2025年高考数学复习之数列单元复习卷

2025高考数学之数列单元复习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知数列，则是这个数列的（ ） A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 【答案】C 【分析】根据题意，令，求得的值，即可得到答案. 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 2.等比数列的前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出时的通项公式，代入即可得到结论. 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 3.已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A.0 B.10 C.15 D.30 【答案】C 【分析】利用等差数列的等差中项结合前项和公式求解即可. 【详解】因为所以 又因为 故选：C. 4.在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 5.在等差数列中，是其前项和，且，则正整数为（ ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和为的二次函数，由对称性可得，计算即可. 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及， 可得，解得. 故选：D. 6.已知等比数列的公比为，前项和为.则下列说法中错误的是（ ） A.数列是摆动数列 B. C. D.成等比数列 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求解. 【详解】对于A，等比数列的公比为，， 数列是摆动数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，公比为，，无法构成等比数列，故D错误. 故选：D. 7.若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ） A.k一定大于0 B.，，可能构成等比数列 C.若，，则为5的倍数 D. 【答案】C 【分析】特殊值法判断A，根据等差数列通项公式计算求解结合已知判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，D. 【详解】A.取，则，，为等比数列，，故A错误. B.，与公差，矛盾，故B错误. C.为5的倍数，故C正确. D.，故D错误. 故选：C. 8.已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A.8 B.9 C.11 D.10 【答案】D 【解析】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出， 令，即可得到满足不等式的最小整数. 【详解】解：由题意可知：， 即，即， 又，， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ，即， ， ， 则，即， 又， 满足不等式的最小整数，即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知数列的前项和为，，，则（ ） A.数列是等比数列 B. C. D.数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 10.已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. B.是公差为1的等差数列 C.数列的前2025项和为 D.数列的前项和 【答案】AB 【分析】根据与的关系求解即可得出A项；化简可得出，根据等差数列的定义即可判断B项；求和可得出，然后利用分组求和法即可判断C项；代入化简可得出，用裂项求和法即可得出结果，即可判断D项. 【详解】对于A项，当时，； 当时，有. 检验当时，满足. 综上所述，.故A正确； 对于B项，由已知可得， 显然当时，都有. 所以，是公差为1的等差数列.故B正确； 对于C项，由A知，. 则. 所以，数列的前2025项和为.故C错误； 对于D项，由已知可得， 所以，. 故D错误. 故选：AB. 11.对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ） A.等差数列是“线性数列” B.等比数列是“线性数列” C.若且，则 D.若且，则是等比数列的前项和 【答案】AB 【分析】对A，B根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C；设且，可判断D错误. 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故A正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故B正确； 设，则，解出， 则，因此，故错误； 若且，则， 数列的前项和为0，显然D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知为等差数列，其公差，且成等比，则______________. 【答案】420 【分析】由成等比，可求出；可以看成以为首项，8为公差的等差数列，则由等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意，成等比，得，则， 代入，解得或，因为，所以， 则， 所以可以看成以为首项，8为公差的等差数列， 所以. 故答案为：420. 13.已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式，再结合递推思想，即可求出范围. 【详解】由等差数列的前项和公式可得：， 由是中的唯一最小项，则， 即，解得， 故答案为：. 14.数列的首项为，且，，则______. 【答案】 【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）求下列数列的通项公式及前项和. （1）若等差数列满足，； （2）若等比数列满足，. 【答案】（1）， （2）， 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再利用公式求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再利用公式求出通项公式与前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，. （2）设等比数列的公比为， 因为，所以，所以， 则. 16.（15分）已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 17.（15分）已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）利用递推关系式构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；根据题意可推导出数列为等差数列，按照定义写出其通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，，首项为， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 由题意得，，且， 所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由题意，， 所以， 则， 两式相减可得， ， 所以. 18.（17分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和，并求证：. 【答案】（1）， （2），证明见解析 【分析】（1）由已知条件可列出关于的三元一次方程组，由此可求得，的通项公式； （2）由（1）可求得的通项公式，再利用裂项相消法可求得，利用放缩法即可证明. 【详解】（1）因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为， 由已知条件可得，，， 则有，解得， 故，； （2）由（1）可知， 则， 因为，所以，故； 又由，得，即数列单调递增，故， 综上，可得，证毕. 19.（17分）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列. （1）若数列为数列的偶数列，求. （2）若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列. （3）在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以. （2）在区间内的偶数为，则. 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3）依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学之数列单元复习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知数列，则是这个数列的（ ） A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 2.等比数列的前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 3.已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A.0 B.10 C.15 D.30 4.在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5.在等差数列中，是其前项和，且，则正整数为（ ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 6.已知等比数列的公比为，前项和为.则下列说法中错误的是（ ） A.数列是摆动数列 B. C. D.成等比数列 7.若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ） A.k一定大于0 B.，，可能构成等比数列 C.若，，则为5的倍数 D. 8.已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A.8 B.9 C.11 D.10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知数列的前项和为，，，则（ ） A.数列是等比数列 B. C. D.数列的前项和为 10.已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. B.是公差为1的等差数列 C.数列的前2025项和为 D.数列的前项和 11.对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ） A.等差数列是“线性数列” B.等比数列是“线性数列” C.若且，则 D.若且，则是等比数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知为等差数列，其公差，且成等比，则______________. 13.已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是______. 14.数列的首项为，且，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）求下列数列的通项公式及前项和. （1）若等差数列满足，； （2）若等比数列满足，. 16.（15分）已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 17.（15分）已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 18.（17分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和，并求证：. 19.（17分）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列. （1）若数列为数列的偶数列，求. （2）若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列. （3）在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$