精品解析：2025年吉林省长春市净月区九年级中考一模数学试题

净月高新区2024-2025学年度下学期模拟练习 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法及正数和负数，根据甲地的海拔高度减乙地的海拔高度，直接列式即可． 【详解】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为， 故选：B． 2. 长春冰雪新天地是一个大型冰雪主题乐园，园区面积156万平方米，包括7大主题区域，200余座冰雕雪塑，数据156万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：156万 故选：D． 3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此， A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误； B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误； C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确； D、球体主视图与俯视图都是圆，错误． 故选C． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘、除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 合并同类项，同底数幂的乘、除法，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 6. 某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义． 由题意得，然后由 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 故选：． 7. 如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x， 由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG＝x， 在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 即AG＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，根据线段垂直平分线的性质求出AG=BG是解题的关键． 8. 如图，双曲线与矩形的边交于点，且，交于点．若四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，，，由得到，得出，由，，得到，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：设，，，， ， ， 点在双曲线上， ， ，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式∶_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 11. 一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差的计算方法，掌握方差的计算方法是解题的关键．先利用平均数求出的值，求出添加一个数据 后的平均数，再根据方差公式，求出，，比较即可解答． 【详解】解：∵一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4， ∴， ∴ ， 添加一个数据 后的平均数为， ∴ ， ∵，即， 故答案为：． 12. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点、、都在格点上，、分别与网格线交于点、，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取格点，连接得到，再证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接 正方形网格中每个小正方形边长为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为 时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及直角三角形的相关知识，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识． 过点作 垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，先根据正方形性质得到相关边和角的信息，求出，最后在中，求得，即可求出容器的最高点D到桌面的高度． 【详解】解∶ 过点作 垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中， 点到桌面的高度， 故答案为：． 14. 已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入并整理得：， ∴， ∵当时，， ∴， 当时，则或， ∴函数图象大致如下： 结合函数图象知，当时，x的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先根据分式运算法则化简原式，再代入求值． 先对括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后把代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 甲、乙两名同学报名参加学校图书馆的志愿者活动，他们将被随机分配到四个不同的图书区域：文学区（A），科普区（B），历史区（C），艺术区（D）进行整理书籍的工作，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙两人至少有1人被分配到历史区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由图知，一共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的有7种， 所以，甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率为． 17. 为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格／（kg/袋） 1 2 成本／（元／袋） 40 38 售价／（元／袋） 60 54 【答案】这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键在于找出等量关系，正确列出方程组． 设这3个月该网店销售红枣袋，小米 袋，根据题意列方程组得，解得，即可得到答案． 【详解】解：设这3个月该网店销售红枣袋，小米 袋， 由题意得， 解得； 答∶这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋． 18. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，四边形的面积为24，则________． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ，且， 四边形是平行四边形 ，， ，即 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理以及求角的余弦值，解题的关键是利用平行四边形性质得到边的关系，再结合矩形判定条件证明，通过面积公式和勾股定理求解三角函数值． （1）利用平行四边形性质和已知边相等关系，证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一得到直角，从而证明是矩形． （2）先根据已知边的关系求出 ，再由四边形面积求出高 ，最后利用勾股定理求出，进而得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， 由（1）知四边形是矩形， ， 设 四边形的面积为24， ，解得， ∴， ∴在中， ． 故答案为：． 19. 其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示： （1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________； （2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”） （3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 【答案】（1）95，91.5，30 （2）九 （3）260人 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，用样本估计总体，熟知中位数，众数的概念是解题的关键． （1）根据八年级20名学生的成绩数据，即可解答；算出九年级组人数，再通过C组成绩数据，即可得到中位数及对应的百分数； （2）利用样本中八、九年级学生成绩高于平均分的人数，即可解答； （3）算出八、九年级20名学生中，竞赛成绩不低于95分的占比，乘以各年级全部人数，相加即可． 【小问1详解】 解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级A组人数为（人）， B组数据为（人），故中位数在C组， 为，故， D组所占的百分数为：， 故答案为：95；91.5；30；； 【小问2详解】 解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多； 理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多； 故答案为：九； 【小问3详解】 解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占， 八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人）， 答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中，作的中线； （2）在图2中，在上找一点E，使： （3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接 ，并在线段上找到一点Q，连接，使． 【答案】（1） 即为所求， ， （2） 点即为所求， ， （3） 点即为所求， ， 【解析】 【分析】本题考查了网格复杂作图，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据矩形对角线互相平分即可解答； （2）如图，取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答； （3）取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：在网格上去点，连接交于点， ， 四边形为矩形， ， 为的中线； 【小问2详解】 解：取点，连接交于点， ， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：取点，连接交于点， ， ， ， ， ． 故点即为所求． 21. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； （3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 【答案】（1）80；5.5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）结合函数图像求解即可． （2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图像上，利用待定系数法求解即可． （3）结合函数图像分段讨论即可． 【小问1详解】 解：乙车的行驶速度为：（千米／小时） 甲车的速度为：（千米／小时）， 则， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解， 故． 故答案为：80；5.5 【小问2详解】 解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为， 把点代入，得： ， 解得：， 则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：， 解得， 根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5， ∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置， 且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时， 则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间， 乙车到达目的地的时间为：， 故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时）， 综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时） 22. 【问题呈现】数学兴趣小组利用一副三角板进行实验探究活动．若在与中，，，，点D在线段上，、分别交边，于点E、F若将绕点D旋转，则在旋转过程中点A、E、D、F共圆． 【问题解决】证明过程如下： 证明：如图①，连接，取中点O，连接、． 证明过程缺失 点A、E、D、F在以点O为圆心为半径的圆上． 补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图②，若将绕点D旋转，使得，连接，直接写出的度数__________． 【拓展提升】如图③，若点D为中点，连接、交于点Q，下列结论正确的是__________（填序号）①；②；③若，则四边形周长的最小值为4；④． 【答案】 [问题解决]证明：如图①，连接，取中点O，连接、． ， ， ， 点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上； [结论应用] [拓展提升] ①③ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． [问题解决]根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半及圆的定义即可证明； [结论应用] 利用[问题解决]中的结论，根据同弧所对的圆周角相等即可得结论； [拓展提升] 利用[问题解决]中的结论，根据同弧所对的圆周角相等，证明， 可逐个判断每个说法，即可选出正确的． 【详解】[问题解决]略 [结论应用] 解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示： ， ，， ， ， 故答案为：； [拓展提升] 解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示： ，①正确； ， ，②错误； ，， ， ， 点D为中点， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形周长， 当时， 最小，四边形的周长最小， ，此时，， 四边形周长的最小值为4，③正确； ，④错误； 综上所述，正确的是：①③， 故答案为：①③． 23. 如图，在矩形中，，，连结 ，点E为 上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、． （1）__________； （2）当点Q落在上时，__________； （3）当时，求此时的长； （4）当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积法，正确画出图形，利用分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理即可解答； （2）根据对称的性质可得点Q落在上时，，即可求得； （3）分两种情况，即点在下或点在上，利用解直角三角形和等腰直角三角形的性质分别求解即可； （4）分两种情况，即点在下或点在上，利用轴对称的性质，用面积法分别求解即可． 【小问1详解】 解： 四边形为矩形， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 作点B关于的对称点Q， 当点落在上时，， ， ， 作点B关于的对称点Q， ， ， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：当点在下方，如图，过点作交于点， 根据对称可得， ， ， ， ，， ， 则， ， ， ； 当点在上方，如图，过点作交于点， 同上述原理可得， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 综上所述，当时，为或； 【小问4详解】 解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况， ①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 根据折叠可得为的平分线， 根据角平分线的性质可得点 到的距离等于点 到的距离为， 则，即， ； ②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点， 则，， 根据勾股定理可得，， 根据上述面积法原理可得， 设，则， 可得方程， 解得， 经检验是原方程的解， 即； 当点落在上时，为等腰三角形，此时， 当点落在上方时，整个或线段落在矩形内部， ， 为等腰三角形， 当点落在 上时，此时不存在三角形，， ∴， 综上，或或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点、，与 轴交于点，点为抛物线的顶点．点 在抛物线上，其横坐标为 ． （1）求该拋物线对应的函数表达式及顶点的坐标； （2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求点 的坐标； （3）过点 作轴画线，交直线于点．平面内有一点，连结． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出 的取值范围； ②当点 不与点重合时，直接写出和面积相等时 的值． 【答案】（1），； （2）或； （3）①或② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，得到； （2）先求出，设，得到点 在点的下方，分两种情况讨：当点 在点的右侧时，在之间的部分最高点为，当点 在点的左侧时，在之间的部分最高点为；分别求出 的值，得到点 的坐标为或； （3）①将代入抛物线的表达式，解方程，结合图像即可得出 的取值范围；②分点 在点左侧，在之间，在下方三种情况结合图象分别求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与轴交于点、， ，解得， 抛物线的函数表达式为； ， ； 【小问2详解】 解：令，则， ， 设， ， 抛物线开口向下，最高点为， 点 在点的下方， 当点 在点的右侧时，在之间的部分最高点为 ， 解得：或（舍去）， ； 当点 在点的左侧时，在之间的部分最高点为， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述，点 的坐标为或； 【小问3详解】 解：①如图所示： 当落在抛物线上且点 在 轴左侧时， 此时 有最小值，当点与点重合时 有最大值， 由题意得， 解得，， 当线段与抛物线有公共点时， 的取值范围为：或； ②过点作交 轴于点，作于点，过点 作交 轴于点，作于点，设直线交 轴于点， ， ， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， 设直线为，代入，， 得，， 解得， ， ， 设直线为， ， ， ， ， 可得直线为，直线为， 将代入，得，， ， ， ， 即， 将代入，得， ， ， ， ， 解得(舍去)； 当点 在之间时，如图所示： 的高大于的高， 当点 在点下方时，如图所示： 的高大于的高， 综上所述，当和面积相等时 的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的综合，线段问题，面积问题，涉及三角形相似的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知相关性质，做到数形结合，分类讨论是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 净月高新区2024-2025学年度下学期模拟练习 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 长春冰雪新天地是一个大型冰雪主题乐园，园区面积156万平方米，包括7大主题区域，200余座冰雕雪塑，数据156万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（） A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 6. 某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板 的长度为米，此时太阳能板顶端离地面 的垂直高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，双曲线与矩形的边 交于点 ，且，交 于点．若四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式∶_____． 10. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 11. 一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则________（填“”，“”或“”）． 12. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点 、 、都在格点上，、 分别与网格线交于点、 ，则 的长为___________． 13. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当 与水平桌面的夹角为 时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 14. 已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙两名同学报名参加学校图书馆的志愿者活动，他们将被随机分配到四个不同的图书区域：文学区（A），科普区（B），历史区（C），艺术区（D）进行整理书籍的工作，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率． 17. 为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？ 红枣 小米 规格／（kg/袋） 1 2 成本／（元／袋） 40 38 售价／（元／袋） 60 54 18. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，四边形的面积为24，则________． 19. 其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示： （1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________； （2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”） （3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中，作的中线 ； （2）在图2中，在上找一点E，使： （3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接 ，并在线段上找到一点Q，连接，使． 21. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式； （3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时． 22. 【问题呈现】数学兴趣小组利用一副三角板进行实验探究活动．若在与中，，，，点D在线段 上，、分别交边 ，于点E、F若将绕点D旋转，则在旋转过程中点A、E、D、F共圆． 【问题解决】证明过程如下： 证明：如图①，连接，取中点O，连接、． 证明过程缺失 点A、E、D、F在以点O为圆心为半径的圆上． 补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图②，若将绕点D旋转，使得，连接 ，直接写出的度数__________． 【拓展提升】如图③，若点D为 中点，连接 、交于点Q，下列结论正确的是__________（填序号）①；②；③若，则四边形周长的最小值为4；④． 23. 如图，在矩形中，，，连结 ，点E为 上一点，且，点P为 上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、． （1）__________； （2）当点Q落在 上时，__________； （3）当时，求此时的长； （4）当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点、，与 轴交于点，点为抛物线的顶点．点 在抛物线上，其横坐标为 ． （1）求该拋物线对应的函数表达式及顶点的坐标； （2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求点 的坐标； （3）过点 作轴画线，交直线 于点．平面内有一点，连结． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出 的取值范围； ②当点 不与点重合时，直接写出和面积相等时 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $