2024-2025学年七年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《实数》11.1.1不等式及其解集六大题型解题技巧

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《实数》 11.1.1不等式及其解集六大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 理清教材 提炼方法 知识点1，不等式 1.不等式的定义： 用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式。 知识点2、不等式的解与解集 1. 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 2. 不等式的解集 （1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解； （2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集； 3. 解不等式 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 知识点3 数轴上表示不等式的解集 不等式的解集是表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地不等式的解集在数轴上表示有以下几种情况： （1）x＞a （2）x＜a （3）x≥a （4）x≤a 题型归纳 题型分类 考点归纳 【题型1 不等式的识别】 【题型2 由实际问题列不等式】 【题型3 不等式解、解集的定义】 【题型4 不等式解、解集的辨析】 【题型5 不等式解集在数轴上表示】 【题型6 已知不等式解集求参数】 典例精析、题型突破 深度剖析 跟踪训练 【题型1 不等式的识别】 判断一个式子是否不等式，关键是看这个式子是否含有“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”这些不等号。有就是，没有就不是。 【例1-1】．下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义逐个判断即可．注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 【详解】解：不等式有①、②、⑥，共3个， 故选：C． 【例1-2】．下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①，是不等式， ②是不等式， ③是代数式， ④是不等式， ⑤是等式， ⑥是不等式， ⑦是等式， ⑧是不等式， ⑨是不等式， 则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个， 故选：D 【变式1-1】．若□2是不等式，则符号“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 用符号“”、“”或“”、“ ”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如； 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可知， 若□2是不等式，则符号“□”可以是； 故选：D． 【变式1-2】．下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是不等式，不符合题意； B、是不等式，不符合题意； C、是等式，不是不等式，符合题意； D、是不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】．下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键． 由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 【题型2 由实际问题列不等式】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词语，如“大于”、“不超过”、“至少”等，正确选择不等号。 【例2-1】．下列不等关系中，正确的是（   ） A．a不是正数可表示为 B．x不大于4可表示为 C．x与2的和是非负数可表示为 D．m与5的差是负数可表示为 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含)．根据不等量关系的表示方法逐项分析即可． 【详解】解：A．a不是正数可表示为，故不正确； B．x不大于4可表示为，故不正确； C．x与2的和是非负数可表示为，故不正确； D．m与5的差是负数可表示为，故正确； 故选：D． 【例2-2】．（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 【变式2-1】．用不等式表示： (1)b与2的和小于； (2)x的一半与3的差不大于5； (3)a的绝对值不小于它本身； (4)m的6倍与3的和是非负数； (5)x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据不大于即小于和等于列出不等式即可． （3）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （4）根据非负数为大于等于0列出不等式即可． （5）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （6）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：b与2的和小于， 即． （2）解：x的一半与3的差不大于5， 即． （3）解：a的绝对值不小于它本身， 即． （4）解：m的6倍与3的和是非负数， 即． （5）解：x与y两数和的平方不小于7， 即． （6）解：a的n倍大于， 即． 【变式2-2】．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： （2）解：根据题意可知： （3）解：根据题意可知： 【变式2-3】．请设计不同的实际情境表示下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支． (2)小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7． 【分析】本题主要考查了是不等式代表的实际意义，根据不等式的定义，再联系实际即可作答． （1）根据，联系实际即可作答． （2）根据，联系实际即可作答． 【详解】（1）解：小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支．（答案不唯一） （2）解：小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7．（答案不唯一） 【题型3 不等式解、解集的定义】 1. 判断一个数是否不等式的解，将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立则这个数是不等式的解，若不成立，则这个数不是该不等式的解。 2. 不等式的解集是指满足不等式成立的未知数的所有解的集合 【例3-1】．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【例3-2】．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式3-1】．不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 【变式3-3】．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 【变式3-4】．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 【题型4 不等式解、解集的辨析】 能够满足不等式成立的未知数的值都是不等式的解，不等式的解集是能够使不等式成立的所有未知数的解组成的集合。 【例4-1】．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【例4-2】．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 【变式4-1】．请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为． 【详解】解：不等式的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】．若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．熟练掌握不等式的一个解的意义是解决问题的关键． 将代入不等式，解不等式即得． 【详解】∵是关于x的不等式的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-4】．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【题型5 不等式解集在数轴上表示】 不等式的解集表示在数轴上，具体表示方法：一定边界点，若含边界点为实心圆点，若不含边界，为空心圆圈，二定方向，对于方向而言，大于向右画，小于向左画。 【例5-1】．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【例5-2】．不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有C选项符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等． 【变式5-1】．如图，数轴上两点M、所对应的实数分别为、，则的结果可能是（    ）． A．1 B． C．0 D．－1 【答案】D 【分析】根据数轴得到点M、所对应的实数的范围，再结合实数的加法解题． 【详解】解：依题意得， 则的结果可能是－1， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴与实数的对应关系，涉及一元一次不等式，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-2】．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】由图可知，这个不等式组的解集为-2＜x≤4，然后计算解集内自然数的个数即可解答. 【详解】解：由图可知，不等式组的解集为-2＜x≤4，该解集中所含的自然数有0，1，2，3，4，共5个．故选B． 【点睛】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法，熟练掌握是解题的关键. 【变式5-3】．如图,天平左盘中物体A的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则的取值范围在数轴上可表示为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：1＜m＜2， 故选D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【变式5-4】．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为 ．    【答案】-1，0，1 【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至1.6． 【详解】解：由数轴可知：设被污染的部分的数为x， ∴-1.3≤x≤1.6 ∴x=-1或0或1， 故答案为-1，0，1． 【点睛】本题考查数轴．关键在于根据数轴的定义判断出污染部分整数的取值范围． 【题型6 已知不等式解集求参数】 已知不等式解集求参数值或参数范围是中考数学中的重要题型，主要考察对不等式性质和解集判断方法的理解。以下是具体方法和步骤： 1、根据不等式解集确定参数符号 （1）系数符号判断 （2）参数取值范围  根据上述判断，结合题目条件（如自然数要求），得出参数的具体取值范围。 2、利用解集端点代入验证 （1）代入法 将解集的端点代入原不等式，使其成为等式求解参数。 （2）边界条件处理 注意参数取值范围的边界条件，如是否包含等号。例如，若参数为分母，需排除使分母为零的情况。 3、结合数轴分析解集 （1）数轴法 通过数轴直观判断不等式组的解集范围。 （2）区间端点比较 根据解集区间端点与参数的关系，确定参数的取值范围 4、特殊解与无解情况处理 （1）特殊解验证 若已知不等式有特定解（如正整数解），可将解代入原不等式验证参数 （2）无解情况 若不等式组无解，则需根据解集判断条件（如矛盾不等式）确定参数范围。五、通过以上方法，可系统地根据已知解集求出参数值或范围，关键在于灵活运用不等式性质和数轴分析技巧。 【例6-1】．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【详解】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 【例6-2】．已知不等式的解集是，则“★”表示的数是 ． 【答案】－2 【分析】设“★”表示的数a，则不等式是2x+a＞4，解不等式利用a表示出不等式的解集，则可以得到一个关于a的方程，求得a的值． 【详解】解：设“★”表示的数a，则不等式是2x+a＞4， 移项，得2x＞4-a， 则x＞． 根据题意得：=3， 解得：a=-2． 即“★”表示的数是-2， 故答案是：-2． 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变． 【变式6-1】．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 【变式6-2】．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 【变式6-3】．已知不等式6x﹣1＞2(x+m)﹣3 (1)若它的解集与不等式+1＜x+3的解集相同，求m的值； (2)若它的解都是不等式+1＜x+3的解，求m的取值范围． 【答案】(1)﹣17； (2)m≥﹣17． 【分析】（1）分别解两个不等式，求出不等式的解集，根据解集相同列方程即可求解； （2）根据不等式6x﹣1＞2(x+m)﹣3的解都是不等式+1＜x+3的解，得到m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：6x﹣1＞2(x+m)﹣3 去括号得，6x﹣1＞2x+2m﹣3， 移项得，6x－2x＞2m﹣3＋1， 合并同类项得，4x＞2m－2， 系数化为1得，x＞， 即6x﹣1＞2(x+m)﹣3的解集是x＞， +1＜x+3 去分母得，x－5＋2＜2x＋6， 移项得，x－2x＜6＋5－2， 合并同类项得，﹣x＜9， 系数化为1得，x＞﹣9， 即+1＜x+3的解集为x＞﹣9， 由题意可得，＝﹣9， 解得，m＝﹣17， 即m的值为﹣17； （2）∵不等式6x﹣1＞2(x+m)﹣3的解都是不等式+1＜x+3的解， ∴≥﹣9， 解得m≥﹣17， 即m的取值范围是m≥﹣17． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的解集和解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《实数》 11.1.1不等式及其解集六大题型解题技巧 知识要点归纳 理清教材 提炼方法 知识点1，不等式 1.不等式的定义： 用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式。 知识点2、不等式的解与解集 1. 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 2. 不等式的解集 （1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解； （2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集； 3. 解不等式 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 知识点3 数轴上表示不等式的解集 不等式的解集是表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地不等式的解集在数轴上表示有以下几种情况： （1）x＞a （2）x＜a （3）x≥a （4）x≤a 题型归纳 题型分类 考点归纳 【题型1 不等式的识别】 【题型2 由实际问题列不等式】 【题型3 不等式解、解集的定义】 【题型4 不等式解、解集的辨析】 【题型5 不等式解集在数轴上表示】 【题型6 已知不等式解集求参数】 典例精析、题型突破 深度剖析 跟踪训练 【题型1 不等式的识别】 判断一个式子是否不等式，关键是看这个式子是否含有“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”这些不等号。有就是，没有就不是。 【例1-1】．下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-2】．下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】．若□2是不等式，则符号“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 由实际问题列不等式】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词语，如“大于”、“不超过”、“至少”等，正确选择不等号。 【例2-1】．下列不等关系中，正确的是（   ） A．a不是正数可表示为 B．x不大于4可表示为 C．x与2的和是非负数可表示为 D．m与5的差是负数可表示为 【例2-2】．（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【变式2-1】．用不等式表示： (1)b与2的和小于； (2)x的一半与3的差不大于5； (3)a的绝对值不小于它本身； (4)m的6倍与3的和是非负数； (5)x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于． 【变式2-2】．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【变式2-3】．请设计不同的实际情境表示下列不等式： (1)； (2)． 【题型3 不等式解、解集的定义】 1. 判断一个数是否不等式的解，将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立则这个数是不等式的解，若不成立，则这个数不是该不等式的解。 2. 不等式的解集是指满足不等式成立的未知数的所有解的集合 【例3-1】．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【例3-2】．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式3-1】．不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【题型4 不等式解、解集的辨析】 能够满足不等式成立的未知数的值都是不等式的解，不等式的解集是能够使不等式成立的所有未知数的解组成的集合。 【例4-1】．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【例4-2】．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式4-1】．请写出适合不等式的一组整数解 ． 【变式4-2】．若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【变式4-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式4-4】．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【题型5 不等式解集在数轴上表示】 不等式的解集表示在数轴上，具体表示方法：一定边界点，若含边界点为实心圆点，若不含边界，为空心圆圈，二定方向，对于方向而言，大于向右画，小于向左画。 【例5-1】．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【例5-2】．不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图，数轴上两点M、所对应的实数分别为、，则的结果可能是（    ）． A．1 B． C．0 D．－1 【变式5-2】．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式5-3】．如图,天平左盘中物体A的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则的取值范围在数轴上可表示为 A． B． C． D． 【变式5-4】．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为 ．    【题型6 已知不等式解集求参数】 已知不等式解集求参数值或参数范围是中考数学中的重要题型，主要考察对不等式性质和解集判断方法的理解。以下是具体方法和步骤： 1、根据不等式解集确定参数符号 （1）系数符号判断 （2）参数取值范围  根据上述判断，结合题目条件（如自然数要求），得出参数的具体取值范围。 2、利用解集端点代入验证 （1）代入法 将解集的端点代入原不等式，使其成为等式求解参数。 （2）边界条件处理 注意参数取值范围的边界条件，如是否包含等号。例如，若参数为分母，需排除使分母为零的情况。 3、结合数轴分析解集 （1）数轴法 通过数轴直观判断不等式组的解集范围。 （2）区间端点比较 根据解集区间端点与参数的关系，确定参数的取值范围 4、特殊解与无解情况处理 （1）特殊解验证 若已知不等式有特定解（如正整数解），可将解代入原不等式验证参数 （2）无解情况 若不等式组无解，则需根据解集判断条件（如矛盾不等式）确定参数范围。五、通过以上方法，可系统地根据已知解集求出参数值或范围，关键在于灵活运用不等式性质和数轴分析技巧。 【例6-1】．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【例6-2】．已知不等式的解集是，则“★”表示的数是 ． 【变式6-1】．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【变式6-2】．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【变式6-3】．已知不等式6x﹣1＞2(x+m)﹣3 (1)若它的解集与不等式+1＜x+3的解集相同，求m的值； (2)若它的解都是不等式+1＜x+3的解，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$