专题18.15 平行四边形全章专项复习【5大考点14种题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题18.15 平行四边形全章专项复习【5大考点14种题型】 【人教版】 【考点1 平行四边形】 2 【题型1 由平行四边形的性质求值】 3 【题型2 由平行四边形的性质证明结论】 7 【题型3 平行四边形的判定】 11 【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】 16 【考点2 菱形】 23 【题型5 菱形性质的应用】 24 【题型6 菱形性质与判定的综合应用】 28 【题型7 菱形中的动点问题】 34 【考点3 矩形】 41 【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】 42 【题型9 矩形中的折叠问题】 47 【考点4 正方形】 54 【题型10 正方形性质的应用】 55 【题型11 几种特殊平行四边形的综合】 60 【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】 70 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】 70 【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】 74 【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】 79 【考点1 平行四边形】 1.平行四边形的性质 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 2.平行四边形的判定方法 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 【题型1 由平行四边形的性质求值】 【例1】（24-25八年级·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形, ∴, ∴, ∵E是的中点, ∴, ∵, ∴, ∴， ， ∴， ． 故选 B． 【变式1-1】（24-25八年级·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解． 【详解】解：设； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级·全国·期末）如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积． 【答案】周长是，面积是 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由平行四边形的性质得 ，，，由平行线的性质得，，设，由直角三角形的特征得，由勾股定理得 ，由可求，即可求解；掌握平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ， 的周长是：（）， 面积是： （）． 【变式1-3】（24-25八年级·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质． 由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴平行四边形的周长是：． 故答案为：36． 【题型2 由平行四边形的性质证明结论】 【例2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 【变式2-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，利用证得后即可证得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【变式2-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，，进一步得到，由，得到，证明，即可得到，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在平行四边形中，，垂足分别为E，F． (1)求证： (2)连接，与交于点O，求证：． (3)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，再由，，可得，再证明即可； （2）由全等的性质可得，从而得出平行四边形是菱形，最后由菱形的性质可得结论； （3）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，最后利用菱形的性质求出面积即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ， 平行四边形是菱形， ； （3）解：平行四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【题型3 平行四边形的判定】 【例3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）四边形 中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质． （1）依据题意，由，从而，又有，进而，故有，从而可以得出结论； （2）依据题意，分别作于点G，于点H，由题意先证明，再证，进而可以得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：分别作于点G，于点H，则， ∵，，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【变式3-1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据和勾股定理可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长， 【详解】（1）证明：是等边的边上的高， ，， ， ， ， ， 为等边三角形三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形的周长为：． 【变式3-3】（24-25八年级·全国·期末）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理，解答即可． 【详解】（1） 证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是的中点， ∴, ∵， ∴， ∴． 【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】 【例4】（24-25八年级·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接． (1)求的值． (2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明． (3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析 (3)存在， 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、坐标与图形等知识． （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得； （2）过点P作，利用平行线的性质得到，则，即可得到答案； （3）求出点的坐标分、，则，，得到点R的坐标为，点S的坐标为，，四边形是平行四边形，则，作于点H，则，当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2），理由如下： 如图所示，过点P作， ∵ 则， ∴， ∴， ∴； （3）存在，点Q的坐标为，理由如下： 由（1）可知，点的坐标分、． ∴， ∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到， ∴点R的坐标为，点S的坐标为，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点H，则 ∵点Q是线段上的动点， ∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即， 此时，即的最大值为， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积最大值为， 此时点Q的坐标为． 【变式4-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 【详解】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式4-3】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 【考点2 菱形】 1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. 【注意】（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表. 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【注意】 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【题型5 菱形性质的应用】 【例5】（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式5-1】（24-25八年级·广东湛江·期末）如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和求出是解此题的关键 根据菱形的性质得出，，，根据角平分线的性质得出，求出，设，则，根据的周长为8得出，求出，求出，， x，求出，求出，再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∵的周长为8， ∴， 解得： ， 即，， ∴， 即， ， ∴， ∴菱形的面积 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 由四边形是菱形，可得，在中，由勾股定理得：，由等积法可得，在中，由勾股定理得：，，可得 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴ 故答案为：2． 【变式5-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）已知：如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若菱形的周长是16，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题中所给条件证明与全等即可证明． （2）根据菱形的性质可得，可得，结合（1）证得即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解： 菱形的周长是16， ． ∵为的中点， ∴， ∵， ； 【点睛】此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形全等的判定与性质等知识点．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【题型6 菱形性质与判定的综合应用】 【方法总结】通常解决菱形性质与判定的综合题时,首先应判定相应的四边形是菱形,然后再根据菱形的性质进行下一步的证明. 【例6】（24-25八年级·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式6-1】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为 ． 【答案】48 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明 ，从而可得，同理可得 ，再由可得四边形是菱形；连接、过点A作于点H，证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理可得的长，进而可得长，利用菱形的面积公式计算出的长，然后可得的面积． 【详解】解：连接、过点A作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点E ， ， ， 同理：， ， ， ∴四边形是平行四边形 ， ， 四边形是菱形， ∴，，，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，以及平行四边形的性质，勾股定理，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的面积为对角线之积的一半． 【变式6-2】（24-25八年级·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、； （2）根据垂直平分线的性质得，，由，得，，证明，得，推出四边形为平行四边形，即可得证； （3）先根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、， 则四边形即为所作； （2）证明：设，交于点， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【题型7 菱形中的动点问题】 【方法总结】解决动点问题的思路: 1.动中求静:在运动变化中探索问题的不变性. 2.动静互化:抓住“静”的瞬间,找出导致图形发生改变的特殊时刻,同时在变化过程中寻找不变性及变化规律. 【例7】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接． (1)菱形的边长为 ； (2)求直线的解析式； (3)动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒． ①求与之间的函数关系式； ②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)5 (2) (3)①；②1或 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求得菱形的边长； （2）根据（1）即可求的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）①根据求得M到直线的距离为h，然后分成P在上和在上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解；②代入，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴轴，， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 即菱形的边长为5； 故答案为：5 （2）解：由（1）得：， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①设M到直线的距离为h， 对于， 当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 当点P在边上时，，此时， ∴； 当点P在边上时，，此时， ； 综上所述，与之间的函数关系式为； ②∵， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的值为1或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线的距离h是关键． 【变式7-1】（24-25八年级·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 【变式7-2】（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征， 当、、三点共线时，取得最小值，此时，的最小值为，即可求解；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，找出取得最值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时， 的最小值为， ， ， ， 的最小值为； 故答案：． 【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． (1)求证：； (2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4秒，见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据矩形的性质，结合已知条件，证明，进而即可得证； （2）设点运动秒，四边形是菱形，根据菱形的性质可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：设点运动秒，四边形是菱形， 四边形是菱形 ， ， ， ，即， ，即， 点运动秒，四边形是菱形． 【考点3 矩形】 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 3. 直角三角形斜边上中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图所示，在中，(或) 证明线段倍分、相等关系 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 4.矩形的判定 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】 【例8】（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键． （1）设根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出三个角的度数，列方程得出，即可得到的度数； （2）连接，求出对角线的长度，从而得出四边形的边长，求出面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接交于点，如图： 设，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴四边形的面积为． 【变式8-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【变式8-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明，然后得到，，即可得到结论； （2）证明四边形是矩形，然后可以得到是等边三角形，利用勾股定理求出和长即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型9 矩形中的折叠问题】 【方法总结】解决与矩形相关的折叠问题,主要是利用折叠的性质“折叠前后的图形能够完全重合,折叠前后的图形对应边相等,对应角相等”.解答此类问题,往往通过图形间的折叠,找出折叠部分与原图形之间线段或角的联系,从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系. 【例9】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB＝2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度，由折叠性质证明AD+BC＝2HF，求得AD，最后由矩形的周长公式求得周长便可． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， ∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°， ∴AB＝AE+EB＝2EM， ∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°， ∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°， 同理，∠EFG＝∠FGH＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵EH＝3cm，EF＝4cm， ∴HF5（cm）， ∵EM•HF＝EH•EF，   ∴EM（cm）， ∴AB＝2（cm）， 由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF， ∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF， ∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10， ∵AD＝BC， ∴AD＝5， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（5）＝19.6（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点． (1)求证：； (2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 【答案】(1)见详解 (2)①②的长为或4 【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质证明，则可得出结论； （2）①证出，设，则，，则可得出结论； ②分两种情况，由矩形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：沿折叠点的对应点是点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 折叠， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ； ②如图，若，在在上方，设， ， ， ， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ，（舍， ； 如图，设， 同理可得， ，（舍， ， 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-2】（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 【变式9-3】（24-25八年级·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)15  15  12  5 (2) 【分析】（1）由点A、点C的坐标可求得、的长，由翻折的对称性知，；由勾股定理，在中可求得的长；于是可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长． （2）自点E作，垂足为H．利用矩形的性质可求得的长，设，则在中利用勾股定理可求得的长，于是点P的坐标可知． 【详解】（1）如图．    由点可知，． 由沿翻折变成知，， ∴． 由点知，． ∴． ∴． 由得，， 设，则． 在中， 即：． 解得：． ∴的长． （2）自点E作，垂足为点H．则四边形是矩形． ∴． 设，则． 在中， ∴ 解得：． ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、矩形的折叠等知识点，解题的关键是将条件集中在一个直角三角形内，利用勾股定理求解． 【考点4 正方形】 1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1） 矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 3.正方形的判定 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 【题型10 正方形性质的应用】 【方法总结】关于利用正方形的性质进行计算的技巧: (1)求角:利用正方形的四个角为直角,一条对角线与一边的夹角为45°进行推导计算. (2)求线段的长:利用正方形的四条边相等,对角线相等且互相垂直平分进行计算. 【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 【变式10-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点； ②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点M，交于点N． 若点N的坐标为，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质． 过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，根据正方形的性质得到，，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，在中利用等腰直角三角形的性质得到，所以，则，接着根据角平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，则，解得，所以，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过N点作于H点，过M点作于Q点，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， 由作法得平分，而，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴M点的坐标为． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地（    ）平方米．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等，进而求解． 【详解】先证明每两个正方形公共顶点处内外两个三角形的面积相等： 如图，过点作于，过点作交延长线于，则， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，    由上知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． 这条小路的面积为平方米． 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定和性质，关键是寻找三角形面积之间的等量关系． 【变式10-3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和，角平分线性质，熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键． （1）由四边形是正方形，易得，平分，又由，即可证得四边形PMAN是正方形； （2）根据正方形的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，平分，               ∵， ，                 ∴四边形是矩形，                            ， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ，                   ∵， ， ∴． 【题型11 几种特殊平行四边形的综合】 【例11】（24-25八年级·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 【变式11-1】（24-25八年级·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作 ，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 【变式11-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6.5秒 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒 【分析】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案； （2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形； （3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案． 【详解】（1）解：如图，∵四边形为矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵动点的速度为每秒个单位长度， ∴（秒）． （2）解：如图，四边形是矩形； 理由如下：由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）解：如图，点M在点N右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 如图，点M在点N左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 【变式11-3】（24-25八年级·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)长为或 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，分类讨论方法是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式计算，即可； （2）由菱形性质可证，进而证明，即可得出结论； （3）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况，求出，进而解题． 【详解】（1）解：∵，面积为60， ∴菱形的高为； 故答案为：6； （2）证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：记中点为点O， ①如图中，当点在上时，作．则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点在上时，作． 同理，，，， ∴， 综上所述，长为或． 【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】 【例12】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到，判定和是等腰直角三角形．由三角形中位线定理得到，判定，推出，得到是等腰直角三角形，同理：是等腰直角三角形，求出，，由勾股定理求出，得到，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理：是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级·广东汕头·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，求线段的值． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，延长交于，证明，得出，，计算出，再由三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式12-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ，，， ， E、F分别为边，的中点， ，． G为的中点， ， 在和中， ， ． ，． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】 【例13】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合题意求出，即可得证； （2）证明，得出，由，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式13-1】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形的对边且 ，得到四边形是平行四边形，证得结论． 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是的两条中线， ∴点D、E分别是边的中点， 又∵F、G分别是的中点， ， 且 ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式13-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识， （1）连接，由三角形中位线定理可得，，，，可得，，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，可得，可得，可得结论 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，分别是对角线上的四等分点， ，分别为，的中点， 是的中点， 为的中位线， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，连接，， 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【变式13-3】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到，则由三线合一定理可得； （2）根据三角形中位线定理得到，，则，．再由，得到，则．即可得到，即是等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接． ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 同理可知． 又∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴．    （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴，即是等腰三角形． 【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】 【例14】（24-25八年级·甘肃张掖·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形 (3)当时，四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键． （1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论． （2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解． （3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【变式14-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据矩形的性质先证明是等腰直角三角形，求出，，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据是的中位线，即可求解． 【详解】解：四边形矩形， ∴，， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点，， ， ， 为的中点，，， ， 在中，， ， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式14-2】（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【答案】3 【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 设，， 在中，，，， ， 中，是的中点， ， 又， ， ，即， ， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ， ，即， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式14-3】（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】 已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接． 【猜想感知】 （1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由； 【类比探讨】 （2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系； 【问题解决】 （3）若，求线段的长． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析（2）（3）或 【分析】（1）延长交于点，先证明，得到，再证明，得到，进而推出，三线合一结合斜边上的中线，即可得出结论； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，再证明，推出为等腰直角三角形，三线合一结合斜边上的中线，推出为等腰直角三角形，根据线段的和差关系，勾股定理即可得出结论； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： 延长交于点，如图： ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，由（2）可知：， ∴， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.15 平行四边形全章专项复习【5大考点14种题型】 【人教版】 【考点1 平行四边形】 1 【题型1 由平行四边形的性质求值】 3 【题型2 由平行四边形的性质证明结论】 4 【题型3 平行四边形的判定】 5 【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】 6 【考点2 菱形】 7 【题型5 菱形性质的应用】 8 【题型6 菱形性质与判定的综合应用】 9 【题型7 菱形中的动点问题】 10 【考点3 矩形】 12 【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】 13 【题型9 矩形中的折叠问题】 14 【考点4 正方形】 16 【题型10 正方形性质的应用】 17 【题型11 几种特殊平行四边形的综合】 18 【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】 20 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】 20 【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】 21 【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】 22 【考点1 平行四边形】 1.平行四边形的性质 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 2.平行四边形的判定方法 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 【题型1 由平行四边形的性质求值】 【例1】（24-25八年级·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 【变式1-1】（24-25八年级·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【变式1-2】（24-25八年级·全国·期末）如图，在中，于E，于F，若，，，求的周长和面积． 【变式1-3】（24-25八年级·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【题型2 由平行四边形的性质证明结论】 【例2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式2-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，点E，F分别在上，且，连接，交于点O．求证：． 【变式2-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：． 【变式2-3】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在平行四边形中，，垂足分别为E，F． (1)求证： (2)连接，与交于点O，求证：． (3)若，求平行四边形的面积． 【题型3 平行四边形的判定】 【例3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）四边形 中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：； 【变式3-1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【变式3-3】（24-25八年级·全国·期末）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【题型4 平行四边形的判定与性质的综合应用】 【例4】（24-25八年级·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接． (1)求的值． (2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明． (3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【变式4-2】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【变式4-3】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【考点2 菱形】 1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. 【注意】（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表. 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【注意】 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【题型5 菱形性质的应用】 【例5】（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级·广东湛江·期末）如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为 ． 【变式5-2】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为 【变式5-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）已知：如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若菱形的周长是16，求的长． 【题型6 菱形性质与判定的综合应用】 【方法总结】通常解决菱形性质与判定的综合题时,首先应判定相应的四边形是菱形,然后再根据菱形的性质进行下一步的证明. 【例6】（24-25八年级·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式6-1】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为 ． 【变式6-2】（24-25八年级·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【变式6-3】（24-25八年级·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【题型7 菱形中的动点问题】 【方法总结】解决动点问题的思路: 1.动中求静:在运动变化中探索问题的不变性. 2.动静互化:抓住“静”的瞬间,找出导致图形发生改变的特殊时刻,同时在变化过程中寻找不变性及变化规律. 【例7】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接． (1)菱形的边长为 ； (2)求直线的解析式； (3)动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒． ①求与之间的函数关系式； ②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值． 【变式7-1】（24-25八年级·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【变式7-2】（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点F是上一点，且，，垂足为点E，． (1)求证：； (2)若，点P是上一动点，以的速度从点A运动到点D，问：点P运动多少秒四边形是菱形？请说明理由． 【考点3 矩形】 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 3. 直角三角形斜边上中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图所示，在中，(或) 证明线段倍分、相等关系 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 4.矩形的判定 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【题型8 矩形的性质与判定的综合应用】 【例8】（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【变式8-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【变式8-2】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【变式8-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 【题型9 矩形中的折叠问题】 【方法总结】解决与矩形相关的折叠问题,主要是利用折叠的性质“折叠前后的图形能够完全重合,折叠前后的图形对应边相等,对应角相等”.解答此类问题,往往通过图形间的折叠,找出折叠部分与原图形之间线段或角的联系,从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系. 【例9】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 【变式9-1】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点． (1)求证：； (2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 【变式9-2】（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形． 【变式9-3】（24-25八年级·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点．点，在边AB上任取一点D，将沿OD翻折，使点A落在边上，记为点E．    (1)的长=______，的长=________，的长=________，的长=________； (2)设点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【考点4 正方形】 1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1） 矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 3.正方形的判定 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 【题型10 正方形性质的应用】 【方法总结】关于利用正方形的性质进行计算的技巧: (1)求角:利用正方形的四个角为直角,一条对角线与一边的夹角为45°进行推导计算. (2)求线段的长:利用正方形的四条边相等,对角线相等且互相垂直平分进行计算. 【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点； ②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点M，交于点N． 若点N的坐标为，则点M的坐标为 ． 【变式10-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地（    ）平方米．    A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 【题型11 几种特殊平行四边形的综合】 【例11】（24-25八年级·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 【变式11-1】（24-25八年级·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作 ，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【变式11-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】（24-25八年级·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 【考点5 三角形的中位线、直角三角形斜边中线】 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】 【例12】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为 ． 【变式12-1】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【变式12-2】（24-25八年级·广东汕头·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，求线段的值． 【变式12-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【题型13 与三角形中位线有关的证明问题】 【例13】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式13-1】（24-25八年级·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【变式13-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形． 【变式13-3】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型14 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半】 【例14】（24-25八年级·甘肃张掖·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【变式14-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式14-2】（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【变式14-3】（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】 已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接． 【猜想感知】 （1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由； 【类比探讨】 （2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系； 【问题解决】 （3）若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$