猜押04 北京高考数学16题 解三角形（含三角函数）（解答题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）

猜押04 北京高考数学16题 解三角形（含三角函数） 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 解三角形（含三角函数） 2022/16 解三角形（正 / 余弦定理、面积公式）；二倍角公式应用 以三角形为载体，综合考查基础公式运算能力。题目结构良好，侧重直接应用正余弦定理求角、边及面积，难度较低。 低 2023/17 三角函数图象与性质（化简、单调性、最值）；结构不良问题（条件选择） 创新设问方式，要求从三个条件中选择合理条件求解，考查发现问题与逻辑推理能力。题目注重公式灵活运用与思维严谨性。 低 2024/16 解三角形（正 / 余弦定理、面积公式）；结构不良问题（条件判断） 延续开放题型设计，通过多条件筛选考查学生对解三角形条件的理解。题目强调基础运算与逻辑分析的结合，难度稳定。 低 2025年预测：延续考查解三角形（如结合三角恒等变换求角、边、面积），或三角函数综合问题（如性质应用、参数求解），强化基础运算。 【解三角形（含三角函数）真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【2025年押题预测题型一】：解三角形中的面积问题（结构不良） 1．（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）在中，，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：，；条件②：，；条件③：，为等腰三角形. 注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 4．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 5．（24-25高三上·北京石景山·期末）在中，. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 6．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（23-24高三上·北京·期中）在中，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上的高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 8．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 9．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 10．（2025·北京门头沟·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 11．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 12．（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 13．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 14．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【2025年押题预测题型二】：直接解三角形 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在△ABC中，已知 (1)求角A； (2)若求的面积． 4．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 5．（2024·北京东城·一模）在中，. (1)求； (2)若为边的中点，且，求的值. 6．（2024·北京西城·二模）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 7．（2024·北京海淀·一模）在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【2025年押题预测题型三】：三角函数问题（结构不良） 1．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①；②的图像关于直线对称；③的最大值为. (1)求函数的单调增区间； (2)已知且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 4．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知. (1)求函数的解析式； (2)在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 6．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 7．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 北京高考数学16题 解三角形（含三角函数） 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 解三角形（含三角函数） 2022/16 解三角形（正 / 余弦定理、面积公式）；二倍角公式应用 以三角形为载体，综合考查基础公式运算能力。题目结构良好，侧重直接应用正余弦定理求角、边及面积，难度较低。 低 2023/17 三角函数图象与性质（化简、单调性、最值）；结构不良问题（条件选择） 创新设问方式，要求从三个条件中选择合理条件求解，考查发现问题与逻辑推理能力。题目注重公式灵活运用与思维严谨性。 低 2024/16 解三角形（正 / 余弦定理、面积公式）；结构不良问题（条件判断） 延续开放题型设计，通过多条件筛选考查学生对解三角形条件的理解。题目强调基础运算与逻辑分析的结合，难度稳定。 低 2025年预测：延续考查解三角形（如结合三角恒等变换求角、边、面积），或三角函数综合问题（如性质应用、参数求解），强化基础运算。 【解三角形（含三角函数）真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 2．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 3．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 【2025年押题预测题型一】：解三角形中的面积问题（结构不良） 1．（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）若选择①，利用正弦定理推出不存在；若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得. 因为在中，，所以. 所以. 因为，所以. （2）选条件①：， 则，即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：， 由余弦定理，得. 解得或. 当时，. 当时，.       条件③：， 因为，所以为钝角，所以. 由，得. 因为 ， 所以. 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）在中，，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：，；条件②：，；条件③：，为等腰三角形. 注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分. 【答案】(1)①不能选，若选择②，答案为，若选择③，答案为； (2)①不能选，若选择②，答案为，若选择③，答案为 【分析】（1）选择①，得到，为钝角，则也为钝角，这样的三角形不存在；选择②，由余弦定理得到，结合正弦定理得到；选择③，为顶角，所以，由余弦定理得到，由正弦定理得到； （2）选择②或③，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）选择①：，，显然， 因为大边对大角，故， 因为，故为钝角，则A也为钝角，显然这样的三角形不存在，①舍去； 选择②：，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，（舍），此时三角形唯一确定， 因为，，所以， 由正弦定理得，所以； 选择③：，为等腰三角形， 在中，因为，所以为钝角. 所以为顶角，所以. 因为，， 故，即， 所以. 因为，，所以， 由正弦定理得，所以. （2）不能选择①， 选择②：因为. 选择③：因为. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）经判断可知选择①③时存在，利用正弦定理和余弦定理计算可得结果； （2）由可得，代入三角形面积公式计算可得结果. 【详解】（1）若选择①②， 由可知，或，因此或， 结合可知，选择①②时，不存在； 若选择②③ 由利用正弦定理可得， 又，可得，显然不成立， 即选择②③，也不存在 若选择①③，利用正弦定理可得，即， 又，可得，此时存在； 所以可得； （2）由可得， 由可得； 所以的面积为. 4．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 5．（24-25高三上·北京石景山·期末）在中，. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，化简得到，即可求得； （2）条件① ：根据周长和余弦定理列方程，解方程得到，然后根据三角形面积公式求面积即可；条件② ：利用同角三角函数基本关系得到，利用正弦定理得到，根据正弦的和差公式和三角形内角和得到，最后根据三角形面积公式求面积即可；条件③ ：利用正弦定理得到，结合正弦函数的图象得到，此时不唯一，故条件③不成立. 【详解】（1）由正弦定理，，因，则， ，则，故得， 即得：，因，故. （2）若选择① ：因，的周长为，则 （i）， 由余弦定理，，则 （ii）， 联立（i），（ii）可得：， 则的面积为； 若选择② ：因，，则，因， 由正弦定理，，则， 又，则， 则的面积为：； 若选择③ ：因，，由正弦定理，，则， 因，故，由，故角不唯一（可以是锐角，也可以是钝角），故条件③不成立. 6．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，即可证得结论； （2）利用正弦定理分析可知，选择①②不符合题意；选择①③，求出的值，利用正弦定理求出的值，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面积公式可求出的面积；选择②③，利用正弦定理求出的值，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得. 又在中，， 所以， 所以， 即， 又、，所以，，所以B为钝角. （2）选择①②，则，，， 由正弦定理得，则，故为直角，与题意矛盾； 选择①③，即，，. 由B为钝角，得. 由正弦定理，得，解得. 又为锐角，得， 所以. 所以的面积. 选择②③，即，，， 由正弦定理得，解得. 由，，及为钝角，为锐角，得，， 所以， 所以. 所以的面积. 7．（23-24高三上·北京·期中）在中，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上的高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得的长，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：由中，，且， 可得，所以， 因为，所以. （2）解：若选条件①：，， 因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，代入解得，所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选择条件②：， 由正弦定理且，可得， 又由余弦定理，可得， 解得， 所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选条件③：，边上的高为2 因为，可得， 由余弦定理，可得，解得， 此时存在但不唯一确定，不符合题意. 8．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 再由 可得. 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）选择条件①：，，， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形； 选择条件②： 在中，设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理 解得，所以，所以， 因为，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 选择条件③：在中，为锐角三角形， 因为，所以， 所以，，，所以， 所以，所以，解得或舍. 所以，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 9．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 10．（2025·北京门头沟·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)解答见解析 【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案； （2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. （2）选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选条件②：， 因为，即， 又， 所以， 所以只有成立，存在且唯一确定， 所以的面积为. 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 11．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选条件②③时，最长边上的高为. 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求； （2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 所以，而， 故即. （2）若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为三角形不唯一，故舍； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得，故， 故最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 故，由余弦定理可得， 解得或(舍)，以下同选条件②. 12．（2025高三下·北京·专题练习）在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）若选条件①，利用正弦定理面积公式求出，再利用余弦定理求出即可求解；若选条件②，先利用等腰三角形性质求出，再利用三角形内角和公式求出，最后余弦定理确定即可求解；若选条件③，先利用已知条件结合余弦定理求出，发现三角形不唯一不合要求. 【详解】（1）因为， 由辅助角公式有：， 即，因为，所以， 所以，解得. （2）选条件①：的面积为， 由正弦定理有：， 即，， 由余弦定理有：，即， 解得：，所以的周长为. 选条件②：， 因为，由，所以为等腰的三角形，所以， 因为，所以， 由余弦定理有：，即， 解得，所以的周长为. 选条件③：， 由由余弦定理有：，即， 整理得：，解得或， 此时不唯一，所以条件③不合要求. 13．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 14．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 【2025年押题预测题型二】：直接解三角形 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简，可得，进而可求B的值； （2）由结合（1）利用余弦定理可求a的值，再利用三角形面积公式可求的面积． 【详解】（1）由正弦定理得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， ， 得 ，所以 . （2）由余弦定理 得 即 ， 解得 或 (舍)， 所以 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；解法2：利用余弦定理化简得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）由同角三角函数的基本关系可求出的值，利用三角形的面积公式可求出的值，利用余弦定理结合可得出关于的方程，可求出的值，进而可求出的值，由此可得出该三角形的周长. 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在△ABC中，已知 (1)求角A； (2)若求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，再根据余弦定理求出角； （2）已知、和角，先根据余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）根据正弦定理将边角互化， 得到. 化简可得， 即. 再根据余弦定理， 因为，所以. （2）已知，，， 根据余弦定理，可得. 即，整理得. 解得或（边长不能为负舍去）. 最后根据三角形面积公式， 可得. 4．（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由（1）可知，所以，所以将转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 5．（2024·北京东城·一模）在中，. (1)求； (2)若为边的中点，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案； （2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即，， 又因为， 所以， 解得，又因为， 所以； （2）解：因为为边的中点，， 所以, 设, 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为，所以，    在中，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即. 6．（2024·北京西城·二模）已知函数．在中，，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解； （2）由（1）和的面积取得，利用余弦定理得，进而求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：由函数， 因为，可得， 在中，因为，所以， 又因为，所以，所以，解得， 因为，所以. （2）解：由（1）知，因为的面积为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，所以， 即，所以， 所以的周长为. 7．（2024·北京海淀·一模）在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果； （2）根据（1）中及条件，由余弦定理得到，再结合，即可求出，再利用三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，得到，即， 所以，又因为，所以，得到. （2）由（1）知，所以，又，得到①， 又，得到代入①式，得到， 所以的面积为. 【2025年押题预测题型三】：三角函数问题（结构不良） 1．（2024·北京朝阳·一模）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据条件，代入，即可求解； （2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调递增区间，即可求解. 【详解】（1）因为，，则，且，则； （2）因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 又，则，则，所以， 所以， 若选择①③，则，且，则， 又，则，则，则， 所以 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以， 令，得， 所以函数的单调递增区间是 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①；②的图像关于直线对称；③的最大值为. (1)求函数的单调增区间； (2)已知且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据所选条件，求出的值，再检验是否满足在上单调，即可确定函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可知，依题意可得，再分别求出所对应的的取值集合，即可判断. 【详解】（1）因为 ， 若选①，则， 所以， 当时，，因为在上不单调，不符合题意，故舍去； 若选②的图像关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 若选③的最大值为，因为（其中） 所以，解得或； 当时，由①可知，不符合题意； 当时，由②可知，符合题意； 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）可知， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以. 3．（24-25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先应用两角和正弦公式再结合二倍角正弦及余弦公式得出,根据①②③得出参数，最后结合正弦函数的对称中心得出对称中心；. （2）应用正弦函数的单调区间结合得出单调减区间即可. 【详解】（1）因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. （2）因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 4．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 【答案】(1) (2)选②或选③， 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解； （2）选①，由可判断；选②，分析可知，在时取最大值，可得出关于的等式以及不等式，即可求得的值；选③，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得. 【详解】（1）因为， 因为，所以． （2）选①，，故①不成立； 选②，因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，在时取最大值，则，解得， 因为，则， 因为，且有，解得， 故，； 选③，因为在区间上单调递减， 且当时，的值域是， 所以，. 所以，，解得， 且，解得. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知. (1)求函数的解析式； (2)在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)选择条件见解析， (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分别根据选择的不同的条件，得到最小正周期，结合周期公式得到，根据图象得到,结合图像上的点求得即可. （2）因为，得到，结合正弦函数图象性质得到最值. 【详解】（1）若选条件①②： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，，所以，即. 因为，所以，.所以. 若选条件①③： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，，所以，即. 因为，所以，.所以. 若选条件②③： 因为，，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，，所以，即. 因为，所以，.所以. （2）因为，所以 当即时，有最大值2； ，即时，有最小值. 6．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 7．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解； （2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）对于条件①：在上是单调函数， 因为在上是单调函数，所以， 所以，又因为，解得， 因为， 解得， 所以函数的单调单调递增区间为： ， 若函数在上单调递增，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为， 解得， 所以函数的单调单调递减区间为： ， 若函数在上单调递减，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为， 因为，解得， 所以函数的对称中心为， 若是图象的一个对称中心， 则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立， 则时，函数取得最大值，有， 解得； 若选条件①②，则有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件②③，则有， 即，方程解不唯一， 此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$