2024年中考数学真题完全解读（四川成都卷）

2024年中考真题完全解读（四川成都卷） 2024年四川省成都市中考数学试卷，从整体上来看，结构合理，题型丰富，难度适中，既注重对学生基础知识的考查，又突出了数学核心素养的培养。试卷分为A卷（100分）和B卷（50分），总分150分，充分体现了成都中考数学的特色，与往年相比，保持了稳定性和连续性。 ①从试卷结构上来看：A卷包括选择题、填空题和解答题。第I卷（选择题，共32分），共8道选择题，每题4分，注重对基础知识和基本技能的考查。第II卷（填空题，共20分），共5道填空题，每题4分，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力。第III卷（解答题，共48分），共5道解答题，题型多样，分值逐步递增，考查学生的综合应用能力。B卷则是对A卷的补充和拓展，题目难度有所提升，主要针对拔尖学生，旨在拉开学生间的差距，体现试卷的区分度。 ②从考点分布来看：试卷涵盖了初中数学的主要知识点，如实数的运算、方程与不等式、函数、几何图形的性质、概率统计等。代数部分与几何部分的比例较为均衡，体现了对数学学科平衡发展的要求。 具体而言： 选择题（1-8题）：涉及绝对值、视图与三视图、整式的运算、坐标与对称、统计学中的中位数、矩形的性质、列方程解应用题、尺规作图等基础知识，涵盖面广，知识点分布均匀。 填空题（9-13题）：考查了代数式的求值、解分式方程、弧长的计算、概率的基本概念、最短路径问题等，要求学生具备一定的计算能力和逻辑思维能力。 解答题（14-18题）：题目难度逐步加深，如计算题、解不等式组、统计图表的分析与应用、三角函数与解直角三角形、几何证明与计算、函数综合问题等，考查学生的综合应用能力和数学思维品质。 ③从难度分布来看：试卷整体难度适中，易、中、难题比例合理，符合中考命题要求。 容易题（约占60%）：例如第1题关于绝对值的计算，第4题关于点的对称，第9题代数式的求值等，这些题目主要考查基础知识和基本技能，学生容易上手，得分率较高。 中等难度题（约占30%）：如第8题关于尺规作图的综合应用，第13题最短路径问题，第15题关于统计图表的分析等，要求学生在理解基本概念的基础上，进行一定的思考和分析。 较难题（约占10%）：如第17题关于圆和相似三角形的证明与计算，第18题关于函数与几何的综合应用，B卷中的填空和解答题，涉及多知识点的综合，思维含量高，区分度强。 试卷的区分度较好，能够有效区分不同层次的学生。基础题部分保证了大多数学生能够取得基本分，而综合题和难题则考查了学生的深入理解和综合运用能力。 ④从命题思路上：试卷注重基础，突出主干，体现了对数学核心素养的考查，如数学抽象、逻辑推理、数学建模等。试题情境贴近生活，关注社会热点，如第15题以2024年成都世界园艺博览会为背景，第16题结合中国古代“土圭之法”，体现了数学与实际的紧密联系。 总体而言，这是一份符合新课标要求，注重基础，兼顾拓展，具有较高信度和效度的优秀试卷。试卷的设计对教学具有良好的导向作用，鼓励教学中重视基础知识的落实，培养学生的数学思维能力和综合素养。 本次考试的题目总数为26 题。其中，A 卷共 18 题，B 卷共 8 题，题目数量有所增加，使得试卷结构更加完善。 ★选择题：由 8 题组成，每题 4 分，总分 32 分。 ★填空题：A 卷和 B 卷共设 10 题，每题 4 分，总分 40 分。 ★解答题：A 卷和 B 卷共设 8 题，分值有所提升，综合考查学生的解题能力。 总结：题型分布更加均衡，重视基础知识与综合能力的结合。 相较于前两年，本次考试的计算量有所增加，特别是在填空题和解答题中涉及较复杂的计算。例如： ★第 14 题涉及实数的混合运算和不等式的求解。 ★第 16 题结合古代 “土圭之法”，需要运用解直角三角形的知识进行计算。 ★这要求学生在平时注重计算能力的训练，提高运算的准确性和效率。 ★试题难易程度分布合理，保持相对稳定： ★基础题目占比适中，确保大多数学生能够取得基本分数。 ★提高了部分题目的综合性和思维性，如第 18 题、第 23 题，涉及函数、方程、几何等知识的综合运用，考查学生的综合分析能力。 试卷中增加了与实际生活和传统文化相结合的应用型题目，如： ★第 15 题以 2024 年成都世界园艺博览会 为背景，考查统计与概率知识。 ★第 16 题以中国古代 “土圭之法” 为情境，融合了历史文化与数学知识。 总结：这体现了对学生数学应用意识和实践能力的重视。 试题更加注重对数学核心素养的考查，包括： ★逻辑推理能力：如第 17 题和第 26 题，需要严密的逻辑推理和论证过程。 ★数学模型思想：如第 24 题，要求建立方程模型解决实际问题。 ★创新意识和探究能力：如第 21 题和第 26 题的拓展延伸部分，鼓励学生自主探究和创新思考。 除了传统的选择、填空和解答题外，试卷还包含了证明题、计算题、应用题等多种形式，满足不同层次学生的需求，促进学生全面发展。 试题答案和解析中涉及的字母、数学符号、数字等，要求考生能够正确书写和规范表达。例如： ★在解答题中，需要用 LaTeX 格式书写数学表达式，确保逻辑清晰，步骤完整。 ★正确使用数学符号，如 、、、 等，体现数学语言的严谨性。 为帮助学生更好地理解和答题，部分试题提供了参考示例或提示，如第 26 题，先进行初步感知，再深入探究，最后拓展延伸，层层递进，培养学生的思维深度。 以上是对 2024 年四川省成都市中考数学 试卷题型结构变化的总结。在复习备考中，学生应关注题型的新变化，注重基础知识的巩固和综合能力的提升，熟悉实际应用题的解题方法，培养良好的数学素养。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 4 选择题 绝对值的概念 易 2 4 选择题 简单几何体的三视图 易 3 4 选择题 代数式的运算（乘方、合并同类项、公式） 中 4 4 选择题 坐标系中点的对称 易 5 4 选择题 中位数的计算 易 6 4 选择题 矩形的性质 中 7 4 选择题 列二元一次方程组解决实际问题 中 8 4 选择题 角平分线的作图、平行四边形的性质、相似三角形 难 9 4 填空题 实数性质的运用，平方和为零 中 10 4 填空题 分式方程的解法 易 11 4 填空题 扇形的弧长计算 中 12 4 填空题 概率计算 中 13 4 填空题 解析几何中的最值问题，轴对称 难 14 8 解答题 （1）实数的运算；（2）解不等式组 易 15 8 解答题 数据分析与统计图表 中 16 10 解答题 解直角三角形的应用，古代数学问题 难 17 10 解答题 几何证明，相似三角形，圆的性质 难 18 12 解答题 解析几何综合题，函数与图形的综合应用 难 19 4 填空题 平行四边形的角度计算 中 20 4 填空题 一元二次方程的根与系数关系 中 21 4 填空题 组合问题，数列规律的探究 难 22 4 填空题 相似三角形的应用 难 23 4 填空题 二次函数性质与不等式 难 24 10 解答题 一元一次方程和不等式应用题 中 25 10 解答题 解析几何，二次函数的性质 难 26 10 解答题 几何变换，旋转，三角形的性质 难 试卷整体难度较高，难题比例较大。 ❆特点：考查基础知识和基本技能，如绝对值概念、三视图、实数运算、不等式解法等，题目直接，计算量小。 ❆例题：第 1 题，绝对值的概念，只需理解 即可。 ❆特点：需要理解和运用基础知识，有一定的综合性，如代数式的运算、矩形性质的应用、数据分析与统计等。 ❆例题：第 7 题，列二元一次方程组，需要从文字描述中抽取数学信息，建立方程组求解。 ❆特点：涉及多知识点综合，逻辑推理复杂，思维要求高，如几何证明、解析几何综合题、旋转变换等。 ❆例题：第 18 题，解析几何综合题，需要对直线和反比例函数的性质进行综合运用，包含函数、方程、图形等多个知识点。 ①容易题 ❆特点：题目直接，考查基础概念或简单计算，解题步骤少。 ❆例子：第 4 题，关于原点对称的点的坐标，只需将坐标取相反数即可。 ②中等难度题 ❆特点：需要理解概念并进行简单的综合应用，可能涉及两个知识点的结合。 ❆例子：第 11 题，求扇形的弧长，需要应用弧长公式 。 ③难题 ❆特点：综合性强，涉及多知识点，需要较强的分析和推理能力，有一定的解题技巧要求。 ❆例子：第 26 题，关于图形旋转的探究，需要利用旋转变换的性质，以及对三角形全等、相似的深入理解。 通过以上分析，可以看出本试卷旨在全面考查学生的数学基础知识和综合运用能力，特别强调了对数学思维和问题解决能力的考查。学生需扎实掌握基础知识，并具备较强的分析和综合能力，才能在考试中取得优异的成绩。 根据2024年四川省成都市中考数学试卷的考查情况，结合学生普遍易错、易混的知识点，为了帮助考生在即将到来的中考中取得理想的成绩，特提出以下备考建议，供大家参考。 试卷中大量题目考查了基础知识和基本技能，如第1题的绝对值、第3题的代数式运算、第4题的坐标轴对称等。这些题目看似简单，但稍有不慎就可能出错。因此，考生在复习时应注重对教材基础知识的梳理，确保对概念、定理、公式的准确理解和熟练运用。 建议： 重视教材中的例题和习题，理解解题思路和方法。 对照教材，查漏补缺，确保不遗漏任何一个知识点。 通过对试卷的分析，可以发现函数、几何证明、统计与概率是考查的重点内容。例如，第13题涉及反比例函数与最短路径问题，第17题考查了相似三角形的证明与计算。 建议： 针对函数部分，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的性质和图像变换。 在几何部分，要重点突破相似三角形、勾股定理、圆的性质等核心内容。 对于统计与概率，理解基本概念，能够进行数据分析与概率计算。 学生常犯的错误主要集中在以下几个方面： 概念混淆： 例如，在第3题中，部分考生可能混淆了乘方运算规则，导致计算错误。 计算粗心： 在计算过程中，漏写或写错负号、小数点等。 审题不仔细： 没有充分理解题意，忽略了题目中的关键词或限制条件。 建议： 在做题时，先花时间认真审题，划出关键词。 进行适当的限时训练，提高解题的准确性和速度。 建立错题本，定期回顾，总结错误原因，避免重复犯错。 时间紧迫，考生需要科学规划复习时间： 第一阶段（巩固基础）： 用1-2周时间梳理教材，确保掌握所有基础知识。 第二阶段（专题突破）： 针对自身薄弱环节，进行专题练习和突破。 第三阶段（综合提升）： 通过模拟试卷练习，提高综合解题能力，进行查漏补缺。 第四阶段（考前冲刺）：调整心态，保持状态，适当做一些中考真题，熟悉考试节奏。 ★选择题技巧 排除法： 对于明显错误的选项，先予以排除，缩小选择范围。 特值法： 代入特殊值验证，如零、正负整数等。 估算法： 通过大致估算，判断结果的合理性。 ★ ★ 解答题规范 步骤清晰： 按照“解”、“证”的格式，书写规范，步骤完整。 语言准确： 使用数学术语，避免口语化表达。 图形辅助：在几何题中，规范作图，有助于理解和说明问题。 ★★ ★ 综合题策略 审清题意： 弄清已知条件、求证结论，理清思路。 分步解决：将复杂问题分解为几个小问题，逐一攻破。 验证结果：解题后，回顾检验，确保答案的正确性。 临近考试，考生可能出现紧张、焦虑等情绪，应注意心理调适： 保持规律作息，保证充足睡眠。 适当进行体育锻炼，放松身心。 树立信心，相信自己的能力。 遇到困难，及时与老师、同学或家长沟通。 根据试卷命题特点，未来可能会在以下方面有所侧重： 实际应用：与生活实际相结合的应用题，如统计调查、概率计算等。 探究与创新： 开放性试题，考查学生的探究能力和创新思维。 综合能力： 跨章节、跨领域的综合性题目。 建议： 多关注与实际生活相关的数学问题，提高数学应用意识。 培养自主探究的能力，多做一些开放性题目，锻炼思维。 加强知识的系统性，构建完整的知识网络。 2024年成都卷数学试题 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图为， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：， 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查角平分线尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 10. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 故答案为x=3 11. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案： 12. 盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 15. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有______人，表中的值为______： （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 【答案】（1）160，40 （2） （3）385 【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息 是解答的关键． （1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是可求解x值； （2）由乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案； （3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为（人）， 选择“世界公园打卡线”的人数为（人）， 故答案为：160，40； 【小问2详解】 解：“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：选择“园艺小清新线”的人数为（人）， ∴该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为（人）． 16. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，） 【答案】9.2尺 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺． ∴，即， ∵， ∴，即， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度平均数． ∴春分和秋分时日影长度为． 答：春分和秋分时日影长度92尺． 17. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长和的直径． 【答案】（1）见详解； （2），． 【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明； （2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度． 【小问1详解】 是的直径 又 【小问2详解】 由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 中，，， 在中，， 的直径是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； （3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或， （3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； 【小问2详解】 解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； 【小问3详解】 解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，△ABD∽△ABE不存在， 故满足条件的k值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 20. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 21. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______． 【答案】 ①. 9 ②. 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 22. 如图，在中，，是△ABC的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，， ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是△ABC的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴， ∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，即，且， ∵，， ∴且， 解得， 故答案为：；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若的面积与的面积相等，求的值； （3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【小问1详解】 解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； 【小问2详解】 当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； 【小问3详解】 设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上 ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在△ABC的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$