猜押08 北京高考数学20题 导数（解答题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）

猜押08 北京高考数学20题 导数 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 导数 2022/20 曲线切线方程求解、函数单调性讨论、不等式证明 聚焦导数的几何意义（切线方程），通过导数分析函数单调性，再利用单调性完成不等式证明，考查导数在几何问题与代数证明中的综合运用能力。 偏难 2023/20 利用导数的几何意义求参数、函数单调区间推导、极值点个数判断 以切线条件为切入点求参数，继而通过导数研究函数单调区间，最终分析极值点个数，层层深入考查导数对函数性质的剖析能力，强调逻辑连贯性。 偏难 2024/20 函数单调区间求解、切线方程推导、存在性问题（函数零点相关） 以导数求单调区间为基础，结合切线方程的求解，最后探究存在性问题，考查导数在函数性质研究、方程解的存在性分析中的应用，侧重运算与转化能力。 偏难 2025年预测：延续对导数核心应用的考查，重点涉及导数的几何意义（如切线方程）、函数单调性与极值分析，可能融合不等式证明、零点存在性等综合问题，强化对导数工具性的深度运用，注重逻辑推理、复杂运算以及函数性质的综合分析能力，题型保持稳定的综合性与思维深度。 【导数真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 3．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【2025年押题预测题型一】：极值问题 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)当时； （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求零点的个数； (2)当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明. 【答案】(1)（ⅰ）; （ⅱ）在有2个零点; (2),证明见下文 【分析】(1)先求导，在导数值为切线的斜率，再去出切点，代入点斜式方程即可，判断零点，求导，研究导数的正负，分析出原函数的单调性，判断区间端的正负，根据零点存在定理，得到零点个数； (2)不难发现 ，如果不是的极值点，则在左右两侧必须同号，所以不可能在增区间或者减区间里，因此的导数在只能为零，所以，然后再利用单调性证明不是的极值点即可. 【详解】（1）当时，， （ⅰ），，， 切线方程：，所以； （ⅱ），当，，所以，即在单调递减. 令，， 当时，，所以在单调递减，即在单调递减；又因为，所以，当时，即在单调递增； 因此：在单调递增，在单调递减. 当时，，；，因为在单调递增，所以，根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当 时，，单调递减； 所以，即，所以， 所以，又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点. 综上，在有2个零点. （2）当时，不是的极值点，证明如下： 当时，， ， 令，， 令， 因为，所以， 所以在单调递增， 又因为，所以，当时，，即单调递减； 当时，，，即单调递增； 再因为，所以，即，所以在单调递增，所以在无极值点； 综上，当时，不是的极值点 【点睛】方法点睛：本题第一问考查求切线方程，判断零点个数问题，主要方法：先利用函数求出切点坐标，再求导，切点处的导数值等于切线的斜率即函数在切线方程为：；零点个数问题主要方法有：研究函数的单调性根据零点存在定理判断零点个数； 第二问考查求极值点问题，常见方法有：求导，令导数等于零求出根，导数在的左右两侧函数值必须异号，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点. 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线为x轴，求a的值； (2)在（1）的条件下，判断函数的单调性； (3)，若是的极大值点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)上单调递减，上单调递增 (3) 【分析】（1）求导，然后根据列式计算即可； （2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性； （3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点. 【详解】（1）由已知，则， 由于曲线在处的切线为x轴， 所以， 所以； （2）当时，，令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，恒成立，，， 所以当时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由已知， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，恒成立，且， 当时，，即在上有且只有一个零点，设为， 当，即，解得， 此时若，解得，在上单调递减， 若，解得或，在上单调递增， 此时在处取极小值，不符合题意，舍去； 当，即，解得， 此时若，解得，在上单调递减， 若，解得或，在上单调递增， 此时在处取极大值，符合是的极大值点， 当时，即，解得， 此时恒成立，无极值点， 综上所述：a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的. 【2025年押题预测题型二】：恒成立问题 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 2．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点 处切线方程； (2)求的单调区间； (3)若区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得切线斜率，再结合切点坐标计算即可得； （2）分及，结合定义域分类讨论，求导后因式分解，结合二次函数性质计算即可得； （3）利用函数定义域，结合所给条件，可得，从而可分及，借助第二问中所得单调性去计算函数在上的最小值，解出即可得. 【详解】（1）当时，， 则， ， 则， 故曲线在点处切线方程为； （2）， ① 若，则定义域为，有恒成立， 则当时，， 当时，， 即在、上单调递增，在、上单调递减； ② 若，则定义域为，有恒成立， 则当时，， 当时，， 即在、上单调递减，在、上单调递增； 综上所述：当时，在、上单调递增， 在、上单调递减； 当时在、上单调递减， 在、上单调递增； （3）由，故，有定义域为， 故，则在上单调递减，在上单调递增， 若，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 有， 解得或（舍去），即； 若，即时，在上单调递增， 只需，即， 由，故，，故无解； 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用函数定义域，结合所给条件，得到，从而可借助第二问中所得单调性去计算函数在上的最小值. 4．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数是增函数，求实数a的取值范围； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（2）利用导数研究函数的单调性与最值分离参数计算即可； （3）含参分类讨论的单调性，得出，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为0， 所以曲线在处的切线方程为. （2）由题意得，且在定义域内恒成立， 则， 令， 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增， 所以，则， 实数a的取值范围为. （3）若，则， 令，则， 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即， 所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即， 所以， 当且仅当时，， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：对于双变量的恒成立问题，可以通过消元转化为单变量函数最值来进行计算. 5．（2024·北京海淀·二模）已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可， （2）求导后构造函数，利用导数判断单调性，可得的最大值为，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，. ①. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. ②由①知，且. 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为. 所以函数恰有一个零点. （2）由得. 设，则. 所以是上的减函数. 因为， 所以存在唯一. 所以与的情况如下： + 0 - 极大 所以在区间上的最大值是 . 当时，因为，所以. 所以. 所以，符合题意. 当时，因为，所以. 所以，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 6．（2024·北京·三模）已知在处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)证明：仅有一个极值点，且． (3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）求出的导数，根据切线方程求出，的值即可； （2）求导可得，令，利用导数可得的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，且，进而可得的单调性，可判断极值情况；结合代入化简，运算得证； （3）问题转化为，对恒成立，当时，显然上式不成立；当时，令，利用导数可得存在，使得，当时，，即单调递减，此时，上式不能恒成立，得解. 【详解】（1）由题意，，则， 解得，又，可得切点为，代入，得. 所以实数. （2）由（1）得，则， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，，， 所以在上存在唯一零点，使得即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以仅存在一个极值点，， ， 又函数，，而， 所以在上单调递减，则， 所以. （3）若存在，使得恒成立，即，对恒成立， 当时，当时，则，显然上式不成立； 当时，令，， 则， 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，又，， 所以存在，使得， 所以当时，，即单调递减，此时， 所以不恒成立， 故当时，不存在满足条件. 综上，不存在，使得恒成立. 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为，对恒成立，分和讨论，其中时，令，利用导数判断求解找出矛盾. 【2025年押题预测题型三】：能成立（有解）问题 1．（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式求导，代入，求出斜率与切点，利用切线方程，可得答案； （2）由函数的导数，构造函数，并对新函数进行求导，可得新函数单调性，根据零点存在性定理，可得导数的零点以及与零的大小关系，可得函数的单调性与最值； （3）对函数求导，并分情况研究导数与零的大小关系，进而可得函数的单调性，通过直观想象，结合题意，分别检验，可得答案. 【详解】（1）由题意求导可得， ，，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，其中， 令，， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，满足，即， 当变化时，，变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以当时，有最大值. （3）， 理由：易知在上恒成立， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，显然不符合题意； 当时，由，令， 求导可得在上单调递减， 由，， 则存在，使得，即， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减， 则函数的图象在趋近于时，无限趋近于轴， 即轴为函数图象的渐近线，显然符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 3．（2024·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)设，已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、后可求切线方程； （2）根据导数的符号判断单调性后可求函数的最小值； （3）等价于或或，对于前两者，可设，利用导数判断其单调性后可得不等式组的解，对于后者，可设，利用导数讨论其单调性后可得对应不等组的解，故可得原不等式的解. 【详解】（1）由题设有，故， 而，故曲线在处的切线方程为， 故所求的切线方程为. （2）由（1）可得， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故. （3）由题设有， 故等价于或或， 设，其中，故， 当时，均在上为增函数， 故在上为增函数，故，故在上为增函数， 故，故无解； 当时，均在上为增函数， 故在上为增函数，故，故在上为减函数， 故，故的解为， 当时，即为， 设，故， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，而， 且时，，故在上恒成立， 故在上为减函数，故， 故无解即无解， 综上，的解为. 【点睛】关键点点睛：导数背景下函数不等式的解，可根据函数的形式合理分解，从而把复杂函数不等式的解转化为简单函数不等式的解，后者可以利用导数进行分析求解. 4．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的取值范围是 【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义可求得曲线在点处切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，， 此时曲线在点处切线的方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. （3）函数的定义域为， 由（2）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，，且. 下面考虑，当时，恒成立， ①若，当时，， 故，在递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得， 根据余弦函数的单调性可知，在上递增， 故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 且当时，，合乎题意， 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数，直线l为曲线在点处的切线. (1)当时，求出直线的方程； (2)若，求的最值； (3)若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对求导，利用导函数的正负判定的单调性，进而求出最值即可； （3）求出直线，将“直线与曲线相交”转化为关于的方程在有解，然后通过构造函数，对进行分类讨论，结合导数可求得结果. 【详解】（1）由题意可得， 所以曲线在点处的切线斜率， 切线方程为，整理得， 所以当时，直线的方程为. （2）因为，，则， 由解得，由解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，无最大值. （3）由（1）得切线的方程为， 因为直线与曲线相交于点，且， 所以关于的方程在有解， 令，则， 令，则， ①当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以存在唯一实数，使， 当时，，则， 所以在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 所以， 因为，所以存在唯一实数，使， 所以符合题意； ②当时，由，得，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上无零点，所以不符合题意， 综上，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性. 【2025年押题预测题型四】：零点与方程的根 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程： (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式无整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数求出曲线在某点处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）当确定时，分类讨论，结合指数函数单调性解不等式的解集；（3）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解. 【详解】（1）将代入，可得. . 将代入，. 则切线方程为，即. （2）当时，. 即,解得;或，无解. 综上所得，不等式的解集为. （3）由，不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式无整数解，即无整数解， 若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，符合题意， 当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意， 综上可知，. 2．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案； （3）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案. 【详解】（1）当时，，，， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）， 当时，由得，， 随着的变化，、的变化情况如下表： 单调递减 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （3）， 当时，因为，所以， 在区间上单调递减，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ，所以； 当时，，     因为在区间上有零点， 由（1）可知，， 因为函数、在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 3．（2025·北京平谷·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 【答案】(1) (2)的单调减区间为，无增区间. (3)能， 【分析】（1）利用导数求得，利用点斜式方程可求切线方程； （2）求导得，令，求导得，可得结论； （3）由题意判断方程的解的情况，令求导可得结论. 【详解】（1）当时，则， ， ， 所以在点处的切线方程为. （2）当时，函数的定义域是， 所以， 令， 所以， 当时，；当时，， 所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值， 又，故恒成立， 所以的单调减区间为，无增区间. （3）由题意知，因为， 所以，即有， 令 则， 故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点， 即方程有唯一实根0，所以. 所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时. 4．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导可得，易知当时不符合题意；当时，利用导数研究函数的单调性可得，设，利用导数研究函数的性质即可求解； （3）易知当时不符合题意，当时，易知不符合题意；若，由（2）可知只需，解之即可. 【详解】（1）由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 5．（2024·北京顺义·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答. （2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答. （3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答. 【详解】（1）由函数求导得：， 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程是. （2）函数的定义域为，由（1）知，， 因为，则当时，，，， 所以，有，函数在上递减， 当时，，，，则有，函数在上递增， 所以，当时，函数取得极小值， 所以，当时，函数存在极小值. （3）函数的定义域为，， 显然是函数的零点， 当时，函数的零点即为方程的解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， ，， 所以，有，在，上都递减， 令，， 当时，，当时，， 所以，在上递增，在上递减，， 所以，，恒有，当且仅当时取“=”， 所以，当时，，当时，， 所以，在上单调递减，取值集合为， 在上递减，取值集合为， 所以，当或时，方程有唯一解， 当或时，此方程无解， 所以，当或时，函数有一个零点， 当或时，函数有两个零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 6．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①单调递减区间为，单调递增区间为和；② 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）①对求导后，令，结合在处取得极大值可得的范围，即可得的单调区间； ②由，可得是的一个零点，故有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，构造函数，利用导数讨论函数的单调性后计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）①因为函数， 所以， 所以， 令，得，或， （i）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极小值，此时不符合题意， （ii）当时，即时，， 所以在区间上单调递增， 所以在处不取极值，此时不符合题意， （iii）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极大值，此时符合题意， 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为和； ②因为， 所以， 所以是的一个零点， 因为恰有三个零点， 所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根， 令，所以， 令，得，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，的值域为；当时，的值域为， 所以，且， 所以，且， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本体最后一问关键在于对函数因式分解，可得一零点，再研究另一因式，结合方程与函数的关系参变分离构造新函数，结合导数研究新函数的单调性即可得. 7．（24-25高三上·北京昌平·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为 (3)三个零点 【分析】（1）由基本初等函数的求导公式与导数运算法则，结合导数的几何意义即可求解； （2）由（1）可知函数，求导后解不等式与即可求得单调区间； （3）函数可化为，结合（2）中函数的单调区间与零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）函数，所以. 依题意，解得. （2）由（1）知：函数，所以. 令，则， 记两根分别为，且，. 列表 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调增区间为，，单调减区间为. （3）函数.    令，得或，所以是函数的一个零点. 下面只要研究零点情况. 由（1）知，且，即. 又因为函数在上单调递减，所以， 即函数在上有且只有一个零点. 又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 同理，又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 所以函数存在三个零点，，.   综上函数存在三个零点，，. 【点睛】本题考查倒数的几何意义、利用导数研究函数的单调区间与零点问题. 本题第（2）小问考查利用导数研究函数单调区间，求导后解不等式与即可求得单调区间；本题第（3）小问为利用导数研究函数的零点问题，结合（2）中函数的单调区间与零点存在性定理即可求解. 8．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 9．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增， 函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 【2025年押题预测题型五】：双变量问题 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调递增区间； (3)证明：当时，，. 【答案】(1)； (2)时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为; (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案; （2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调递增区间； （3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 故在处的切线斜率为，而， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意得，则， 当时，为常数函数，没有单调递增区间； 当时，令，即， 当时，令，即， 故时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而， 即在上恒成立，故在上单调递增， 设，则， 因为，则，故， 所以在上单调递增，而， 则，即，而， 故，即. 【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)时，单调递减区间为，单调递增区间为; (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案; （2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间； （3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 故在处的切线斜率为，而， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意得，则， 令，即， 令，即， 时，单调递减区间为,单调递增区间为. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而， 即在上恒成立，故在上单调递增， 设，则， 因为，则，故， 所以在上单调递增，而， 则，即，而， 故，即. 【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求证：函数只有一个零点，且； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数m的最大值．（本题可参考数据：） 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，在分类讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间； （2）当时，由（1）知，的极小值为，极大值为，再结合零点的存在性定理即可得证； （3）因为，所以任意且，由（2）可知，且，由此能推导出使得恒成立的的最大值． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，则或， 当，即时，，则， 所以函数在上递减， 当，即时， 或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 当，即时， 或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 综上所述，当时，函数的减区间为， 当时，函数的减区间为，增区间为， 当时，函数的减区间为，增区间为； （2）证明：当时，因为， 所以由（1）知，的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数， 所以至多有一个零点． 又因为 所以， 即由数形结合可得，函数只有一个零点，且； （3）因为，所以， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，， 所以， 当时，因为，所以， 所以， 所以的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 【点睛】方法点睛：把利用导数来研究函数单调性和极值，再利用数形结合思想及零点存在性定理，就可以判断零点存在的区间；不等式恒成立问题利用等价转化思想，转变为求最值即可． 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 （2）由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：根据题意计算出是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在. 【2025年押题预测题型六】：与面积结合 1．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入得到函数，求出切点坐标，然后求导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）由函数求出切点坐标，由导数求出切线斜率得到切线方程.带点到直线方程得到方程，设函数，通过导数求得函数的单调区间，然后得到函数的最小值，方程有解即函数由零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围； （3）代入得到函数解析式，然后求出切点坐标，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标.然后得到三角形面积，由（2）得到函数在时取得最小值，由于最小值大于0，从而知道当时，三角面积最小值，即得到结果. 【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时， ，， ，， 所以直线l的方程为，即. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以直线l的方程为. 因为l经过点，所以，化简得. 设，由题意知，存在，使得. 又因为， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以在时取得最小值. 因为，所以，解得. 此时. 因为， 所以只需.所以a的取值范围是. （3）当时，，， ，， 直线l的方程为. 令，得，即， 所以. 由（2）知，当时，在时取得最小值， 因为，所以恒成立， 所以当时，取得最小值. 2．（2024·北京西城·三模）已知函数，其中a为常数且. (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，若在点处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先对函数求导后，再求出，然后利用点斜式可求出切线方程； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）利用导数的几何意义求出切线l的方程，从而可求出A，B两点的坐标，则可表示出的面积，构造函数，利用导数可求出其最小值. 【详解】（1），. 因为，， 所以切线方程为. （2）定义域为， ，令，解得. 当时， ，的减区间为； ，的增区间为. 当时， ，的增区间为； ，的减区间为. （3）当时，，. 切线l：， 令，； 令，. . 设，. . ，在单调递减； ，在单调递增. 所以. 所以当时，S的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求解函数的单调区间，考查导数的综合应用，第（3）问解题的关键是求出切线方程后，求出切线与坐标轴的交点，从而可表示出三角形的面积，再构造函数，利用导数求解，考查计算能力，属于较难题. 3．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的零点. (2)若使得成立，试求的取值范围 (3)当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接由方程求解即可； （2）由题意利用导数确定函数单调性，求出函数的最大值，建立不等式得解； （3）求出切线方程得出与坐标轴交点坐标，表示出三角的面积，求出切线与函数交点坐标，代入即可得解. 【详解】（1）由，解得， 即函数的零点为. （2）， ∴， 令，则， ∴在上单调递减， ∴，∴， 故在上单调递增， ∴， ∴，即. （3）由题可知，故切点为， ∵，∴， 所以切线方程为：， 交轴于，交轴于， 设切线交函数于点，因为，故， 又，故B的位置只能在C的上方. 如图，则的面积为， 或（舍），故， 所以函数过点， ∴，∴. 【点睛】关键点点睛：根据切线方程，设出切线和函数交点坐标，据此能表示出三角形的面积，利用面积求出交点坐标，即可代入函数解析式求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押08 北京高考数学20题 导数 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 导数 2022/20 曲线切线方程求解、函数单调性讨论、不等式证明 聚焦导数的几何意义（切线方程），通过导数分析函数单调性，再利用单调性完成不等式证明，考查导数在几何问题与代数证明中的综合运用能力。 偏难 2023/20 利用导数的几何意义求参数、函数单调区间推导、极值点个数判断 以切线条件为切入点求参数，继而通过导数研究函数单调区间，最终分析极值点个数，层层深入考查导数对函数性质的剖析能力，强调逻辑连贯性。 偏难 2024/20 函数单调区间求解、切线方程推导、存在性问题（函数零点相关） 以导数求单调区间为基础，结合切线方程的求解，最后探究存在性问题，考查导数在函数性质研究、方程解的存在性分析中的应用，侧重运算与转化能力。 偏难 2025年预测：延续对导数核心应用的考查，重点涉及导数的几何意义（如切线方程）、函数单调性与极值分析，可能融合不等式证明、零点存在性等综合问题，强化对导数工具性的深度运用，注重逻辑推理、复杂运算以及函数性质的综合分析能力，题型保持稳定的综合性与思维深度。 【导数真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 3．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【2025年押题预测题型一】：极值问题 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)当时； （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求零点的个数； (2)当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明. 2．（22025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线为x轴，求a的值； (2)在（1）的条件下，判断函数的单调性； (3)，若是的极大值点，求a的取值范围. 【2025年押题预测题型二】：恒成立问题 1．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 2．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点 处切线方程； (2)求的单调区间； (3)若区间，求实数的取值范围. 4．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数是增函数，求实数a的取值范围； (3)若，求的最大值. 5．（2024·北京海淀·二模）已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 6．（2024·北京·三模）已知在处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)证明：仅有一个极值点，且． (3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 【2025年押题预测题型三】：能成立（有解）问题 1．（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． 3．（2024·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)设，已知，求的取值范围． 4．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数，直线l为曲线在点处的切线. (1)当时，求出直线的方程； (2)若，求的最值； (3)若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 【2025年押题预测题型四】：零点与方程的根 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程： (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式无整数解，求实数a的取值范围． 2．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 3．（2025·北京平谷·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由. 4．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 5．（2024·北京顺义·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 6．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 7．（24-25高三上·北京昌平·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 8．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 9．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【2025年押题预测题型五】：双变量问题 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调递增区间； (3)证明：当时，，. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求证：函数只有一个零点，且； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数m的最大值．（本题可参考数据：） 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【2025年押题预测题型六】：与面积结合 1．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 2．（2024·北京西城·三模）已知函数，其中a为常数且. (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，若在点处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值. 3．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的零点. (2)若使得成立，试求的取值范围 (3)当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$