猜押06 北京高考数学18题 概率统计（解答题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）

猜押06 北京高考数学18题 概率统计 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 概率统计 2022/18 频率估计概率、离散型随机变量数学期望计算（铅球比赛优秀率、获奖人数期望） 以实际运动比赛为背景，考查用频率估计概率，构建随机变量分布列并求数学期望，侧重知识应用能力。 中 2023/18 古典概型概率、独立事件概率计算（农产品价格 “上涨” 概率、独立日期间价格变化概率） 基于价格变化数据，考查频率估计概率、独立事件概率公式的应用，强调数据处理与概率模型构建。 中 2024/18 频率估计概率、随机变量数学期望计算及不同条件下期望比较（保险单毛利润期望） 以保险索赔场景为载体，考查概率计算、随机变量期望求解，涉及多条件下的分析与运算。 中 2025年预测：预计将延续从实际问题中抽象出概率统计模型的考查方式，难度保持中等，可能会增加数据的复杂性和条件的隐蔽性，对考生的逻辑思维和数据处理能力要求进一步提高 【概率统计真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 2．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【2025年押题预测题型一】：概率 1．（24-25高三下·北京·开学考试）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 3．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 4．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 5．（24-25高三上·北京通州·期末）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务. 无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据. 如下： 车次序号 乘车人数 110号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 1120号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率. (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望； (3)假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由） 6．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表： 注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）. 【2025年押题预测题型二】：期望及平均数 1．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 3．（24-25高三上·北京·期中）在2021年12月9日发布的《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》中，义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立． (1)从该区所有九年级学生中随机抽取名学生，估计该学生选考乒乓球的概率； (2)从该区九年级全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，设为这人中选考分钟跳绳的人数，求随机变量的数学期望； (3)已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小．（结论不需要证明） 4．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 5．（2024·北京大兴·三模）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：    若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率： 用电量 中奖率 50% 50% (1)在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率； (2)在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望； (3)以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 6．（24-25高三上·北京朝阳·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. (1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； (2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 7．（2025·北京延庆·一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题. 时间 地点 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 康庄镇刁千营村 √ √ 康庄镇榆林堡村 √ √ 康庄镇小丰营村 √ √ 延庆镇付余屯村 √ √ 延庆镇东小河屯村 √ √ √ √ √ √ √ 香营乡屈家窑村 √ 旧县镇米粮屯村 √ √ 旧县镇东羊坊村 √ 永宁镇古城北街 √ √ √ √ √ √ √ (1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率； (2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望； (3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明） 8．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【2025年押题预测题型三】：方差 1．（24-25高三上·北京·开学考试）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一（2）班抽测的10人中随机抽取2人，从高一（4）班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的概率； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表： 高中部 初中部 男生 女生 男生 女生 清楚 12 8 24 24 不清楚 28 32 38 34 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率； (2)从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率； (3)从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明） 3．（24-25高三上·北京顺义·期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 4．（2024·北京东城·二模）北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示： 行政区 东城区 西城区 朝阳区 丰台区 石景山区 海淀区 门头沟区 房山区 城镇人口（万人） 70.4 110 343.3 199.9 56.3 305.4 36.2 102.6 乡村人口（万人） 0 0 0.9 1.3 0 7 3.4 28.5 行政区 通州区 顺义区 昌平区 大兴区 怀柔区 平谷区 密云区 延庆区 城镇人口（万人） 137.3 87.8 185.9 161.6 32.8 27.9 34.9 20.5 乡村人口（万人） 47 44.7 40.8 37.5 11.1 17.7 17.7. 13.9 (1)在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率； (2)若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望； (3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 6．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 7．（24-25高三上·北京丰台·期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 (1)从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； (2)某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望； (3)若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 8．（24-25高三上·北京西城·期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率. (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误. 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20； (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 9．（24-25高三上·北京石景山·期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (1)从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； (2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； (3)城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 10．（24-25高三上·北京房山·期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 11．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 12．（2025·北京石景山·一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 13．（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； (3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 14．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 15．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 北京高考数学18题 概率统计 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 概率统计 2022/18 频率估计概率、离散型随机变量数学期望计算（铅球比赛优秀率、获奖人数期望） 以实际运动比赛为背景，考查用频率估计概率，构建随机变量分布列并求数学期望，侧重知识应用能力。 中 2023/18 古典概型概率、独立事件概率计算（农产品价格 “上涨” 概率、独立日期间价格变化概率） 基于价格变化数据，考查频率估计概率、独立事件概率公式的应用，强调数据处理与概率模型构建。 中 2024/18 频率估计概率、随机变量数学期望计算及不同条件下期望比较（保险单毛利润期望） 以保险索赔场景为载体，考查概率计算、随机变量期望求解，涉及多条件下的分析与运算。 中 2025年预测：预计将延续从实际问题中抽象出概率统计模型的考查方式，难度保持中等，可能会增加数据的复杂性和条件的隐蔽性，对考生的逻辑思维和数据处理能力要求进一步提高 【概率统计真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 2．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)不变 【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算； （2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算； （3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况. 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【分析】(1)    由频率估计概率即可 (2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望. (3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大. 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 【2025年押题预测题型一】：概率 1．（24-25高三下·北京·开学考试）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见详解； (3)两队积分相等的概率小于 【分析】（1）根据题意利用频率估计概率即可； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解． 【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而， ， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于. 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的取值集合为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）计算出三个传感器判断无障碍的概率，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个． 设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则. （2）80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个， 错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个 的取值集合为． ，， ， 故的分布列为 随机变量的数学期望 （3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为． 传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为． 若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1． 小汽车在无障碍的道路上减速的概率：． 故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 3．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)2018年和年 【分析】（1）按古典概型的概率计算求解. （2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列. （3）计算产销率，可直接得到结论. 【详解】（1）记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年．                                             所以． （2）因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为．                             ，，．     所以的分布列为： 故的数学期望． （3）2018年和年． 4．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可 （2）由题意知的所有可能取值为，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可 （3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得 【详解】（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为. （2）设事件输入男性照片且识别正确. 根据题中数据，可估计为. 由题意知的所有可能取值为. . 所以的分布列为 1 2 3 所以. （3）由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个， 程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为， 程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为， 由频率估计概率得 ， ， ， 所以 5．（24-25高三上·北京通州·期末）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务. 无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据. 如下： 车次序号 乘车人数 110号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 1120号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率. (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望； (3)假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔 【分析】（1）结合数据，20辆微公交的乘车人数为9人的共有14辆，求得概率； （2）结合数据，求出的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望； （3）结合古典概型，求出连续两辆微公交都满载9人的可能情况，求出概率. 【详解】（1）根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9人的共有14辆， 所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率为. （2）根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆， 所以乘车人数为7人的概率为，乘车人数为8人的概率为，乘车人数为9人的概率为， 记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，则可能取值为14,15,16,17,18. ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 14 15 16 17 18 （3）公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔， 理由：20辆公交车连续两辆共有19种可能，其中共有10种两辆微公交都满载9人， 其连续两辆微公交都满载9人的概率， 所以公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔. 6．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表： 注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii）甲 【分析】（1）根据古典概型计算求解； （2）（i）先应用独立事件乘法公式计算概率，再得出分布列，进而计算数学期望即可；（ii）根据古典概型判断即可. 【详解】（1）上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟. 设事件“从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，这趟列车的运行时长不超过10小时”，则. （2）（i）甲选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，乙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为，丙选取的列车运行时长不超过10小时的概率为. X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望. （ii）甲. 列车运行时长最短为7小时17分，甲选取的列车运行时长最短的概率为，乙选取的列车运行时长最短的概率为，丙选取的列车运行时长最短的概率为，所以甲选取的列车运行时长最短的概率最大. 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值即可； （2）由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （3）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为： 人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 则其期望为； （3）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率， 所以， 依题意，即， 即，解得， 因为为非负整数，所以， 即当最大时，. 【2025年押题预测题型二】：期望及平均数 1．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型直接求概率； （2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望； （3），运用二项分布期望公式求得，即可得到二者相等. 【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市， 所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为. （2）10个超大城市中包含6个新一线城市， X所有可能的取值为：. ；； ；. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （3） 理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市， 随机变量，，所以. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 【答案】(1) (2)分布列见解析，40（元） (3)不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析. 【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，从而求得对应的概率； （2）易知的可能取值为，，，，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值； （3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知. 【详解】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对， 设甲没有获得奖金为事件，则. （2）分别用表示做对题目的事件，则相互独立. 由题意，的可能取值为. ; . 所以甲最终获得的奖金的分布列为 0 20 60 140 （元）. （3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下： 由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 显然按照的顺序获得奖金的期望最大. 3．（24-25高三上·北京·期中）在2021年12月9日发布的《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》中，义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立． (1)从该区所有九年级学生中随机抽取名学生，估计该学生选考乒乓球的概率； (2)从该区九年级全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，设为这人中选考分钟跳绳的人数，求随机变量的数学期望； (3)已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小．（结论不需要证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解； （2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，从而求出数学期望； （3）根据平均数公式分别求出，即可得解. 【详解】（1）样本中男生选考乒乓球的人数为人， 样本中女生选考乒乓球的人数为人， 设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件， 则该学生选考乒乓球的概率； （2）依题意的可能取值为、、、， 则， ， ， ， 所以 （3）， 因为， ， 因为，所以. 4．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可； （3）补全初中段的人数表格，再分别计算，即可得解. 【详解】（1）女生共有人， 记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”， 事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”， 由题意可知，， 因此， 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育活动时间在的概率为. （2）时间在的学生有人， 活动时间在的初中学生有人， 记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”， 事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 由题意知，事件C，D相互独立， 且利用频率估计概率，, 所以至少有1名初中学生的概率； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 7 8 11 11 10 8 高中 4 13 12 7 5 4 初中生的总运动时间， 高中生的总运动时间， 又，，， 可得由. 5．（2024·北京大兴·三模）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：    若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率： 用电量 中奖率 50% 50% (1)在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率； (2)在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望； (3)以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）借助扇形统计图计算用电量不低于30度的户数即可得； （2）得出X的所有可能取值后，分别计算其对应概率即可得起分布列，即可得其期望； （3）计算出Y的所有可能取值及概率后，计算出，即可得解. 【详解】（1）记“在该楼中随机抽取一户家庭，其4月用电量不低于30度”为事件A， 在该楼10个住户中，用电量不低于30度的共户， 故概率估计值； （2）解法1：X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为： 0 1 2 X的期望值， 解法2：X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P X的期望值； （3）Y的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 则， 故. 6．（24-25高三上·北京朝阳·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. (1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； (2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解； （2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可. 【详解】（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计. （2）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”， 根据题中数据，. 的可能取值为， ， ， ． . 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求， ，故. 7．（2025·北京延庆·一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题. 时间 地点 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 康庄镇刁千营村 √ √ 康庄镇榆林堡村 √ √ 康庄镇小丰营村 √ √ 延庆镇付余屯村 √ √ 延庆镇东小河屯村 √ √ √ √ √ √ √ 香营乡屈家窑村 √ 旧县镇米粮屯村 √ √ 旧县镇东羊坊村 √ 永宁镇古城北街 √ √ √ √ √ √ √ (1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率； (2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望； (3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式得解； （2）求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可； （3）分别计算两个随机变量的期望，即可得解. 【详解】（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件 A， 由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为, 周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为， 所以. （2）随机变量的所有可能取值为， 根据题意，， ， 随机变量的分布列是: 0 1 2 数学期望 （3） 由题意，可能取值为， ，，， 故； 由题意，可能取值为， ，，， 故， 所以. 8．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 【2025年押题预测题型三】：方差 1．（24-25高三上·北京·开学考试）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一（2）班抽测的10人中随机抽取2人，从高一（4）班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的概率； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）确定相应的情况，分类计算，结合独立事件的乘法公司，即可求得答案； （3）利用两点分布的方差计算公式，求出，，，，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题意知从高一年级的（1）班~（8）班了抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为； （2）由题意可知高一（2）班抽测的10人中优秀的有6人，高一（4）班抽测的10人中优秀的有4人， 则表示抽测的3人中身体素质监测成绩达到优秀的有2人， 则； （3）由题意得， 由于服从两点分布，则， ，则， ，则， ，则， 故. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表： 高中部 初中部 男生 女生 男生 女生 清楚 12 8 24 24 不清楚 28 32 38 34 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率； (2)从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率； (3)从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意根据古典概型计算公式可得结果； （2）利用二项分布以及概率的加法公式计算即可得出结果； （3）分别计算出所有取值对应的概率，再利用两点分布即可得出. 【详解】（1）由题意可知，参与调查的学生由200人， 其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有：人， 设事件A：学生清楚垃圾分类后处理方式， 则. （2）从样本高中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 从样本初中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：， 设事件B：这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式， 则； （3）根据题意可知随机抽取1名男生清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 随机抽取1名女生清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 因此可得，， 同理可得，， 由两点分布公式计算可得； 可得. 3．（24-25高三上·北京顺义·期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据表中数据可求频率，从而可求概率； （2）先求出“乙款奶茶日销售量大于60杯”、“丙款奶茶日销售量大于60杯”的概率，再根据独立事件的概率可求的分布列和数学期望. （3）根据方差公式可求和，从而可比较它们的大小. 【详解】（1）对于甲款奶茶，7天中共有3天销量大于65， 设为：“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”，则. （2）设为：“乙款奶茶日销售量大于60杯”，为：“丙款奶茶日销售量大于60杯”， 则，， 而可取，则， 而，故， 故的分布列为： 故. （3）乙款奶茶日销售量数据的平均值为， 故， 同理可得表格中所有的日销售量数据的平均值为， ，而，故. 4．（2024·北京东城·二模）北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示： 行政区 东城区 西城区 朝阳区 丰台区 石景山区 海淀区 门头沟区 房山区 城镇人口（万人） 70.4 110 343.3 199.9 56.3 305.4 36.2 102.6 乡村人口（万人） 0 0 0.9 1.3 0 7 3.4 28.5 行政区 通州区 顺义区 昌平区 大兴区 怀柔区 平谷区 密云区 延庆区 城镇人口（万人） 137.3 87.8 185.9 161.6 32.8 27.9 34.9 20.5 乡村人口（万人） 47 44.7 40.8 37.5 11.1 17.7 17.7. 13.9 (1)在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率； (2)若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望； (3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）根据极差判断最小，再分别计算出，，即可得解. 【详解】（1）在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，怀柔区，平谷区，密云区，延庆区，共个； 所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率. （2）6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区， 10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区， 则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为： 所以. （3）， 由数据可知城镇人口的最大值为，最小值为，极差为； 乡村人口的最大值为，最小值为，极差为， 常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为，最小值为，极差为， 所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小， 所以乡村人口的方差最小， 又城镇人口的平均数为， 常住人口的平均数为， 所以城镇人口的方差为， 常住人口的方差为， 所以. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率. （2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可. （3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系. 【详解】（1）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A， 由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合， 其中男生成绩高于女生，， ，，. 所以事件A有17种组合 ，因此； （2）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为. 因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 , ，，， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 数学期望. （3）男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以，则； 所以. 6．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3). 【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望. （4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小. 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为. （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望. （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以. 7．（24-25高三上·北京丰台·期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 (1)从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； (2)某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望； (3)若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用“古典概型”的计算公式求解. （2）明确的可能取值，求出相应事件的概率，可得分布列，在利用期望的概念求. （3）分别计算与，比较它们的大小. 【详解】（1）这7个入围短视频中，前7天的累计播放量超过4万次的有3个. 设事件“从这7个入围短视频中随机选取1个，该短视频前7天的累计播放量超过4万次”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （3）前7天累计播放量的平均数为：， 所以. 前8天累计播放量的平均数为： 所以 所以. 8．（24-25高三上·北京西城·期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率. (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误. 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20； (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1)结论正确，结论不正确. (2)      0 1 2 3                          数学期望为： (3)故方差相等. 【分析】（1）结合题目，利用样本中选择足球的人数的比例求解，故结论A正确.因为选择排球的男生有50人，选择篮球的有25人，故不可能样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数为20.故结论B错误. (2)利用全概率公式求解即可； （3）根据题意有如下关系：结合方差的性质得到两者方差相等. 【详解】（1）结论A正确，结论不正确. （2）（2）一男生选择排球课的概率估计为 ， 高一女生选择排球课的概率估计为 . 随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， 所以的分布列为:      0 1 2 3                          故 . （3） . 9．（24-25高三上·北京石景山·期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (1)从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； (2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； (3)城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见详解，1 (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，利用古典概型计算概率即可； （2）根据表格求得从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，以及从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，再分别求得的概率，即可写出分布列，进而求得数学期望； （3）根据表格中的数据，求出离散型随机变量的方差，从而判断.（学生作答时，直接写结果即可，无需说明理由）. 【详解】（1）设事件“抽到的是甲区且绿化达标”， 因为该城市试点区的所以居民小区共有个， 甲区且绿化达标的居民小区共有个， 则， 所以，抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为. （2）由题意，的所有可能的取值为. 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望. （3）因为甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区，共个， 所以从甲小区里抽取个，从乙小区里抽取个， 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 所以，. 10．（24-25高三上·北京房山·期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公式求解即可； （3）根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4， 所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率 （2）12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7， 从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，的所有可能取值为：0，1，2，3 所以， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 求的分布列和数学期望 ； （3）新能源汽车销售量的样本平均数 新能源汽车销售量的样本方差 燃油汽车销售量的样本平均数 燃油汽车销售量的样本方差 所以 11．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【分析】（1）根据给定信息，利用古典概率公式列式计算即得. （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用平均数、方差公式计算，求出24日的温差即可得解. 【详解】（1）设“从日至日某天开始，这三天中至少有两天是晴天”为事件， 连续统计三天共有个基本事件，事件共有个基本事件，所以. （2）日至日中，温差不高于的共有天，则随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的期望为. （3）显然日至日温差为、、、，平均数为， 方差， 日至日温差为、、、，平均数为， 方差，整理得，解得， 而日的最低温度是零下，所以日的最高温度是. 12．（2025·北京石景山·一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式； （2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望； （3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值. 【详解】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人. 从这16人中随机抽取2人的总组合数为种. 要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况： 男生从选，女生从选，有种选法. 男生从选，女生从选，有种选法. 所以满足条件的选法共有种. 根据古典概型概率公式所求概率. （2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为. 从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X， 因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即. 根据二项分布的概率公式，可得： . . . . . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的数学期望公式，可得. （3）因为抽取的女生共30人，所以，即. 当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小. 13．（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； (3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可； （3）求出，，比较大小即可. 【详解】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为 ， 因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． （2）设事件：抽取的高一学生选择去B地， 事件：抽取的高二学生选择去B地， 事件：抽取的高三学生选择去B地， 事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，， 事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地． 从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高二年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高三年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 因为， 所以 ． 所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为 ． （3）在三个年级去A地研学旅行的学生中， 调查结果为满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为满意的学生人数的方差为， 调查结果为不满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为不满意的学生人数的方差为， 则. 14．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为 （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ，则. 15．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）由方差计算公式即可求解； 【详解】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分， 又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇， 所以； （2）由已知的可能取值为，，，3 ，， 所以的分布列为 所以的数学期望为； （3），证明如下： 的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1， 平均数为：， 的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3， 平均数为： ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$