4.2 对数与对数函数-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

4.2 对数与对数函数 >>答案链接 P10 1. 对数恒等式:alogaN =N. 推导:设 logaN= t(a>0 且 a≠1,N>0),则 at =N,故 a logaN =N. 2. 对数换底公式的推论 (1)logab·logba= 1(a>0,b>0,且 a≠1,b≠1) . 推导:logab·logba= logcb logca · logca logcb = 1. (2)logab·logbc·logcM= logaM(a>0,b>0,c>0,M>0,且 a≠1,b≠1,c≠1) . 推导:logab·logbc·logcM= logdb logda · logdc logdb · logdM logdc = logdM logda = logaM. 048 (3)logamb= 1 m logab(a>0,b>0,且 a≠1,m≠0) . 推导:logamb= logcb logcam = logcb logc(a·a·…·a) = logcb logca+logca+…+logca = logcb mlogca = 1 m logab. (4)logamb n = n m logab(a>0,b>0,且 a≠1,m≠0) . 推导:logamb n = logcbn logcam = logc(b·b·…·b) logc(a·a·…·a) = logcb+logcb+…+logcb logca+logca+…+logca = nlogcb mlogca = n m logab. (5)logaM·logcN= logaN·logcM(a>0,c>0,M>0,N>0,且 a≠1,c≠1) . 推导:logaM·logcN= logbM logba · logbN logbc = logbN logba · logbM logbc = logaN·logcM. 3. 画对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)图象的关键点:(1,0),(a,1), ( 1 a ,-1 ) . 4. 如图所示是对数函数(1)y=logax,(2)y=logbx,(3)y=logcx,(4)y=logdx 的图象, 则 0<c<d<1<a<b. 规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大. 5. 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称. 判断下列问题,正确的打“√”,错误的打“ ×” . 1. 若 5x = 2,则 x= log52. (　 　 ) 2. eln e = 1 2 . (　 　 ) 3. 函数 y= loga 1+x 1-x 与函数 y= ln(1+x) -ln(1-x)是同一个函数. (　 　 ) 4. 已知 a>0,b>0,且 a≠1,b≠1,当 x>1 时,若logax>logbx,则 a<b. (　 　 ) 5. 【RJA 版·必修第一册·P130·例 1 改编】函数 f(x)= 1　 ln(x-1) 的定义域是(2,+∞ ) . (　 　 ) >>答案链接 P11 考点一 对数式的化简与求值 (1)巧用 lg 2+lg 5 = 1. (2)利用对数的运算性质,将同底对数的和、差、倍合并. (3) logab 1 m = 1 m logab= logamb(a>0,b>0,且 a≠1,b≠1,m≠0). (4)正用、逆用及变形换底公式,将不同底的对数式转化为同底的对数式. (5)已知条件为 ax = by = cz(a>0,b>0,c>0,且 a≠1,b≠1,c≠1),求函数 f(x,y,z)的值的问题,可设ax = by = cz = k(k>0),用 k 表示出 x,y,z 的值,并代入函数 f(x,y,z)求解. 049 若 2a = 3b = 6,则 1 a + 1 b = (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 2 D. 1 若 x,y,z∈R+,且 3x = 4y = 12z, x+y z ∈(n,n+1),n∈N,则 n 的值是　 　 　 　 . 考点二 对数函数的概念及应用 判断一个函数是否为对数函数的主要依据 (1) logax 的系数为 1. (2)底数大于 0 且不等于 1. (3)真数只能是自变量 x. 在①y= log2( -x);②y= 3lg x;③y= log 1 2 x;④y= log2(x+3)中,对数函数的个数是(　 　 ) A. 0　 　 　 　 　 B. 1　 　 　 　 　 C. 2　 　 　 　 　 D. 3 若函数 f(x)= logax+(a2 -4a-5)是对数函数,则 f(25)= 　 　 　 　 . 考点三 对数函数单调性的应用 考向 1　利用对数函数的单调性求参数 利用对数函数的单调性解决相关问题,需要注意底数 a 的取值,若不确定,则按 0<a<1 和 a>1 分类 讨论. 设函数 f(x)= ln( -x2 +4x)在(a,a+1)上单调递增,则实数 a 的取值范围为(　 　 ) A. (0,1)　 　 　 　 　 B. [0,2]　 　 　 　 　 C. (0,2)　 　 　 　 　 D. [0,1] 【点拨】利用复合函数的单调性规律可得到函数 f(x)的单调递增区间. 已知函数 f(x) = logax,x>1, ax-2,x≤1,{ 对任意 x1 ≠x2,都有 f(x1) -f(x2) x1 -x2 > 0 成立,则 a 的取值范围 是(　 　 ) A. (0,1)　 　 　 　 　 B. (1,2]　 　 　 　 　 C. (0,1]　 　 　 　 　 D. (1,2) 考向 2　利用对数函数的单调性比较大小 比较对数式大小的方法 (1)直接法:底数相同,由对数函数的单调性直接判断. (2)图象法:底数不同,真数相同,利用对数函数的图象比较大小. (3)中间量法:底数和真数都不同,借助中间值(如-1,0,1)比较大小. 050 【2021·新高考Ⅱ·7】已知 a= log52,b= log83,c= 1 2 ,则下列判断正确的是(　 　 ) A. c<b<a　 　 　 　 B. b<a<c C. a<c<b D. a<b<c 考向 3　利用对数函数的单调性解方程(不等式) 已知 a>0,且 a≠1. (1) loga f(x)= logag(x)⇔f(x)= g(x). (2)当 0<a<1 时,loga f(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x);当 a>1 时,loga f(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. (3) loga f(x)>b,先将常数 b 转化为对数式的形式,再利用(2)中的方法解决. 方程log2(x-1)= 2-log2(x+1)的解集为　 　 　 　 　 . 【点拨】本题的关键是对等号右边的式子进行变形,得到一个以 2 为底的对数形式. 不等式log2(x2 -1) <3 的解集为　 　 　 . 考点四 对数型函数的性质 考向 1　对数型函数的定义域与值域 对数型函数的定义域、值域的求法 (1)求对数型函数定义域的关键:①真数大于 0;②底数大于 0 且不为 1;③对函数式变形需注意真数、 底数的取值范围是否改变. (2)对数型函数的值域:过去求函数值域的方法仍然适用. 已知函数 f(x)= logax+loga(4-x)(a>0,且 a≠1),f(2)= 2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; (2)求 f(x)在 1, 7 2 é ë ê ê ù û ú ú 上的值域. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 2　对数型函数的单调性 函数 y= loga f(x)(a>0,且 a≠1)由两个函数 y= logau,u= f(x)复合而成,单调性由两点决定:①底数a> 1 还是 0<a<1;②f(x)的单调性. 051 设函数 f(x)= loga( -x2 +4x)(a>0,且 a≠1),求 f(x)的单调递增区间. 【点拨】按 0<a<1 和 a>1 分类讨论. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 3　对数型函数的奇偶性 过去学的判断函数奇偶性的方法仍然适用于对数型函数的奇偶性判断. 【2023·新高考Ⅱ·4】若 f(x)= (x+a)ln 2x-1 2x+1 为偶函数,则 a= (　 　 ) A. -1　 　 　 　 B. 0　 　 　 　 C. 1 2 　 　 　 　 D. 1 已知函数 f(x)= loga(1+x),g(x)= loga(1-x)(a>0,且 a≠1),判断函数 f(x) +g(x)的奇偶 性,并说明理由. 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点五 对数函数的图象及其应用 考向 1　图象过定点问题 由对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),可知对数型函数 y= kloga(x+m)+b 的图象过 定点(1-m,b). 　 　 052 已知函数 f ( x) = loga ( 2x - 3) + 1 ( a > 0,且 a≠ 1) 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标 为 . 考向 2　图象识辨问题 由解析式判断图象:取特殊点,判断所给的图象不过特殊点,则排除. 【2021·天津·3】函数 y= ln | x | x2 +2 的图象大致为(　 　 ) A B C D 考向 3　利用函数图象解决方程根的个数问题 对数型函数的图象变换 (1)将对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)的图象关于 y 轴对称,即得到对数型函数 y= loga | x |的图象. (2)将对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)的图象向左(右)平移 | b | 个单位长度,即得到对数型函数 y = loga(x±b)的图象. (3)将对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象向上(下)平移 |b |个单位长度,即得到对数型函数 y=logax± b 的图象. 已知函数 f(x)= log2x,x>0, 3x,x≤0,{ 且关于 x 的方程 f(x) +x-a= 0 有且只有一个实根,则实数 a 的 取值范围是 . 【点拨】方程 f(x)+x-a= 0 有且只有一个实根,即函数 f(x)的图象与直线 y = -x+a 有且只有一个公共点,作 出两函数的图象,数形结合解决问题. 已知函数 f(x)= 2 | x | ,x≤0, | ln x | ,x>0,{ 则函数 g(x)= f 2(x) -3f(x) +2 的零点个数是　 　 　 　 　 . 考点六 反函数及其性质的应用 若 f(x)与 g(x)互为反函数,且点(a,b)在 f(x)的图象上,则点(b,a)在 g(x)的图象上. 已知函数 y= f(x)与 y= log2(x+a)互为反函数,且满足 f(1) +f(2)= 2,则 a= (　 　 ) A. 4　 　 　 　 B. 2 C. 1　 　 　 　 D. -1 【点拨】互为反函数的两函数图象关于直线 y= x 对称. 053 典例 6 B 【解析】将 2x 2+1 ≤ ( 14 ) x -2 = 2-2(x-2) 化为 x2 + 1≤ -2(x-2),即 x2 +2x-3≤0,解得 x∈[ -3,1],∴ 2-3 ≤2x ≤21 , ∴ 函数 y= 2x 的值域是 [ 18 ,2 ] . 故选 B. 典例 7 [-5,31] 【解析】令 t = 2x,∵ x∈[0,3],∴ 1≤ t≤8, ∴ g( t)= t2 -4t-1 = ( t-2) 2 -5,t∈[1,8],又 y = g( t)的图象关 于直线 t= 2 对称,且开口向上,∴ g( t)在[1,2)上单调递减, 在(2,8]上单调递增,且 | 8-2 | > | 2-1 | ,∴ 当 t = 2 时,函数取 得最小值,即 g( t) min = - 5;当 t = 8 时,函数取得最大值,即 g( t) max = 31,∴ f(x)∈[-5,31] . 典例 8 【解】由题设 f(0)= 3 +b 1+a = 0,可得 b= -3. 又 f(-x)= -f(x),即 3 1-x-3 3-x+a = -3 x+1 -3 3x+a ,可得 a= 1, 所以 f(x)= 3 x+1 -3 3x+1 . f(x)在 R 上单调递增,证明如下: 令 x1 > x2 , 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) = 3x1 +1 -3 3x1 +1 - 3 x2+1 -3 3x2 +1 = 3[(3x1 -1)(3x2 +1)-(3x2 -1)(3x1 +1)] (3x1 +1)(3x2 +1) = 6(3 x1 -3x2 ) (3x1 +1)(3x2 +1) , 由 3x1 >3x2 ,(3x1 +1)(3x2 +1) >0,得 f(x1 ) -f(x2 ) >0,即 f(x1 ) > f(x2 ),所以 f(x)在 R 上单调递增. 典例 9 D 【解析】因为 f( x) = xe x eax-1 为偶函数,所以 f( x) - f(-x)= xe x eax-1 -(-x)e -x e-ax-1 = x[e x-e(a-1)x] eax-1 = 0. 又因为 x 不恒为 0, 所以ex-e(a-1)x = 0,即ex = e(a-1)x,所以 x = (a-1) x,即 1 = a- 1, 解得 a= 2. 故选 D. 变式题 B 【解析】方法一:因为 f(x) = e2x +e-2x+2 ,所以 f(1- x)= e2-2x+e2x = f(x),所以函数 f(x)的图象关于直线 x = 1 2 对 称,将 f(x)的图象向左平移 1 2 个单位长度,关于 y 轴对称,即 f ( x+ 12 )为偶函数. 故选 B. 方法二:因为 f ( x+ 12 ) = e 2x+1 +e-2x+1 = e( e2x +e-2x ),x∈R,则 f ( -x+ 12 ) = e( e 2x +e-2x ) = f ( x+ 12 ) ,所以 f ( x+ 1 2 ) 为偶 函数; 又 f(x+1)= e2x+2 +e-2x,所以 f(-1+1)= e0 +e2 = 1+e2 ,f(1+1)= e4 +e-2 = e4 + 1 e2 ,所以 f( - 1+ 1) ≠f(1+ 1),f( - 1+ 1) ≠- f(1+ 1),故 f(x+1)为非奇非偶函数; 又 f(x-1)= e2x-2 +e-2x+4 ,所以 f( -1-1)= e-4 +e6 = 1 e4 +e6 ,f(1- 1)= e0 +e2 = 1+e2 ,所以 f(-1-1)≠f(1-1),f( -1-1) ≠-f(1- 1),故 f(x-1)为非奇非偶函数; 又 f ( x- 12 ) = e 2x-1 +e-2x+3 ,所以 f ( -1- 12 ) = e -3 +e5 = 1 e3 +e5 , f ( 1- 12 ) = e+e = 2e,所以 f ( - 1- 1 2 ) ≠ f ( 1- 1 2 ) ,f ( - 1- 1 2 ) ≠-f ( 1- 1 2 ) ,故 f ( x- 1 2 )为非奇非偶函数. 故选 B. 典例 10 3+2　 2 【解析】令 x+1 = 0,可得 x= -1,此时 y = a1-1 - 2 = -1,所以函数图象恒过定点 A( - 1,- 1) . 因为点 A 在直 线 mx+ny+1 = 0 上,所以-m-n+1 = 0,所以 m+n = 1,所以 1 m + 2 n = ( 1m + 2 n ) (m+ n) = 3 + n m + 2m n ≥3 + 2 　 n m · 2m n = 3 + 2 　 2 ,当且仅当 n m = 2m n , m+n= 1, { 即 m= 　 2 -1, n= 2-　 2{ 时等号成立. 综上, 1 m + 2 n 的最小值为 3+2 　 2 . 典例 11 C 【解析】因为ex> 0,x2 > 0,所以 f(x) = e x x2 > 0,排除 D,当 x= 0 时,f(x)= e x x2 没有意义,排除 A,B. 故选 C. 典例 12 B 【解析】 y = ( 12 ) | 1- x | +m 的图象与 x 轴有公共 点,即函数 y = ( 12 ) | 1- x | 与 y = -m 的图象有公共点, y = ( 12 ) | 1- x | 的图象如图所示,可知 0< -m≤1⇒- 1≤m< 0. 故 选 B. 变式题 {a | a≥1 或 a = 0} 【解析】方程 | 2x -1 | = a 有唯一实 数解,即函数 y= | 2x-1 |的图象与直线 y = a 有唯一交点,作出 y= | 2x-1 |的图象,如图所示,由图可知,要使直线 y = a 与 y = | 2x-1 |的图象有唯一交点,则 a≥1 或 a= 0. 4.2　对数与对数函数 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①logaN　 ②logaN　 ③负数　 ④0　 ⑤0　 ⑥1　 ⑦10　 ⑧e　 ⑨logaM+logaN　 ⑩logaM-logaN　 􀃊􀁉􀁓nlogaM　 􀃊􀁉􀁔 logcb logca 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10 􀃊􀁉􀁕logax　 􀃊􀁉􀁖(0,+∞ )　 􀃊􀁉􀁗R　 􀃊􀁉􀁘(1,0)　 􀃊􀁉􀁙y= x 三、思考辨析 1. √　 2. 　 3. 　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例1 D 【解析】方法一:因为 2a = 3b = 6,所以 a= log26, 1 a = log62,b= log36, 1 b = log63,则 1 a + 1 b = log62+log63 = log66 = 1. 故 选 D. 方法二:因为 2a = 6,所以 2 = 6 1 a ,因为 3b = 6,所以 3 = 6 1 b ,所以 2×3 = 6 1 a ·6 1 b ,所以 6 = 6 1 a + 1 b ,所以 1 a + 1 b = 1. 故选 D. 典例 2 4 【解析】令 3x = 4y = 12z = k>1,则 x = lg k lg 3 ,y = lg k lg 4 ,z = lg k lg 12 ,所以x +y z = lg k lg 3 +lg k lg 4 lg k lg 12 = lg 12×lg 12 lg 3×lg 4 = (lg 3+lg 4) 2 lg 3×lg 4 = lg 3 lg 4 + lg 4 lg 3 +2. 因为 0<lg 3 lg 4 <1,所以lg 3 lg 4 +lg 4 lg 3 >2,所以lg 3 lg 4 +lg 4 lg 3 +2>4. 又 lg 4 lg 3 <2,lg 3 lg 4 < 1,所以 lg 3 lg 4 + lg 4 lg 3 + 2< 5,则 lg 3 lg 4 + lg 4 lg 3 + 2∈( 4, 5)= (n,n+1),则 n= 4. 典例 3 B 【解析】对数函数解析式为 y = logax(a> 0,且 a≠ 1),对于①②④,y= log2(-x),y= 3lg x 和 y= log2(x+3)不符合 对数函数解析式的特征,故①②④错误;对于③,y = log 1 2 x 符 合对数函数解析式的特征,故③正确. 故选 B. 变式题 2 【解析】根据对数函数的定义有 a2 -4a-5 = 0, a>0, a≠1, ì î í ïï ïï 解得 a= 5,所以 f(25)= log525 = 2. 典例 4 D 【解析】由-x2 +4x>0,得 0<x<4,令 g(x)= -x2 +4x, x∈(0,4),则 g(x) 在(0,2)上单调递增,在(2,4) 上单调递 减,又 y=ln x 在(0,+∞ )上单调递增,所以当函数 f(x)在(a, a+1)上单调递增时,根据复合函数的单调性可知 a≥0, a+1≤2,{ 解 得 0≤a≤1.故选 D. 变式题 B 【解析】因为对任意 x1 ≠x2 ,都有 f(x1 )-f(x2 ) x1 -x2 > 0 成立,所以函数 f(x)在定义域内单调递增. 因为 f(x) = logax,x>1, ax-2,x≤1,{ 所以 a>1, a>0, loga1≥a-2, ì î í ïï ïï 解得 1<a≤2. 故 选 B. 典例 5 C 【解析】a= log52<log5 5 = 1 2 = log82 2 <log83 = b,即 a<c<b. 故选 C. 典例 6 { 5 } 【解析】∵ log2(x-1)= 2-log2(x+1),∴ log2(x- 1)= log2 4 x+1 ,∴ x-1 = 4 x+1 ,解得 x = ± 　 5 . 检验得 x = - 　 5 不符 合,∴ 方程log2(x-1)= 2-log2(x+1)的解集为{ 　 5 } . 典例 7 (-3,-1)∪(1,3) 【解析】 log2( x 2 - 1) < 3⇔log2( x 2 - 1)<log28,因为函数 y= log2x 是增函数,所以 0<x 2 -1<8,解得 x∈(-3,-1)∪(1,3) . 典例 8 【解】(1)由 f(2)= 2 得loga2+loga(4-2)= 2,即2loga2 = 2,所以loga2 = 1,解得 a= 2, 所以 f(x)= log2x+log2(4-x),由 x>0, 4-x>0,{ 解得 0<x<4, 故 f(x)的定义域为(0,4) . (2)由(1)及条件知 f(x)= log2x+log2(4-x)= log2 [x(4-x)] = log2 [-(x-2) 2 +4], 设 t(x)= -(x-2) 2 +4,x∈ 1, 7 2 é ë êê ù û úú , 则当 x= 2 时,t(x)取得最大值,且 t(x) max = 4; 当 x= 1 时,t(x)= 3; 当 x= 7 2 时,t(x)= 7 4 , 所以当 x∈ 1, 7 2 é ë êê ù û úú 时,t(x) min = 7 4 ,即 t(x)∈ 7 4 ,4é ë êê ù û úú . 因为 f( t)= log2 t 在 7 4 ,4é ë êê ù û úú 上单调递增, 所以 f(x) max = log24 = 2,f(x) min = log2 7 4 = log27-2, 所以 f(x)在 1, 7 2 é ë êê ù û úú 上的值域为[log27-2,2] . 典例 9 【解】由-x2 +4x>0,得 0<x<4, 令 g(x)= -x2 +4x,x∈(0,4),则 g(x)在(0,2)上单调递增,在 (2,4)上单调递减. 又当 a>1 时,y= logax 在(0,+∞ )上单调递增,所以 f(x)的单 调递增区间为(0,2); 当 0<a<1 时,y= logax 在(0,+∞ )上单调递减,所以 f(x)的单 调递增区间为(2,4) . 典例 10 B 【解析】因为 f(x)为偶函数,所以 f(1)= f( -1), 所以(1+a)ln 1 3 = (-1+a) ln 3,解得 a = 0,当 a = 0 时,f(x)= xln 2x-1 2x+1 ,由(2x-1)(2x+1) >0,解得 x> 1 2 或 x<- 1 2 ,所以函 数 f(x) 的定义域为 x x> 1 2{ 或 x<- 1 2 } ,关于原点对称. 又 f(-x)= (-x)ln 2(-x)-1 2(-x)+1 = ( -x) ln 2x+1 2x-1 = ( -x) ln 2x -1 2x+1( ) -1 = xln 2x-1 2x+1 = f(x),故此时 f(x)为偶函数. 故选 B. 变式题 【解】由 1+x> 0 且 1-x> 0,得- 1<x< 1,即函数 f(x) + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称. 又 f(-x)+g(-x)= loga(1-x)+loga(1+x)= f(x)+g(x), 所以函数 f(x)+g(x)为偶函数. 典例 11 (2,1) 【解析】令 2x- 3 = 1,则 x = 2,此时 loga(2x- 3)= 0,所以函数 y = loga(2x-3)的图象恒过定点(2,0),所以 函数 f(x)= loga(2x-3)+1 的图象恒过定点(2,1) . 典例 12 B 【解析】设 y= f(x)= ln | x | x2 +2 ,则函数 f(x)的定义域 为{x | x≠0},关于原点对称,又 f( -x)= ln | -x | (-x) 2 +2 = f(x),所以 函数 f(x)为偶函数,排除 A,C;当 x∈(0,1)时,ln | x | <0,x2 + 2>0,所以 f(x)<0,排除 D. 故选 B. 典例 13 {a | a>1} 【解析】方程 f(x) +x-a = 0 有且只有一个 实根,即函数 y= f(x)的图象与直线 y= -x+a 有且只有一个交 点,在同一坐标系中分别作出 y = f(x)与 y = -x+a 的图象,如 图所示,由图可知,当 a>1 时,直线 y= -x+a 与 y= f(x)的图象 只有一个交点. 故实数 a 的取值范围为{a | a>1} . 变式题 6 【解析】令 g(x) = 0,即 f 2(x) - 3f(x) + 2 = 0,解得 f(x)= 1 或 f(x)= 2,作出函数 f(x)的图象,如图所示,由图可 知,方程 f(x)= 1 有 3 个实数解,方程 f(x)= 2 有 3 个实数解, 且均互不相同,所以函数 g(x)= f 2(x) -3f(x) +2 的零点个数 是 6. 典例 14 B 【解析】由题意可知函数 y = f( x) 的图象与 y = log2(x+a)的图象关于直线 y = x 对称,所以点 ( f ( 1), 1), ( f(2),2) 在 函 数 y = log2 ( x + a ) 的 图 象 上, 所 以 log2 [ f(1)+a] = 1, log2 [ f(2)+a] = 2, { 所以 f(1) +a= 2, f(2)+a= 4,{ 所以 f(1)+f(2) +2a= 6, 又 f(1)+f(2)= 2,所以 2+2a= 6,所以 a= 2. 故选 B. 4.3　函数的应用 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①左　 ②右　 ③上　 ④下　 ⑤x 轴　 ⑥y 轴　 ⑦原点 ⑧x 轴　 ⑨x 轴　 ⑩y 轴　 􀃊􀁉􀁓y 轴　 􀃊􀁉􀁔y 轴　 􀃊􀁉􀁕 1 a 　 􀃊􀁉􀁖a 􀃊􀁉􀁗f(x)= 0　 􀃊􀁉􀁘f(a) f(b)<0 三、思考辨析 1. 　 2. 　 3. √　 4. 　 5. √ 【快提升·练典例】 典例 1 ABD 【解析】把 y = ln x 在 x 轴下方的图象翻折到上 方,即可得到函数 y= | ln x |的图象,将 y= | ln x |在 y 轴右侧的图 象翻折到左侧,右侧不变,即可得到函数 y= | ln |x | | = | ln | -x | |的 图象,再将 y= | ln | -x | | 的图象向右平移 2 个单位长度,即可 得到函数 y= | ln | -(x-2) | | = | ln | 2-x | | 的图象,如图所示. 由 图可得函数 f( x) 在(1,2) 上单调递增,故 A 正确;函数 y = f(x)的图象关于直线 x = 2 对称,故 B 正确;若 x1 ≠ x2 ,但 f(x1 )= f(x2 ),则 x1 ,x2 关于直线 x = 2 对称,即 x1 +x2 = 4,故 C 错误;函数 f(x)有且仅有两个零点,故 D 正确. 故选 ABD. 典例 2 A 【解析】由 2 - | x | > 0,解得 - 2 < x < 2,所以函数 f(x)的定义域为{x | -2<x<2},关于原点对称. 因为 f( -x) = ln(2- | -x | )= ln(2- | x | )= f(x),所以函数 f(x)为偶函数,排 除选项 C,D. 当 x = 3 2 时,f ( 32 ) = ln 1 2 < 0,排除选项 B. 故 选 A. 典例 3 D 【解析】由题图知函数图象关于 y 轴对称,其为偶 函数,且 f(-2)= f(2)<0,由5sin( -x) (-x) 2 +1 = -5sin x x2 +1 且定义域为 R, 即 B 中函数为奇函数, 排除; 当 x > 0 时, 5(e x-e-x) x2 +2 > 0, 5(ex+e-x) x2 +2 >0,即 A, C 中 ( 0, + ∞ ) 上函数值为正,排除. 故 选 D. 典例 4 D 【解析】消耗 1 L 汽油,乙车最多行驶里程大于 5 km,故 A 错误; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行 驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故 B 错误; 甲车以 80 km / h 的速度行驶时燃油效率为 10 km / L,行驶 1 h,里程为 80 km,消耗 8 L 汽油,故 C 错误; 最高限速 80 km / h,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件 下,在该市用丙车比用乙车更省油,故 D 正确. 故选 D. 典例 5 C 【解析】 构造函数 f( x) = ( 12 ) x - x 1 3 ,因为 y = ( 12 ) x 和 y= -x 1 3 在 R 上单调递减, 所以函数 f(x)在 R 上单调递减,且函数 f(x)的图象是一条连 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12