精品解析：江苏省东海高级中学2024-2025学年高二下学期第一次学分认定考试数学试题

2024-2025学年第二学期高二年级第一次学分认定考试 数学试题 命题人： 审核人： 一、单项选择题 1. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 432种 B. 420种 C. 176种 D. 7种 4. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 8. 在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是1120 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 二项式系数最大的项为第5项 D. 各项的系数之和为256 10. 在棱长为2的正方体中，点为的中点，则（ ） A. 四棱锥的体积为8 B. 二面角的大小为 C. 直线与底面所成的角的大小为，则 D. 异面直线与所成的角的大小为，则 11. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某校要从3名男生和4名女生中选出3人担任某赛事的志愿者工作，每个人被选中的可能性相同.在选出的志愿者中，男生和女生都有的概率为______. 13. 展开式中含项的系数为______. 14. 有3台车床加工同一型号的零件，甲、乙、丙三台车床加工的次品率依次为，，，且甲、乙、丙三台车床加工的零件数分别占总数的，，.将加工出来的零件混放在一起，从混合零件中任取1个. （1）它是次品的概率为______； （2）如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为______. 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中所有偶数项的二项式系数之和为128. （1）求的展开式中的常数项； （2）在的展开式中，求含：的项的系数.（结果用数字作答） 16. （1）若，且n是正整数，求证：； （2）依据（1）中的不等式可以进行近似计算，依据（1）中的结论对下列问题进行近似计算：假定某市有人口1000万，且人口的年平均增长率为1.1%，那么10年后该地区的人口大约为多少万？ 17. 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上.设二面角的大小为. （1）当为的中点，求证：； （2）求直线与底面所成的角的正弦值； （3）当时，求线段的长度. 18. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. （1）可以组成多少个偶数？ （2）可以组成多少个大于24500的五位数？ 19. 如图，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，AD上，且满足. （1）证明：直线EH，FG，BD相交于一点； （2）若空间四边形的边长都为2，且，求二面角的大小的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二年级第一次学分认定考试 数学试题 命题人： 审核人： 一、单项选择题 1. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数公式即可判断选项A与选项C；根据组合数公式即可判断选项B与选项D. 【详解】，故选项A错误； ，故选项B正确； ∵，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D错误. 故选：B. 2. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可． 【详解】因为，0，，，2，， 则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量是． 故选：． 3. 某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 432种 B. 420种 C. 176种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数. 【详解】先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种. 故选：A 4. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点P，Q分别为平面，平面的中心，则， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 故可取，又， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 5. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出将5个1和2个0随机排成一行的种数和2个0不相邻的种数，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种. 要使2个0不相邻，利用插空法,5个1有6个位置可以放0,故排放方法有种. 所以所求概率为. 故选：D. 6. 在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】线段的中点，再结合重心得出，再根据得出，最后再用向量的加减运算将所有向量化为的线性关系即可. 【详解】取线段的中点，因点是的重心， 则， 因，则 则. 故选：A. 7. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4名学生分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法， 故选：C 8. 在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量基本定理有，得，转化为代数问题，利用基本不等式有，令，即得，转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】设，则有， 由，，所以，， 所以 ， 即， 由，当且仅当时，等号成立， 所以， 即，令， 即，关于的一元二次不等式要有解， 所以，解得，即， 所以的最大值为，当时，， 即，所以，即时，等号成立， 故选：D. 二、多项选择题 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是1120 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 二项式系数最大的项为第5项 D. 各项的系数之和为256 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知写出二项式展开式通项公式，进而判断A、B；由组合数性质及二项式展开式的项数确定最大项判断C；赋值法判断D. 【详解】由二项式知，展开式通项公式为，， 当，则，A对； ，，B错； 由，即展开式共有9项，则二项式系数最大为第5项，C对； 令，则各项系数之和为，D错. 故选：AC 10. 在棱长为2的正方体中，点为的中点，则（ ） A. 四棱锥的体积为8 B. 二面角的大小为 C. 直线与底面所成的角的大小为，则 D. 异面直线与所成的角的大小为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】连接交于点，证得平面，得到为四棱锥的高，结合锥体的体积公式，可判定A不正确；先证得且，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，可判定B不正确；由平面，得到所以为与底面所成的角，在直角，求得，可判定C正确；取的中点，证得，得到异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在，利用余弦定理求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接交于点， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 所以四棱锥的体积为， 所以A不正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，且平面，所以且， 所以为二面角的平面角， 在直角中，可得，所以B不正确； 对于C中，在正方体 中，可得平面， 所以即为与底面所成的角的大小为， 连接，在直角中，可得, 在直角中，可得，所以C正确； 对于D中，取的中点，连接， 因为分别为的中点，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即为， 在直角中，可得， 在中，， 由余弦定理，可得， 即，所以D正确. 故选：CD. 11. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求解判断各个选项. 【详解】因为，所以，A选项正确； 由题意，，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 又因为，所以， 所以，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题 12. 某校要从3名男生和4名女生中选出3人担任某赛事的志愿者工作，每个人被选中的可能性相同.在选出的志愿者中，男生和女生都有的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出选出3人的所有情况和3人中男、女生都有的所有情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意得从3名男生和4名女生中选出3人共有种情况， 其中男、女生都有的情况有种， 所以选出的志愿者中，男、女生都有的概率为， 故答案为：. 13. 展开式中含项的系数为______. 【答案】113 【解析】 【分析】化简后利用展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为 展开式中含常数，项的系数分别为， 而的展开式为， 所以展开式中含项的系数为， 故答案为：113 14. 有3台车床加工同一型号的零件，甲、乙、丙三台车床加工的次品率依次为，，，且甲、乙、丙三台车床加工的零件数分别占总数的，，.将加工出来的零件混放在一起，从混合零件中任取1个. （1）它是次品的概率为______； （2）如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率；利用贝叶斯概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲车床加工的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件， 则彼此互斥，且，，，，， 设从混合零件中任取1个，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为 , 故答案为：； 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中所有偶数项的二项式系数之和为128. （1）求的展开式中的常数项； （2）在的展开式中，求含：的项的系数.（结果用数字作答） 【答案】（1） （2）84 【解析】 【分析】（1）二项展开式中所有项的系数和为，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半即可求出，再令通项中次数为零即可求出； （2）先求出各个展开式中的项的系数，然后结合组合数的性质求解即可. 【小问1详解】 所有偶数项的二项式系数之和为128， ，解得. 的第项为， 令，得， 则常数项为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以即展开式中的系数为：， 由组合数的性质， 所以. 16. （1）若，且n是正整数，求证：； （2）依据（1）中的不等式可以进行近似计算，依据（1）中的结论对下列问题进行近似计算：假定某市有人口1000万，且人口的年平均增长率为1.1%，那么10年后该地区的人口大约为多少万？ 【答案】（1）证明见解析；（2）1115万 【解析】 【分析】（1）利用二项式的展开式即可证明； （2）根据（1）的不等式代值化简，并近似计算即得. 【详解】（1）因，且n是正整数， 则 ， 当且仅当时，等号成立； （2）依题意，10年后该地区的人口为， 由（1）已得， 取，， 则得. 即10年后该地区的人口大约为1115万. 17. 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上.设二面角的大小为. （1）当为的中点，求证：； （2）求直线与底面所成的角的正弦值； （3）当时，求线段的长度. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0证明两直线垂直； （2）利用向量法求线面角； （3）利用向量法表示二面角的平面角的余弦值，构建方程求出线段的长度. 【小问1详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则. 当为的中点，则， 所以，， 则，所以. 【小问2详解】 是的中点，，则， 取平面的一个法向量， 设直线与底面所成的角为， 则. 【小问3详解】 设，则， 所以， 设平面的一个法向量， 则，令，则，故. 设平面的一个法向量， 则，令，则，故. 则， 整理可得，即，解得或（舍去）， 所以. 18. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. （1）可以组成多少个偶数？ （2）可以组成多少个大于24500的五位数？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【小问1详解】 第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； 【小问2详解】 第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 19. 如图，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，AD上，且满足. （1）证明：直线EH，FG，BD相交于一点； （2）若空间四边形的边长都为2，且，求二面角的大小的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，，，四点共面，假设，证明出即可； （2）将四面体放入正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求二面角的大小的余弦值. 【小问1详解】 因为E，F分别是空间四边形ABCD的边AB，BC的中点，所以，且， 因为，所以，且， 所以,,所以，，，四点共面， 假设，所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为 平面平面，所以， 所以直线EH，FG，BD相交于一点 【小问2详解】 因为空间四边形的边长都为2，且，所以空间四边形为正四面体， 将正四面体放入正方体中，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 所以，， ，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， ， 由图可知二面角为钝角，所以二面角的大小的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $