抢分秘籍05 利用分类讨论解决中考数学多解题（四大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍05 利用分类讨论解决中考数学多解题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】几何位置多解 【题型二】代数分类讨论 【题型三】 图形运动多解 【题型四】函数图像多解 ：中考数学多解题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，几何位置（点/三角形/圆）、代数含参、函数图像、图形运动为高频多解考点是考查的重点，也是高频考点、必考点。 2．从题型角度看，选择填空易漏解，解答题中分类讨论、动态几何、存在性问题必考多解，分值8分左右，着实不少！ ：圈画“不确定”条件（如动点、参数），分类时按标准（如位置、符号）穷举，总结典型多解模型（如等腰三角形、相似对应关系）。 【题型一】几何位置多解 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 几何位置多解：点在线段/延长线、三角形形状（锐角/钝角）、高的内外、圆中弦的同侧/异侧、全等/相似对应关系不明确等。 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则 . 【变式1】（2025·河南周口·一模）在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为 ． 【变式2】（2025·河南信阳·一模）在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【变式3】（2025·上海闵行·模拟预测）我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 【变式4】（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为 【题型二】代数分类讨论 【例1】（2025·江西·一模）已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 代数分类讨论：绝对值、平方根、二次方程判别式、分式分母不为零、参数取值范围导致的解的个数或符号差异。 【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则 ． 【变式1】（2025·广西河池·一模）的平方根是 ． 【变式2】（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（2025·山东聊城·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【变式4】（2025·甘肃·一模）对于实数定义运算“#”为，例如：，则关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式5】（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【变式6】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【题型三】 图形运动多解 【例1】（2025·黑龙江七台河·一模）已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 ． 平移/旋转/对称中图形位置不同（如折叠后点的位置） 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）把一副三角板如图摆放，如果三角板绕公共顶点O顺时针旋转至时，那么旋转角的度数为 ． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿边翻折得到，当与的重叠部分为直角三角形时，则的长是 ． 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为 ． 【变式4】（2025·河南·一模）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 【变式5】（2025·河南信阳·一模）如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，，当点E落在 的边上时，的长为 ． 【变式6】（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为 ． 【变式7】（2025·上海·模拟预测）正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为 ． 【变式8】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为 ． 【变式9】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在正方形中，，P为上一点，且，E为上一动点，连接，作关于直线的对称图形，点B的对称点为点，继续作关于直线的对称图形，点E的对称点为点，连接，当与正方形的一边平行时，则的长为 ． 【变式10】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 【题型四】函数图像多解 【例1】（2025·河北张家口·一模）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 一次函数斜率符号、二次函数开口方向或对称轴位置、函数与坐标轴交点的不同情形。 【例2】（2025·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ． 【变式1】（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为 【变式2】（2025·河北保定·一模）若点分别在反比例函数．位于第一象限的图象上，且点在点的下方，写出一个满足条件的的整数值： ． 【变式3】（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【变式4】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【变式5】（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 【变式6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍05 利用分类讨论解决中考数学多解题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】几何位置多解 【题型二】代数分类讨论 【题型三】 图形运动多解 【题型四】函数图像多解 ：中考数学多解题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，几何位置（点/三角形/圆）、代数含参、函数图像、图形运动为高频多解考点是考查的重点，也是高频考点、必考点。 2．从题型角度看，选择填空易漏解，解答题中分类讨论、动态几何、存在性问题必考多解，分值8分左右，着实不少！ ：圈画“不确定”条件（如动点、参数），分类时按标准（如位置、符号）穷举，总结典型多解模型（如等腰三角形、相似对应关系）。 【题型一】几何位置多解 【例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、判断确定圆的条件、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】如图，由，都为等腰直角三角形，证明四边形是正方形，连接，交于，连接，过作于，过作于，证明在以为圆心，为半径的圆上；四边形为正方形，证明，可得，求解，再进一步，，可得，从而可得答案； 【详解】解：如图，∵，都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是正方形， 连接，交于，连接，过作于，过作于， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴在以为圆心，为半径的圆上； ∴，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 综上：的长为或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 几何位置多解：点在线段/延长线、三角形形状（锐角/钝角）、高的内外、圆中弦的同侧/异侧、全等/相似对应关系不明确等。 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则 . 【答案】3或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质得出，，由勾股定理求出；分两种情况：①当点F在边上时，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出即可；②当点F在边上时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边是正方形， ∴，，， ∴， 分两种情况： ①当点F在边上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点F在边上时，如图2所示： ∵， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 【变式1】（2025·河南周口·一模）在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为 ． 【答案】或1 【知识点】等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶当时，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为或1， 故答案为：或1． 【变式2】（2025·河南信阳·一模）在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；①当时，由矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解；②当时，同理可证 ，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解； ③由，，此种情况不存在；掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解，并能按直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 由①得： ， ， 同理可证：， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， ， 同理可求：， 是的中点， ， ； ③， ，此种情况不存在； 综上所述：的长为或． 【变式3】（2025·上海闵行·模拟预测）我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 【答案】1或或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，分三种情况讨论，利用三角形面积公式求得即可．分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：， 为斜边， 当时，的面积； 当时，的面积； 当时，则， 的面积； 故答案为：1或或. 【变式4】（2025·四川泸州·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 解题的关键是知道“智慧三角形”指的是直角三角形． 由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论，或，设设点，则则，，根据勾股定理求出，，，根据或，可以得到这三条边的关系，解之即可． 【详解】解：如图，是“智慧三角形”，是中线，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形， ∵矩形中，，，， ∴，，，， ∴， 设点，则，， ①若，如图， 在中， 在中， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②若，如图， 由①知： 整理得， 解得或 ∴或 综上，P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型二】代数分类讨论 【例1】（2025·江西·一模）已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程得到，，根据方程的两个实数根都是整数，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴， 故答案为：． 代数分类讨论：绝对值、平方根、二次方程判别式、分式分母不为零、参数取值范围导致的解的个数或符号差异。 【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，以及解分式方程，解题的关键在于正确理解“协变数对”概念．根据“协变数对”定义建立分式方程求解，即可解题． 【详解】解：根据，则，称为“协变数对”， 又是“协变数对”， 则有 整理得， 解得或， 经检验，或是方程的解， 故答案为：或． 【变式1】（2025·广西河池·一模）的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式的性质，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式、分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 实数的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式3】（2025·山东聊城·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零． 根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据有意义，可得：， 解得：， 根据有意义，可得：， 解得：， 综上可得：的取值范围是且． 故答案为：且 【变式4】（2025·甘肃·一模）对于实数定义运算“#”为，例如：，则关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点． 根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【变式5】（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 【变式6】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】22 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 【题型三】 图形运动多解 【例1】（2025·黑龙江七台河·一模）已知矩形的边，，折叠矩形，使顶点A落在矩形的一边上的P点，且折痕恰好经过矩形的一个顶点，则 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键．存在两种情况，一是点P在边上，折痕经过点D，交于点F，由矩形的性质得，，由折叠得，由勾股定理求得；二是点P在边上，折痕经过点B，交于点E，由，，，求得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P在边上，折痕为经过点D，交于点F， 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ； 如图2，点P在边上，折痕经过点B，交于点E， ，，， ， ， ， ， 故答案为：或 平移/旋转/对称中图形位置不同（如折叠后点的位置） 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）把一副三角板如图摆放，如果三角板绕公共顶点O顺时针旋转至时，那么旋转角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，当在上方，设直线与直线交于点E，由平行线的性质可得的度数，进而求出的度数即可得到答案；当在下方时，过点O作，则，根据平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当在上方时，设直线与直线交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时旋转角度为； 如图所示，当在下方时，过点O作， 由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角度为， 综上所述，旋转角度为或 故答案为：或． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分两种情况：当点在直线的下方时，当点在直线上方时；分别求解即可得到答案． 【详解】解：如图1，当点在直线的下方时， ， ， 由折叠可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在直线上方时， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿边翻折得到，当与的重叠部分为直角三角形时，则的长是 ． 【答案】4或 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再分两种情况：当重叠的部分为直角，且；当重叠的部分为直角，且；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵与的重叠部分为直角三角形， ∴如图，当重叠的部分为直角，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，此时， 如图：当重叠的部分为直角，且， 此时， 综上所述，的长是4或， 故答案为：4或． 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键． 分点E在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】①当点E在上方时， 如图2，过点D作，垂足为H， 在中，，，， ， ， 在中，，，，， ， 点在同一条直线上，且， ， 在中，，，， ， ， 在中，， ； ②当点E在下方时， 如图3， 在中，，，， ， ， 过点作，垂足为， 在中，， ； 综上所述，点到直线的距离为或， 故答案为：或． 【变式4】（2025·河南·一模）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质及应用，由已知可得，从到需，从到需，设，运动时间为，分两种情况画出图形，即可得到答案，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：由已知可得，从到需，从到需， 设，运动时间为， 如图，当与不平行时，过作于，过作于， 则， 四边形为矩形， 由题可知，，， ，， 四边形是等腰梯形， ， ， ，， ， ， 解得； 当与平行时，如图： ， 四边形为平行四边形， 此时， ， 解得， 为或时，； 综上所述，为或，； 故答案为：或． 【变式5】（2025·河南信阳·一模）如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，，当点E落在 的边上时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】首先得到，均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在边上和点E落在边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ①当点E落在边上时，如图所示，则点D在边上， ∴， 在中，； ②当点E落在边上时，如解图2所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论． 【变式6】（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．根据题意分两种情况画图：①如图1，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，②如图2，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当点在矩形内， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； ②如图2，当点在矩形外， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 【变式7】（2025·上海·模拟预测）正方形的边长为，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况：当在上时，根据四边形是正方形，，得四边形是平行四边形，又将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处，可得，故；当在上时，过作于，可证明（），从而推得，是的中位线，，设则，可得，解得，即可得到答案． 【详解】解：当在上时，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， 正方形的边长为， ； 当在上时，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 将沿直线翻折，使得点落在正方形内的点处， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 是的中位线，， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式8】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；是，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以；是，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或， 故答案为：或4或． 【变式9】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在正方形中，，P为上一点，且，E为上一动点，连接，作关于直线的对称图形，点B的对称点为点，继续作关于直线的对称图形，点E的对称点为点，连接，当与正方形的一边平行时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，分为两种情况①当时，②当时，分类求解即可． 【详解】如图1，当时，设交BD于点M， 则， ， 由对称性可知，， ， ， ， 由对称性得为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形， ； 如图2，当时， 由对称性易知，，， 易知为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，EE的长为或， 故答案为：或 【变式10】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 【答案】 或4 或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可； （2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 【题型四】函数图像多解 【例1】（2025·河北张家口·一模）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【答案】2或4 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 一次函数斜率符号、二次函数开口方向或对称轴位置、函数与坐标轴交点的不同情形。 【例2】（2025·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】特殊三角形的三角函数、已知正切值求边长、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式1】（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为 【答案】或或 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、坐标与图形综合 【分析】先根据含30度直角三角形的性质得出，．再分三种情况，分别画出图形利用含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质以及角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：，， ，． ①如答图1，当平分时，． ， ． ， ②如答图2，当平分时， 则， ， ③如答图3，当平分时， 过点P作于点C， 则． ， ， 故答案为：，或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的定义以及角平分线的性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键． 【变式2】（2025·河北保定·一模）若点分别在反比例函数．位于第一象限的图象上，且点在点的下方，写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】1（或或） 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数图像的性质即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：位于第一象限的图象上，且点在点的下方， ， 故答案为：（或或）． 【变式3】（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求线段长、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得抛物线开口方向及顶点坐标，再确定临界点，当抛物线对称轴与重合时求出m的值，当抛物线经过点D时，可得解集；然后求出抛物线经过点C，B时m的值，可得答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线顶点在抛物线上， 由题意得点D坐标为， 如图，当抛物线对称轴与重合时符合题意， 此时， 解得， 将点代入得， 解得， 时符合题意． 将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得， ，符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【变式4】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 【变式5】（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键．根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来判断①②；根据对称轴得来判断③；利用当时，来判断④；利用A、B、C到对称轴的距离分别为5，，进行判定⑤． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下， ∴；故①正确，符合题意； ②抛物线与轴交于正半轴， ∴；故②正确，符合题意； ③∵对称轴为直线， ，即， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故④错误，不符合题意； ⑤∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，且开口向下， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为5，，， ，故⑤错误，不符合题意， 综上所述，符合题意的有：①②． 故答案为：①②． 【变式6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$