第十八章 四边形中档证明题精选30道（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第十八章 四边形中档证明题精选30道 【人教版】 1．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若AB＝4，∠B＝60°，求AE的长． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 3．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AF，CE． （1）如图1，求证：AF＝CE； （2）如图2，连接AE，CF，若BE＝AE＝AO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有与△COF面积相等的钝角等腰三角形． 4．如图，在▱ABCD 中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，连接AF，CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB． （2）若G，H分别是AF，CE上的点，且 AG＝CH，∠AEG+∠AFD＝90°，试判断四边形EHFG是什么特殊四边形，并说明理由． 5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 7．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 8．已知：如图，▱ABCD中，E为AD边上一点，F为BC边延长线上一点，AE＝CF，过点F作FG∥BE，交DC延长线于点G，连接BG． （1）求证：△ABE≌△CGF； （2）当EC＝DC时，判断四边形BGFE是什么特殊四边形？请说明理由． 9．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 11．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE． （1）求证：四边形AEBF为矩形； （2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长． 14．如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 15．如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AF，AC的长． 16．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG． （1）求证：四边形EFCG是平行四边形． （2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使，连结EF，CE，DF． （1）求证：四边形CDFE是平行四边形． （2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长． 18．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF． （1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE． （1）求证：四边形AECD是平行四边形． （2）若CE平分∠ACB，求AD的长． 20．如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG． 求证： （1）△GBE≌△HDF； （2）GF＝EH． 21．如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形． （2）如图②．连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长． 22．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若BE平分∠ABD，BF长为2，求四边形BFDE的面积． 23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ． （1）求证：△BOQ≌△EOP； （2）求证：四边形BPEQ是菱形； （3）若AB＝12，F为AB的中点，OF+OB＝18，求PQ的长． 24．如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． 25．如图，在矩形ABCD中（AB＞BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE＝BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：四边形DOCF是菱形； （2）若矩形ABCD的周长为20，AC＝8，求四边形DOCF的面积． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，四边形ABDE是平行四边形，连接CE，DE，DE交AC于点F． （1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）判断DF与AB的数量关系和位置关系，并说明理由． 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF⊥AD于点E，交BC于点F，OE＝OF，连接OC，∠FOC＝∠ODA． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AB＝1，BD＝3EF，求OC的长． 28．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 29．如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 30．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 四边形中档证明题精选30道 【人教版】 1．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若AB＝4，∠B＝60°，求AE的长． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，DEAB，再证明四边形ABDF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接AD，证明△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB，再证明△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，然后由勾股定理求出AC的长，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BC＝2BD， ∴DE∥AB，DEAB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB，BC＝2BD， ∴AB＝BD． ∴平行四边形ABDF是菱形； （2）解：如图，连接AD， 由（1）可知，AB＝BD， ∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝CDBC， ∴BC＝2AB＝8，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC4， ∵E是AC的中点， ∴AEAC＝2， 即AE的长为2． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． 3．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AF，CE． （1）如图1，求证：AF＝CE； （2）如图2，连接AE，CF，若BE＝AE＝AO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有与△COF面积相等的钝角等腰三角形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，得四边形AECF是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质证明△AEB和△AOF，△CFD和△COE是钝角等腰三角形，再根据等底等高的三角形面积相等，即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1，连接AE，CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE； （2）解：∵BE＝AE＝AO，BE＝OE， ∴AE＝AO＝EO， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝∠AOE＝60°， ∴∠AEB＝∠AOF＝120°， ∴△AEB和△AOF是钝角等腰三角形， 由（1）知：四边形AECF是平行四边形， ∴CF＝AE，OE＝OF， ∴CF＝OF＝OC， ∴△COF是等边三角形， ∴∠CFO＝∠COF＝60°， ∴∠CFD＝∠COE＝120°， ∴△CFD和△COE是钝角等腰三角形， ∵BE＝OE＝OF＝FD， ∴与△COF面积相等的钝角等腰三角形有：△AEB和△AOF，△CFD和△COE． 4．如图，在▱ABCD 中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，连接AF，CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB． （2）若G，H分别是AF，CE上的点，且 AG＝CH，∠AEG+∠AFD＝90°，试判断四边形EHFG是什么特殊四边形，并说明理由． 【分析】（1）根据菱形的性质得出∠D＝∠B，AD＝BC，根据全等三角形的判定推出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，求出∠AFD＝∠CEB＝∠DCE，求出HF＝EG，HF∥EG，求出∠HEG＝90°，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B，AD＝BC， 在△ADF和△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB； （2）四边形HEGF是矩形， 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB， ∵∠AFD＝∠CEB， ∴∠AFD＝∠DCE， ∴AF∥CE， ∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∵AH＝CG， ∴AF﹣AH＝CE﹣CG， 即HF＝GE， ∴四边形HEGF是平行四边形， ∵∠AEG+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB， ∴∠AEG+∠CEB＝90°， ∴∠HEG＝180°﹣（∠AEG+∠CEB）＝90°， ∴四边形HEGF是矩形． 5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O、E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，易证△AOF≌△CEO（ASA），根据全等三角形的性质可得AF＝CE，进一步即可得证； （2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形，根据菱形的性质可得AC⊥EF，再证明四边形ABEF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥EF，进一步即可得证． 【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△CEO中， ， ∴△AOF≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵AF∥CE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝AF， ∵BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AB∥EF， ∴AB⊥AC． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积． 【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥BC，则四边形OEFB是平行四边形，再证∠CBD＝90°，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出DB，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AD∥BC． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线． ∴OE∥BC． 又∵EF∥BD， ∴四边形OEFB是平行四边形． ∵AD⊥BD，AD∥BC， ∴BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°． ∴四边形OEFB是矩形； （2）解：∵AD＝8， ∴， ∵AD⊥BD，AB＝DC＝12， ∴， ∴， ∴矩形OEFB的面积． 7．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD，然后由矩形的在得CE＝OD，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 8．已知：如图，▱ABCD中，E为AD边上一点，F为BC边延长线上一点，AE＝CF，过点F作FG∥BE，交DC延长线于点G，连接BG． （1）求证：△ABE≌△CGF； （2）当EC＝DC时，判断四边形BGFE是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形性质得∠A＝∠BCD＝∠GCF，AB＝DC，AD∥BC，则∠AEB＝∠EBC，再根据FG∥BE得∠EBC＝∠F，进而得∠AEB＝∠F，由此可依据“ASA”判定△ABE和△CGF全等； （2）连接EG交BF于点O，根据△ABE和△CGF全等得BE＝FG，AB＝CG，则四边形BGFE是平行四边形，进而得OE＝OG，再根据AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC得EC＝CG，则EG⊥BF，据此可得出平行四边形BGFE是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠BCD＝∠GCF， ∴∠A＝∠GCF， ∵AD∥BC，FG∥BE， ∴∠AEB＝∠EBC，∠EBC＝∠F， ∴∠AEB＝∠F， 在△ABE和△CGF中， ∠A＝∠GCF，AE＝CF，∠AEB＝∠F， ∴△ABE≌△CGF（ASA）； （2）当EC＝DC时，四边形BGFE是菱形，理由如下： 连接EG交BF于点O，如图所示： ∵△ABE≌△CGF， ∴BE＝FG，AB＝CG， 又∵FG∥BE， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴OE＝OG， ∵AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC， ∴EC＝CG， ∴EG⊥BF， ∴平行四边形BGFE是菱形． 9．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 【分析】（1）由AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合BO＝DO，证明△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明； （2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA， ∵BO＝DO， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴AO＝EO， ∵BO＝DO， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）由（1）知四边形ABED是菱形， ∴BD⊥AE， ∴∠BOF＝∠DOF＝90°， ∵CF⊥AE， ∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF， ∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO， ∴△ECF≌△EOB（AAS）， ∴OB＝CF， ∴CF＝DO， ∵∠BOF＝∠CFE＝90°， ∴BD∥CF， ∴四边形ODCF是平行四边形， ∵∠CFE＝90°， ∴四边形ODCF是矩形． 10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，由平行四边形的性质得CB∥AD，且CB＝AD，则∠BCE＝∠DAF，即可根据“AAS”证明△BCE≌△DAF，得BE＝DF，则四边形BEDF是平行四边形； （2）由BE⊥AC于点E，得BE＜BF，即BE≠BF，可知四边形BEDF不能是菱形； （3）由全等三角形的性质得CE＝AF＝7，BE＝DF，因为DF＝EF，所以BE＝EF，则AE＝7+EF＝7+BE，由∠AEB＝90°，AB＝13，根据勾股定理得（7+BE）2+BE2＝132，求得BE＝5，则BE＝DF＝EF＝5，求得AC＝19，则S△ABC＝S△CDA，所以S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝95． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，且CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：四边形BEDF不能是菱形， 理由：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴点E与点F不能重合， ∵BE⊥AC于点E， ∴BE＜BF， ∴BE≠BF， ∴四边形BEDF不能是菱形． （3）解：由（1）得△BCE≌△DAF， ∴CE＝AF＝7，BE＝DF， ∵DF＝EF，AB＝13， ∴BE＝EF， ∴AE＝7+EF＝7+BE， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴（7+BE）2+BE2＝132， 解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴BE＝DF＝EF＝5， ∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19， ∴S△ABC＝S△CDA19×5， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝295， ∴平行四边形ABCD的面积为95． 11．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE． （1）求证：四边形AEBF为矩形； （2）若AC＝4，求四边形AEBF的面积． 【分析】（1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）分别求出AF，BF，再根据矩形面积计算公式列式计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵点D是AC的中点，AF是BC边的中线， ∴AF＝BD，∠CBD＝30°，AF⊥BC， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°， ∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝60°+30°＝90°， ∴∠EBF＝∠AFC＝90°， ∴AF∥BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， 又∵∠AFB＝90°， ∴平行四边形AEBF是矩形； （2）解：∵AC＝4，△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝AB＝4， ∵AF是BC边的中线， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2， 又∵四边形AEBF是矩形， ∴． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝6，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝2，然后由面积法求出EG的长即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝6， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF2， ∵EG⊥DF， ∴S△DEFDF•EG•EF， ∴EG， 即EG的长为． 13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长． 【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可； （2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴点D是BC的中点． ∵E点是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC. ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥DG． ∴四边形DEFG是平行四边形． 又∵∠EFG＝90°， ∴四边形DEFG为矩形； （2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10， ∴DE＝AEAB＝5． 由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5． 在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF3． ∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5， ∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2． 14．如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 【分析】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论； （2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝4，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EFDE＝2，则OF为△BDE的中位线，得OFBD，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝2， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OFBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC， 即OC的长为． 15．如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AF，AC的长． 【分析】（1）由DF＝BF，E是AB的中点，得EF∥AD，而点C在EF的延长线上，则CF∥AD，因为CF＝AD，所以四边形AFCD为平行四边形； （2）由AE＝BE，EF＝1，AB＝2AE＝2，AD＝2EF＝2，由EF∥AD，CE⊥DB于点F，得∠ADB＝∠EFB＝90°，则BD6，所以DF＝BF＝3，求得AF，由平行四边形的性质得OD＝OFDF，则OA，求得AC＝2OA＝5． 【解答】（1）证明：∵DF＝BF， ∴F是DB的中点， ∴E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∵点C在EF的延长线上， ∴CF∥AD， ∵CF＝AD， ∴四边形AFCD为平行四边形． （2）解：∵DF＝BF，AE＝BE，EF＝1， ∴EF∥AD，且EFAD，AB＝2AE＝2， ∴AD＝2EF＝2， ∵CE⊥DB于点F， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°， ∴BD6， ∴DF＝BFBD＝3， ∴AF， ∵四边形AFCD为平行四边形， ∴OD＝OFDF，OA＝OC， ∴OA， ∴AC＝2OA＝5， ∴AF的长是，AC的长是5． 16．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG． （1）求证：四边形EFCG是平行四边形． （2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值． 【分析】（1）由矩形ABCD可知OA＝OB＝OC＝OD，根据条件可得OE是△ACG的中位线，根据中位线性质可推出EF＝CG，FE∥CG，则可知四边形EFCG是平行四边形； （2）过A作AH⊥BD于H，设OE＝m，可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，又四边形EFCG是菱形，可得OA＝AE＝2m，由勾股定理求出AH2＝AE2﹣EH2m2；即可得ABm，ADm，从而可得AB：AD的值为． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵EG＝AE，AO＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG，OECG， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴OEOBOD＝OF， ∴OEEF， ∴EF＝CG，FE∥CG， ∴四边形EFCG是平行四边形； （2）解：过A作AH⊥BD于H，如图： 设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m， ∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m， ∵四边形EFCG是菱形， ∴EF＝EG＝AE＝2m， ∴OA＝AE＝2m， ∵AH⊥BD， ∴HE＝HOOE， ∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（m）2m2；BH＝BE+HE＝mm，DH＝OD+HO＝2mm， ∴ABm，ADm， ∴AB：AD＝（m）：（m）； ∴AB：AD的值为． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使，连结EF，CE，DF． （1）求证：四边形CDFE是平行四边形． （2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证； （2）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，DE＝2OD，利用勾股定理求出OD即可求解． 【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC，， ∴CD∥EF， ∵， ∴CD＝EF， ∴四边形DCEF是平行四边形； （2）解：∵，BD＝AB＝6， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCD＝90°， 在Rt△ABC中，， 在平行四边形DCEF中，，DE＝2OD， 在Rt△OCD中，， ∴． 18．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF． （1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长． 【分析】（1）由矩形的性质得AB＝DC，AB∥DC，则AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，而AE＝CF，即可根据“SAS”证明△GAE≌△HCF，得EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，推导出∠FEG＝∠EFH，则EG∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形； （2）连接GH，由AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，求得BG＝CH＝3，AC10，可证明四边形BCHG是平行四边形，则GH＝BC＝8，因为以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，所以EF＝GH＝8，当AEAC时，则2AE+8＝10，求得AE＝1；当AEAC时，2AE﹣8＝10，求得AE＝9，所以AE的长为1或9． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF， 在△GAE和△HCF中， ， ∴△GAE≌△HCF（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥FH， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：AE的长为1或9， 理由：连接GH， ∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°， ∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10， ∴BG∥CH，且BG＝CH， ∴四边形BCHG是平行四边形， ∴GH＝BC＝8， ∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形， ∴EF＝GH＝8， 如图1，当AEAC时，四边形EGFH是矩形， ∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC， ∴2AE+8＝10， ∴AE＝1； 如图2，当AEAC时，四边形FGEH是矩形， ∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC， ∴2AE﹣8＝10， ∴AE＝9， 综上所述，AE的长为1或9． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE． （1）求证：四边形AECD是平行四边形． （2）若CE平分∠ACB，求AD的长． 【分析】（1）证明△AOE≌△COD，根据全等三角形的性质得到AE＝CD，再根据平行四边形的判定定理证明； （2）过点E作EF⊥AC于F，根据勾股定理求出AC，根据角平分线的性质得到EF＝EB，根据三角形面积公式求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠CAE， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOE与△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（ASA）， ∴AE＝CD，又AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：如图，过点E作EF⊥AC于F， 在Rt△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°， 由勾股定理得：AC10（cm）， ∵CE平分∠ACB，∠B＝90°，EF⊥AC， ∴EF＝EB， 则， ∴， ∵AB＝8cm， ∴BE＝3cm， ∴CE3（cm）， 由（1）可知：四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝CE＝3cm． 20．如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG． 求证： （1）△GBE≌△HDF； （2）GF＝EH． 【分析】（1）由平行四边形性质得到AB＝CD，AB∥CD，得到∠ABE＝∠CDF，证明BG＝DH，即可证明△GBE≌△HDF； （2）由全等的性质可得到GE＝HF，∠BEG＝∠DFH，可证得GE∥HF，则可证四边形GEHF是平行四边形，由平行四边形性质即可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AG＝CH， ∴AG+AB＝CD+CH， 即BG＝DH， 在△GBE与△HDF中， ， ∴△GBE≌△HDF（SAS）， （2）解：∵△GBE≌△HDF， ∴GE＝HF，∠BEG＝∠DFH， ∴180°﹣∠BEG＝180°﹣∠DFH， ∴∠GEF＝∠EFH， ∴GE∥HF， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∴GF＝EH． 21．如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形． （2）如图②．连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长． 【分析】（1）证相似得出比例式，求出AF＝BD，根据直角三角形性质求出AD＝BD＝CD＝AF，即可得出结论； （2）证明四边形ADCF是正方形，设AE＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵E为AD中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠DBE＝∠AFE ∵∠DEB＝∠AEF ∴△DEB≌△AEF， ∴AF＝DB， ∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线， ∴AD＝BD＝DC， ∴AF＝DC， ∵AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． （2）解：∵∠FCB＝90° 且四边形ADCF是菱形， ∴四边形ADCF是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵DC＝DB，AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∴AD＝CD＝DB，设 AE＝DE＝x，则 CD＝BD＝AD＝2x， ∵EC2＝CD2+DE2， ∴5x2＝25， ∴ （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 22．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若BE平分∠ABD，BF长为2，求四边形BFDE的面积． 【分析】（1）根据矩形性质求出OB＝OD，AD∥BC，推出∠EDO＝∠FBO，可得△DEO≌△BFO（ASA），推出OE＝OF，结合EF⊥BD，即可推出BFDE是菱形； （2）根据角平分线性质与菱形性质得∠ABE＝∠DBE＝∠BDE，结合矩形性质得∠ABE＝30°，得AE＝1，得，根据S菱形BFDE＝BF•AB即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵∠DOE＝∠BOF， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形； （2）解：∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵四边形BFDE是菱形， ∴BE＝DE＝BF＝2， ∴∠BDE＝∠DBE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝3∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝30°， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ． （1）求证：△BOQ≌△EOP； （2）求证：四边形BPEQ是菱形； （3）若AB＝12，F为AB的中点，OF+OB＝18，求PQ的长． 【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明△BOQ≌△EOP即可； （2）由（1）可知：OP＝OQ，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可得证； （3）易得OF为△ABE的中位线，设OF＝x，OB＝18﹣x，勾股定理求出x的值，进而求出AE，BE的长，菱形的性质，结合勾股定理求出BP的长，再利用勾股定理求出OP的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴PE∥BQ， ∴∠PEO＝∠QBO， ∵PQ垂直平分BE， ∴OB＝OE，∠POE＝∠BOQ＝90°， 在△EOP和△BOQ中， ， ∴△EOP≌△BOQ（AAS）； （2）证明：由（1）知：△BOQ≌△EOP， ∴OP＝OQ， ∵PQ垂直平分BE， ∴BE，PQ互相垂直平分， ∴四边形BPEQ是菱形； （3）解：∵AB＝12，F为AB的中点， ∴BF＝AF＝6， ∵OB＝OE， ∴OF为△ABE的中位线， ∴， ∴∠OFB＝∠A＝90°， ∵OF+OB＝18， ∴设OF＝x，OB＝18﹣x， 由勾股定理，得：x2+62＝（18﹣x）2， 解得：x＝8， ∴OF＝8，OB＝10， ∴BE＝2OB＝20，AE＝16， ∵菱形BPEQ， ∴BP＝PE，PO⊥BO，PQ＝2OP， 设BP＝PE＝y，则AP＝AE﹣PE＝16﹣y， 在Rt△APB中，由勾股定理，得：y2＝122+（16﹣y）2， 解得：， ∴， 在Rt△BOP中，由勾股定理，得：， ∴PQ＝2OP＝15． 24．如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，而CF＝BC，则AD∥CF，AD＝CF，所以四边形ACFD是平行四边形，因为∠CEF＝∠ABF＝90°，所以FA⊥CD，则四边形ACFD是菱形； （2）由CD＝AB＝5，得DE＝CE，求得FE6，则FA＝2FE＝12，则S四边形ACFDFA•CD＝30． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E， ∴∠CEF＝∠ABF＝90°， ∴FA⊥CD， ∴四边形ACFD是菱形． （2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5， ∴DE＝CECD，AE＝FE， ∵∠DEF＝90°，DF， ∴FE6， ∴FA＝2FE＝12， ∴S四边形ACFDFA•CD12×5＝30， ∴四边形ACFD的面积为30． 25．如图，在矩形ABCD中（AB＞BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE＝BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：四边形DOCF是菱形； （2）若矩形ABCD的周长为20，AC＝8，求四边形DOCF的面积． 【分析】（1）由矩形的性质求得OC＝OD，再证明CF是△EBD的中位线，推出，CF∥BD，得到四边形DOCF是平行四边形，据此即可证明四边形DOCF是菱形； （2）先求得BC＝10﹣AB，在Rt△ABC中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：由题意可得：AC＝BD，，，∠BCD＝90°， ∴OC＝OD， ∵CE＝BC， ∴点C是线段BE的中点， ∴CF是△EBD的中位线， ∴，CF∥BD， ∴四边形DOCF是平行四边形， ∵OC＝OD， ∴四边形DOCF是菱形； （2）解：由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝90°， ∵矩形ABCD的周长为20， ∴2（AB+BC）＝20， ∴AB+BC＝10， ∴BC＝10﹣AB， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即AB2+（10﹣AB）2＝82， 解得或， ∵AB＞BC， ∴，， ∴， ∴菱形DOCF的面积＝2S△OCD（5）×（5）（25﹣7）＝9． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，四边形ABDE是平行四边形，连接CE，DE，DE交AC于点F． （1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）判断DF与AB的数量关系和位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥CD，再根据等腰三角形三线合一得到BD＝CD，求出AE＝CD，证明四边形ADCE为平行四边形，再根据AC＝DE即可证明结论； （2）四边形ADCE为矩形，得到AF＝CF，再根据AD是BC边的中线，证明DF是△ABC的中位线，即可得到结论． 【解答】解：（1）矩形，理由如下： 由平行四边形性质可知AB＝DE，AE＝BD，AE∥BD， ∴AE∥CD， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD是BC边的中线，AC＝DE， ∴BD＝CD， ∴AE＝CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∵AC＝DE， ∴四边形ADCE为矩形； （2），理由如下： 由条件可知AF＝CF， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， 所以AD是BC边的中线， ∴BD＝CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴根据中位线定理，． 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF⊥AD于点E，交BC于点F，OE＝OF，连接OC，∠FOC＝∠ODA． （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AB＝1，BD＝3EF，求OC的长． 【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后证明AC⊥BD，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AD＝AB＝1，OA＝OCAC，再由菱形的面积求出AC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵OE＝OF，∠EOD＝∠BOF，BO＝OD， ∴△EOD≌△FOB（SAS）， ∴∠DEO＝∠BFO， ∵AD⊥EF， ∴∠DEO＝90°， ∴∠BFO＝90°， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠COF＝∠ADO， ∴∠COF+∠BOF＝∠DOE+∠EOD＝90°， ∵BO＝OD， ∴△BCD是等腰三角形， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝1，OA＝OCAC， ∵EF⊥AD， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AD•EF， ∵BD＝3EF， ∴AC•3EF＝AD•EF， 即AC×3＝1， ∴AC， ∴OCAC， 即OC的长为． 28．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得证； （2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 29．如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先证明△ADE≌△ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接CG，先证明△ADG≌△CDG，得出∠ADG＝∠CDG＝45°，取CE的中点，连接GM，先证明DM＝GM，从而得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CFDG．理由如下： 如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AGEF， 同理，在Rt△EFC中，CGEF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GMCF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DGGM， ∵GMCF， ∴DGCF， ∴2DGCF，即CFDG． 30．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长． 【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质得AD∥BC，AD＝BC，因为AE＝DEAD，CF＝BFBC，所以AE＝CF＝BF，则四边形AFCE是平行四边形，因为AF＝BF，所以AE＝AF，则四边形AFCE是菱形； （2）由菱形的性质得CE＝CF，CA⊥EF，则∠ACE＝∠ACF，所以∠G∠ACE∠ACF，则∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，推导出∠G＝∠COG，由AC＝8，EF＝6，得GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3，则CF5，作OH⊥BC于点H，由S△COF5OH3×4，求得OH，则CH，所以GH，则OG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵E，F是AD和BC的中点， ∴AE＝DEAD，CF＝BFBC， ∴AE＝CF＝BF， ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AF＝BF， ∴AE＝AF， ∴四边形AFCE是菱形． （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴CE＝CF，CA⊥EF， ∴∠ACE＝∠ACF， ∴∠G∠ACE∠ACF， ∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG， ∴∠G＝∠COG， ∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6， ∴GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3， ∴CF5， 作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°， ∵S△COF5OH3×4， ∴OH， ∴CH， ∴GH＝GC+CH＝4， ∴OG， ∴OG的长是． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$