(a<b<c),所以 f(a),f( b),f( c) 中有 1 个负数和 2 个正数(且负数一定是 f(a)),或 3 个均为负数,由函数零点存在定理可知,函数的 零点可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞ )内,不可能在(b,c)内. 故 选 C. 典例 10 【解】 ( 1) 设投资金额为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 由题设 f(x)= k1x(k1 ≠0),g(x)= k2 x(k2 ≠0), 由题图知 f(2)= 1,所以 k1 = 1 2 ,且 g(4)= 4,所以 k2 = 2, 故 f(x)= 1 2 x(x≥0),g(x)= 2 x(x≥0) . (2)设投入 A产品 x 万元,则投入 B 产品(12-x)万元,设企业利 润为 y 万元,则 y=f(x)+g(12-x)= 1 2 x+2 12-x(0≤x≤12). 令 t= 12-x(0≤t≤2 3 ),则 x= 12-t2 , 所以 y= 6- 1 2 t2 +2t= - 1 2 ( t-2) 2 +8, 当 t= 2,即 x= 8 时,y 取得最大值,ymax = 8. 故 A 产品投入 8 万 元,B 产品投入 4 万元,才能使企业获得最大利润,最大利润 是 8 万元. 典例 11 【解】(1)根据题意可知,当销售利润 0≤x≤20 时, y= 0. 1x;当 x>20 时,y= 0. 1×20+2log2(x-20+5)= 2+2log2(x- 15), 所以 可 得 奖 金 y 关 于 销 售 利 润 x 的 关 系 式 为 y= 0. 1x,0≤x≤20, 2+2 log2(x-15),x>20. { (2)易知当 0≤x≤20 时,奖金不可能为 10 万元, 所以令 2+2log2(x-15)= 10,即log2(x-15)= 4,解得 x= 31, 即业务员老江的销售利润是 31 万元. 第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【研课本·划重点】 一、知识梳理 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13