专题01 解不等式（组）及其不等式（组）的实际应用（高效培优专项训练）数学人教版新教材七年级下册

**基本信息** 聚焦解不等式（组）全类型突破，构建“基础解法-特殊转化-实际建模”三阶方法体系，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |普通不等式（组）|7题|化系数为1、数轴表示解集|从基本解法到组解确定，夯实运算能力| |连续型不等式组|6题|拆分为不等式组、参数关联转化|训练中间量处理，发展逻辑推理| |含绝对值不等式|6题|分类讨论去绝对值、数轴直观分析|通过阅读材料构建转化方法，培养抽象能力| |分式型不等式|6题|符号法则转化整式不等式组|利用有理数除法法则实现化归，提升数学思维| |实际应用|12题|设元-列不等式（组）-求解验证|从生活情境抽象模型，强化应用意识与数据观念|

专题1 解不等式（组）及其不等式（组）的实际应用 类型一：解普通的不等式（组） 类型二：解“连续型”不等式组 类型三：解含有绝对值的不等式 类型四：解“分式型”不等式 类型五：一元一次不等式（组）的实际应用 类型一：解普通的不等式（组） 1．解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）x＜﹣3； （2）﹣4＜x≤2． 【解答】解：（1）去分母可得： 4x+2＜3x﹣1， 4x﹣3x＜﹣1﹣2， x＜﹣3； （2）， 解不等式①得x≤2， 解不等式②得x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2． 2．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【答案】（1）x≥2； （2）﹣2≤x＜4． 【解答】（1）解：把不等式去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12， 8x﹣4≤9x+6﹣12， 8x﹣9x≤6﹣12+4， ﹣x≤﹣2， x≥2； 画数轴如下： （2）解：， 由不等式①，得x＜4， 由不等式②，得x≥﹣2， ∴不等式组的解：﹣2≤x＜4． 3．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 【答案】（1）x≤3； （2）数轴表示如下： 解集为﹣2＜x≤3． 【解答】解：（1）； 去分母得3（x+1）﹣2（2x﹣3）≥6， 去括号得3x+3﹣4x+6≥6， 移项合并得﹣x≥﹣3， 解得x≤3； （2）， 解不等式2x+4＞0得x＞﹣2， 解不等式3x﹣4≤2+x得x≤3， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 4．（1）解不等式2（x﹣1）﹣x≤2x+1． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）x≥﹣3； （2）﹣1≤x＜4； 把解集在数轴上表示如下： 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）﹣x≤2x+1， ∴2x﹣2﹣x≤2x+1， ∴x≥﹣3； （2）由题意，解不等式3x﹣3＜1+2x得，x＜4； 解不等式2x得，x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜4， 把解集在数轴上表示如下： 5．按要求解下列不等式（组）． （1）2（﹣3+x）＞3（x+2）（解不等式并在数轴上表示其解集）； （2）． 【答案】（1）x＜﹣12，； （2）x＞3． 【解答】解：（1）2（﹣3+x）＞3（x+2）， ﹣6+2x＞3x+6， 2x﹣3x＞6+6， ﹣x＞12， x＜﹣12， 在数轴上表示为： ； （2）， 由①得，x＞3， 由②得，x≥1， 故不等式组的解集为：x＞3． 6．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）x≥4， ； （2）﹣1≤x＜2， 【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣2）≥2（7﹣x）， 去括号，得3x﹣6≥14﹣2x， 移项，得3x+2x≥14+6， 合并同类项，得5x≥20， 系数化为1，得x≥4， 在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 在数轴上表示如下： 7．（1）解不等式：5x﹣3≥2（x+3）； （2）解不等式：； （3）解不等式组，并把它的解表示在数轴上； （4）解不等式组，并把它的解表示在数轴上． 【答案】（1）x≥3； （2）x＜﹣1； （3）x＜2， 它的解集表示在数轴上为： ； （4）x≤4， 它的解集表示在数轴上为： 【解答】解：（1）5x﹣3≥2x+6， 5x﹣2x≥6+3， 3x≥9， 所以x≥3； （2）3（x+1）＜5﹣x﹣6， 3x+3＜5﹣x﹣6， 3x+x＜5﹣6﹣3， 4x＜﹣4， 所以x＜﹣1； （3）， 解不等式①得x＜2， 解不等式②得x＜3， 所以不等式组的解集为x＜2， 它的解集表示在数轴上为： （4）， 解不等式①得x≤4， 解不等式②得x， 所以不等式组的解集为x≤4， 它的解集表示在数轴上为： 类型二：解“连续型”不等式组 8．解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）18＜x；（2）． 【解答】解：（1）， 1215， 36＜2x＜45， 18＜x； （2）， ﹣4≤2（1﹣0.6x）≤﹣3， ﹣4≤2﹣1.2x≤﹣3， ﹣6≤﹣1.2x≤﹣5， ． 9．解下列不等式： （1）﹣13； （2）﹣8≤﹣65． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵﹣13， ∴， ∵解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x≥﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1； （2）∵﹣8≤﹣65， ∴， ∵解不等式①得：x， 解不等式②得：x， ∴不等式组的解集为x． 10．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）﹣5＜2x+1＜6； （2）﹣2＜1x； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）解不等式2x+1＞﹣5，得：x＞﹣3， 解不等式2x+1＜6，得：x＜2.5， 则不等式组的解集为﹣3＜x＜2.5， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （2）解不等式1x＞﹣2，得：x＜15， 解不等式1x，得：x＞2， 则不等式组的解集为2＜x＜15， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （3）解不等式8x+5＞9x+6，得：x＜﹣1， 解不等式2x﹣1＜7，得：x＜4， 则不等式组的解集为x＜﹣1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （4）解不等式2x+3≤5，得：x≤1， 解不等式3x﹣2≥4，得：x≥2， ∴不等式组无解． 11．若关于x的方程的解小于3且不小于1，求m的取值范围． 【答案】． 【解答】解：， 去分母，去括号得，x﹣12m+2＝6x﹣15m+3， 移项得，x﹣6x＝﹣15m+3+12m﹣2， 合并同类项得，﹣5x＝﹣3m+1， x的系数化为1得，， ∵关于x的方程的解小于3且不小于1， ∴， ∴． 12．已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围． 【答案】﹣2＜a≤2． 【解答】解：， ①﹣②×2得，﹣9y＝﹣3， 解得y； ①×4+②得，9x＝6+9a， 解得xa， ∴x+y＝1+a， ∵﹣1＜x+y≤3， ∴﹣1＜1+a≤3， ∴﹣2＜a≤2． 13．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3． （1）求a的取值范围； （2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？ 【答案】（1）﹣2≤a＜2； （2）﹣2或﹣1或0． 【解答】解：（1）， ①+②可得3x+3y＝3﹣3a， 则x+y＝1﹣a， ∵﹣1＜x+y≤3， ∴﹣1＜1﹣a≤3， 解得﹣2≤a＜2； （2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1， ∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1， ∴2a﹣1＜0， 解得， 又∵﹣2≤a＜2且a为整数， ∴a＝﹣2或﹣1或0， 即a的值是﹣2或﹣1或0． 类型三：解含有绝对值的不等式 14．阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7； ②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3． 所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7． 根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　﹣1≤x≤3　 ． 【答案】﹣1≤x≤3． 【解答】解：仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式如下： |x﹣1|≤2， 当x﹣1≥0时，x≥1， ∴x﹣1≤2，解得x≤3， ∴1≤x≤3； 当x﹣1＜0时，x＜1， ∴﹣（x﹣1）≤2，解得x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜1， ∴原不等式的解集为﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3． 15．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6且小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． （1）|x|＜3的解集为　﹣3＜x＜3　 ； （2）解不等式|2x﹣3|＞1． 【答案】（1）﹣3＜x＜3； （2）x＞2或x＜1． 【解答】解：（1）|x|＜3，从数轴上可以看出只有大于﹣3且小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3，如图1， 故答案为：﹣3＜x＜3； （2）∵|2x﹣3|＞1， ∴2x﹣3＞1或2x﹣3＜﹣1， 解得x＞2或x＜1，如图2， ∴|2x﹣3|＞1的解集为x＞2或x＜1． 16．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |x|＜3，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3； |x|＞3，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3． 解答下面的问题： （1）不等式|x﹣3|＞5的解集是x＞8或x＜﹣2　 ； （2）已知关于y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，求m的取值范围． 【答案】（1）x＞8或x＜﹣2； （2）﹣15≤m≤3． 【解答】解：（1）|x﹣3|＞5的解集为x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，即x＞8或x＜﹣2， 故答案为：x＞8或x＜﹣2； （2）将方程组的①+②得， 3x+3y＝m+6， 所以x+ym+2， 不等式|x+y|≤3，即|m+2|≤3， 所以﹣3m+2≤3， 解得﹣15≤m≤3． 17．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求|x|＜3和|x|＞3的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3， ∵ ∴|x|＞3解集为x＞3或x＜3． 根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式|x|＞1的解集为x＞1或x＜﹣1　 ； （2）解不等式|x+2|≤6； （3）求不等式|x﹣2|+|x+3|＞7的解集． 【答案】（1）x＞1或x＜﹣1； （2）﹣8≤x≤4； （3）x＜﹣4或x＞3． 【解答】解：（1）不等式|x|＞1的解集为x＞1或x＜﹣1， 故答案为：x＞1或x＜﹣1； （2）不等式|x+2|≤6的解集为﹣6≤x+2≤6， 解得﹣8≤x≤4； （3）|x﹣2|+|x+3|＞7所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，﹣3的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式|x﹣2|+|x+3|＞7的解集为x＜﹣4或x＞3． 18．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． ②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6． （1）|x|＜2的解集为　﹣2＜x＜2　 ，|x﹣3|＞5的解集为x＞8或x＜﹣2　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是正整数，求m的值； （3）不论x取何值，都有|x﹣1|+|x+2|﹣2t＞4成立，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）﹣2＜x＜2，x＞8或x＜﹣2； （2）1、2、3； （3）t． 【解答】解：（1）|x|＜2的解集为﹣2＜x＜2，|x﹣3|＞5的解集为x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，即x＞8或x＜﹣2， 故答案为：﹣2＜x＜2，x＞8或x＜﹣2； （2）将方程组的①+②得， 3x+3y＝m+6， 所以x+ym+2， 不等式|x+y|≤3，即|m+2|≤3， 所以﹣3m+2≤3， 解得﹣15≤m≤3， 因为m是正整数， 所以m的值为1、2、3； （3）不等式|x﹣1|+|x+2|﹣2t＞4，即|x﹣1|+|x+2|＞2t+4， 因为|x﹣1|+|x+2|的最小值为1﹣（﹣2）＝3， 不论x取何值，不等式|x﹣1|+|x+2|＞2t+4成立， 所以2t+4＜3， 解得t． 19．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤5的解集为 　﹣5≤x≤5　 ； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为 x≤0或x≥4　 ； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为 　﹣5≤x≤3　 ； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为 　﹣4.5＜x＜3.5　 ； （5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）﹣5≤x≤5； （2）x≤0或x≥4； （3）﹣5＜x＜3； （4）﹣4.5＜x＜3.5； （5）a≤5． 【解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5； 故答案为：﹣5≤x≤5； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4； 故答案为：x≤0或x≥4； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3； 故答案为：﹣5＜x＜3； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5； 故答案为：﹣4.5＜x＜3.5； （5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5， 当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5， 当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5， ∴|x+3|+|x﹣2|≥5， ∴a≤5． 类型四：解“分式型”不等式 20．先阅读下面的材料，再解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负． （1）若，则，或　　 ；若，则　　 或　　 ． （2）根据上述信息，求不等式和的解集． 【答案】（1），，； （2）原不等式的解集是x＞2或x＜﹣1； 原不等式的解集是． 【解答】解：（1）根据有理数除法法则可得： 若，则，或； 若，则，或． 故答案为：；；． （2）由条件可知或， 解得x＞2或者x＜﹣1； 由条件可知或， 解得． 21．分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： （1）如果，求x的取值范围； （2）如果，求x的取值范围． 【答案】（1）x＞﹣1； （2）． 【解答】解：（1）∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∴时，x+1＞0， 解得：x＞﹣1； （2）由得：或， 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得：该不等式组无解集， ∴当时，． 22．感知：分子，分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②． 解不等式组①，得x＞3， 解不等式组②，得x． 所以原分式不等式的解集为x＞3或x． （1）探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式． （2）应用：求不等式（x﹣3）（x﹣5）≤0的解集． 【答案】探究：x＜2； 应用：﹣5≤x≤3． 【解答】解：探究：解不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①，或②， 解不等式组①，得x＜2， 解不等式组②得此不等式组无解． 所以原分式不等式的解集为x＜2； 应用：（x﹣3）（x+5）≤0， 原不等式可化为不等式组：①或②， 解不等式组①得：不等式组无解， 解不等式组②得：﹣5≤x≤3， 所以不等式（x﹣3）（x+5）≤0的解集是﹣5≤x≤3． 23．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：0；0等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： 若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0； 若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0． （1）反之：若0，则或 若0，则　　 或　　 ． （2）根据上述规律，求不等式0的解集． （3）直接写出分式不等式的解集x＞3或　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若0，则或； 故答案为：或； （2）不等式转化为或， 所以，x＞2或x＜﹣1． （3）不等式转化为0＜x﹣3＜3x﹣2或x﹣3＜3x﹣2＜0， 所以x＞3或， 故答案为x＞3或． 24．阅读下面材料，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：不等式等，如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0； （2）若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0； 反之： （3）若0，则或； （4）若0，则 　　 或 　　 （请完成填空）； （5）根据上述规律： ①求不等式0的解集； ②求不等式0的解集． 【答案】（4），； （5）①x＜﹣1或x＞2；②﹣3＜x＜1． 【解答】解：（4）∵0， ∴或， 故答案为：，； （5）①∵0， ∴或， 解不等式组得：x＜﹣1； 解不等式组②得：x＞2， ∴0的解集是x＜﹣1或x＞2； ②∵0， ∴或， 解不等式组得：无解， 解不等式组得：﹣3＜x＜1， 所以不等式0的解集是﹣3＜x＜1． 25．自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则； （2）若a＞0，b＜0，则；若a＜0，b＞0，则 反之： （1）若，则或 （2）若，则 　　 或 　　 ； （3）根据上述规律，求不等式的解集； （4）试求不等式的解集． 【答案】（2），； （3）x＜3； （4）﹣2＜x＜1． 【解答】解：（2）∵， ∴或， 故答案为：，； （3）∵， ∴①或②， 解不等式组①得：x＜3， 解不等式组②得：不等式组无解； ∴的解集是x＜3； （4）， 整理得：1＜0， 即 0， 所以①或②， 解不等式组①得：不等式组无解； 解不等式组②得：﹣2＜x＜1， 所以不等式的解集是﹣2＜x＜1． 类型五：一元一次不等式（组）的实际应用 26．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵600元．若采购2台A型平板比采购3台B型平板多花费200元． （1）求A型平板和B型平板的单价； （2）若集训队共需配备50台平板电脑，且总采购预算不超过72000元，则最多能采购A型平板多少台？ 【答案】（1）A型平板的单价为1600元/台，B型平板的单价为1000元/台； （2）最多能采购A型平板36台． 【解答】解：（1）设A型平板的单价为a元/台，B型平板的单价为b元/台， 根据题意得：， 解得：． 答：A型平板的单价为1600元/台，B型平板的单价为1000元/台； （2）设采购A型平板x台，则采购B型平板（50﹣x）台， 根据题意得：1600x+1000（50﹣x）≤72000， 解得：x， 又∵x为非负整数， ∴x的最大值为36． 答：最多能采购A型平板36台． 27．造纸术是我国古代四大发明之一，是人类文明史上的杰出成就．某经销商购进了三尺和四尺两种尺寸的石桥皮纸进行销售，在销售的过程中允许进行组合，已知1张三尺和3张四尺的石桥皮纸共15.5元，2张三尺和1张四尺的石桥皮纸共11元． （1）1张三尺和1张四尺的石桥皮纸的单价分别为多少元？ （2）该经销商计划销售这两种尺寸的石桥皮纸共200张，销售收入不低于740元，则至少需要销售四尺的石桥皮纸多少张？ 【答案】（1）三尺纸3.5元，四尺纸4元； （2）至少销售四尺纸80张． 【解答】解：（1）设1张三尺纸x元，1张四尺纸y元， ， 解得： ， 答：三尺纸3.5元，四尺纸4元； （2）设销售四尺纸m张，则三尺纸（200﹣m）张， 4m+3.5（200﹣m）≥740， 解得：m≥80， 答：至少销售四尺纸80张． 28．某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 （1）该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 【答案】（1）A款服装购进20件，B款服装购进30件； （2）至少购进60件A款服装． 【解答】解：（1）由题意，设购进A款服装x件，购进B款服装y件， ∴根据题意列二元一次方程组得，， ∴． 答：A款服装购进20件，B款服装购进30件； （2）由题意，设第二次购进m件A款服装，则购进（100﹣m）件B款服装， ∴根据题意列一元一次不等式得，70m+80（100﹣m）≤7400． 解得m≥60． 答：至少购进60件A款服装． 29．为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【答案】（1）巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元； （2）29套． 【解答】解：（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元， 依题意列二元一次方程组得，， 解得， 即巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元， 答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元； （2）无人机每套售价为1600﹣400＝1200（元）， 智能小车每套售价为200+100＝300（元）， 设这次购买巡线机器人m套， ∴根据题意列一元一次不等式得，1600m+1200m+300m+200m≤98000， 解得， 又∵m为整数， ∴m可以取的最大值为29， 答：这次最多能购买巡线机器人29套． 30．2026年，深圳将在200所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买1套A型课桌椅与2套B型课桌椅共需2800元 ②买2套A型课桌椅比3套B型课桌椅少花费1400元 ③买5套A型课桌椅与4套B型课桌椅花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出A型、B型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共200套，且总费用不超过180000元，则采购B型课桌椅至多多少套？ 【答案】（1）A型课桌椅单价为800元/套，B型课桌椅单价为1000元/套； （2）采购B型课桌椅至多100套． 【解答】解：（1）设A型课桌椅单价为x元/套，B型课桌椅单价为y元/套， 选①②，根据题意得：， 解得：； 选①③，根据题意得：， 解得：； 选②③，根据题意得：， 解得：． 答：A型课桌椅单价为800元/套，B型课桌椅单价为1000元/套； （2）设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅（200﹣m）套， 根据题意得：800（200﹣m）+1000m≤180000， 解得：m≤100， ∴m的最大值为100． 答：采购B型课桌椅至多100套． 31．安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】（1）A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元； （2）至少需要采购B种茶叶167盒． 【解答】解：（1）设A种茶叶每盒的进价为x元，B种茶叶每盒的进价为y元， 由题意列二元一次方程得， ， 解得， 即A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元； （2）设采购B种茶叶m盒，则购进A种茶叶（500﹣m）盒， 根据题意，总利润w＝（2×100﹣100﹣40）（500﹣m）+[（120+180）×0.8﹣120]m， ＝30000+60m， ∵w≥40000， ∴30000+60m≥40000， 解得， ∵m为整数， ∴m≥167，即m的最小值为167． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 32．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】（1）可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【解答】解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件，则乙款服装（500﹣m）件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 33．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】（1）A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹； （2）该物流中心有3种投入方案． 【解答】解：（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意列二元一次方程组得：， 解得， 即A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹， 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人（10﹣a）台． 由题意列一元一次不等式组得：， ∴解得4≤a≤6． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 34．为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买A、B两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买2个A种垃圾桶和3个B种垃圾桶共需600元；购买4个A种垃圾桶和1个B种垃圾桶共需700元． （1）求A、B两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ （2）学生会计划购买A、B两种垃圾桶共20个，且总费用不超过3000元，且购买的A种垃圾桶数量不少于B种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】（1）A种垃圾桶每个150元，B种垃圾桶每个100元； （2）共有14种购买方案，最省钱方案费用为2350元． 【解答】解：（1）设A种垃圾桶每个x元，B种垃圾桶每个y元， 可得， 解得， 故B种垃圾桶每个100元，A种垃圾桶每个150元； （2）设购买A种垃圾桶a个， 可得， 解得， ∵a是正整数， ∴7≤a≤20， ∴共有14种购买方案， ∵A种垃圾桶单价高于B种垃圾桶， ∴当A种垃圾桶的数量最少，即A种垃圾桶7个，B种垃圾桶（20﹣7）＝13个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：150×7+100×13＝2350（元）． 答：共有14种购买方案，最省钱方案费用为2350元． 35．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 （1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． （2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ （3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 【答案】（1）足球的单价是100元，跳绳的单价是20元； （2）1240元； （3）购买方案共有3个：①购买足球12个，购买跳绳20条；②购买足球13个，购买跳绳15条；③购买足球14个，购买跳绳10条． 【解答】解：（1）设足球的单价是x元，跳绳的单价是y元， 由题意列二元一次方程组得，， 解得， 即足球的单价是100元，跳绳的单价是20元， 答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元； （2）1200×0.9+（1400﹣1200）×0.8＝1080+260＝1240（元）． 答：优惠后实际只需支付1240元； （3）设购买足球m个，购买跳绳n条，购买的总价为S元， 由题意得，m≥12，n≥10， ∵S＝100m+20n≥1200+200＝1400＞1200， ∴1200×0.9+（S﹣1200）×0.8＝1400， 解得S＝1600， ∴100m+20n＝1600，即n＝80﹣5m， ∴根据题意列一元一次不等式组得，， 解得12≤m≤14， ∴m＝12，13，14， 当m＝12时，n＝80﹣5m＝80﹣5×12＝20， 当m＝13时，n＝80﹣5m＝80﹣5×13＝15， 当m＝14时，n＝80﹣5m＝80﹣5×14＝10， ∴购买方案共有3个：①购买足球12个，购买跳绳20条；②购买足球13个，购买跳绳15条；③购买足球14个，购买跳绳10条． 36．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，我校决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． （1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ （2）据统计我校需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】（1）A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元； （2）有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个；②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个；③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个； （3）购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元． 【解答】解：（1）设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种型号的新型垃圾桶的单价为x元， 由题意得，， 解得， 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元； （2）设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种型号的新型垃圾桶（200﹣a）个， 由题意得，， 解得117.5≤a≤120， ∵a为整数， ∴a＝118或119或120， ∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个； ②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个； ③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个； （3）∵A种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱， ∴最低购买费用为60×120+100×80＝15200元， 答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元． 37．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． （1）求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ （3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】（1）A种单价30元，B种单价50元； （2）三种方案汇总：A32个，B18个； A31个，B19个； A30个，B20个； （3）应购买A种32个、B种18个；因为总费用随B数量增加而增加，买B最少时最省钱． 【解答】解：（1）设A种品牌排球单价为x元，则B种品牌排球单价为（x+20）元， 根据题意列方程：20x+30（x+20）＝2100， 解得x＝30， B单价：30+20＝50（元）， 答：A种单价30元，B种单价50元； （2）优惠后：A单价：30﹣5＝25元， B单价：50×0.8＝40元， 设再次购进B种排球m个，则A种排球（50﹣m）个， 根据题意列不等式组： 25（50﹣m）+40m≤1550， m≥18， 解得：18≤m≤20， m为正整数， 所以m＝18、19、20共有3种购买方案； 三种方案汇总：A32个，B18个； A31个，B19个； A30个，B20个； （3）设总费用为W元：W＝25（50﹣m）+40m＝15m+1250， ∵15＞0，W随m增大而增大， ∴m取最小值18时，费用最少， 此时：A：50﹣18＝32个，B：18个， 答：应购买A种32个、B种18个；因为总费用随B数量增加而增加，买B最少时最省钱． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 解不等式（组）及其不等式（组）的实际应用 类型一：解普通的不等式（组） 类型二：解“连续型”不等式组 类型三：解含有绝对值的不等式 类型四：解“分式型”不等式 类型五：一元一次不等式（组）的实际应用 类型一：解普通的不等式（组） 1．解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）． 2．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 3．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 4．（1）解不等式2（x﹣1）﹣x≤2x+1． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 5．按要求解下列不等式（组）． （1）2（﹣3+x）＞3（x+2）（解不等式并在数轴上表示其解集）； （2）． 6．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 7．（1）解不等式：5x﹣3≥2（x+3）； （2）解不等式：； （3）解不等式组，并把它的解表示在数轴上； （4）解不等式组，并把它的解表示在数轴上． 类型二：解“连续型”不等式组 8．解下列不等式： （1）； （2）． 9．解下列不等式： （1）﹣13； （2）﹣8≤﹣65． 10．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）﹣5＜2x+1＜6； （2）﹣2＜1x； （3）； （4）． 11．若关于x的方程的解小于3且不小于1，求m的取值范围． 12．已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围． 13．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3． （1）求a的取值范围； （2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？ 类型三：解含有绝对值的不等式 14．阅读：我们知道，于是要解不等式|x﹣3|≤4，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当x﹣3≥0，即x≥3时，x﹣3≤4，解得x≤7，所以3≤x≤7； ②当x﹣3＜0，即x＜3时，﹣（x﹣3）≤4，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜3． 所以原不等式的解集为﹣1≤x≤7． 根据以上思想，不等式|x﹣1|≤2的解集是　 　 ． 15．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6且小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． （1）|x|＜3的解集为　 　 ； （2）解不等式|2x﹣3|＞1． 16．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |x|＜3，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3； |x|＞3，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3． 解答下面的问题： （1）不等式|x﹣3|＞5的解集是 　 ； （2）已知关于y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，求m的取值范围． 17．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求|x|＜3和|x|＞3的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3， ∵ ∴|x|＞3解集为x＞3或x＜3． 根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式|x|＞1的解集为 　 ； （2）解不等式|x+2|≤6； （3）求不等式|x﹣2|+|x+3|＞7的解集． 18．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题． ①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6． ②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6． （1）|x|＜2的解集为　 　 ，|x﹣3|＞5的解集为 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是正整数，求m的值； （3）不论x取何值，都有|x﹣1|+|x+2|﹣2t＞4成立，请直接写出t的取值范围． 19．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤5的解集为 　 　 ； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为 　 ； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为 　 　 ； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为 　 　 ； （5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围． 类型四：解“分式型”不等式 20．先阅读下面的材料，再解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负． （1）若，则，或 　 ；若，则 　 或　 　 ． （2）根据上述信息，求不等式和的解集． 21．分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： （1）如果，求x的取值范围； （2）如果，求x的取值范围． 22．感知：分子，分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②． 解不等式组①，得x＞3， 解不等式组②，得x． 所以原分式不等式的解集为x＞3或x． （1）探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式． （2）应用：求不等式（x﹣3）（x﹣5）≤0的解集． 23．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：0；0等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： 若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0； 若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0． （1）反之：若0，则或 若0，则 　 或 　 ． （2）根据上述规律，求不等式0的解集． （3）直接写出分式不等式的解集 ． 24．阅读下面材料，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：不等式等，如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0； （2）若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0； 反之： （3）若0，则或； （4）若0，则 　 或 　 　 （请完成填空）； （5）根据上述规律： ①求不等式0的解集； ②求不等式0的解集． 25．自学下面材料后，解答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则； （2）若a＞0，b＜0，则；若a＜0，b＞0，则 反之： （1）若，则或 （2）若，则 或 　 ； （3）根据上述规律，求不等式的解集； （4）试求不等式的解集． 类型五：一元一次不等式（组）的实际应用 26．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵600元．若采购2台A型平板比采购3台B型平板多花费200元． （1）求A型平板和B型平板的单价； （2）若集训队共需配备50台平板电脑，且总采购预算不超过72000元，则最多能采购A型平板多少台？ 27．造纸术是我国古代四大发明之一，是人类文明史上的杰出成就．某经销商购进了三尺和四尺两种尺寸的石桥皮纸进行销售，在销售的过程中允许进行组合，已知1张三尺和3张四尺的石桥皮纸共15.5元，2张三尺和1张四尺的石桥皮纸共11元． （1）1张三尺和1张四尺的石桥皮纸的单价分别为多少元？ （2）该经销商计划销售这两种尺寸的石桥皮纸共200张，销售收入不低于740元，则至少需要销售四尺的石桥皮纸多少张？ 28．某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 （1）该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 29．为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 30．2026年，深圳将在200所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买1套A型课桌椅与2套B型课桌椅共需2800元 ②买2套A型课桌椅比3套B型课桌椅少花费1400元 ③买5套A型课桌椅与4套B型课桌椅花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出A型、B型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共200套，且总费用不超过180000元，则采购B型课桌椅至多多少套？ 31．安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． （1）A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ （2）该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 32．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 33．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 34．为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买A、B两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买2个A种垃圾桶和3个B种垃圾桶共需600元；购买4个A种垃圾桶和1个B种垃圾桶共需700元． （1）求A、B两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ （2）学生会计划购买A、B两种垃圾桶共20个，且总费用不超过3000元，且购买的A种垃圾桶数量不少于B种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 35．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 （1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． （2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ （3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 36．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，我校决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． （1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ （2）据统计我校需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 37．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． （1）求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ （3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $