东北三省2025-2026学年高三上学期数学高考单元检测示范卷（人教A版选择性必修第一册 第一章）

东北三省2025~2026学年度上学期高考单元检测示范卷数学 选择性必修第一册人教A版（第一章） 中 (本卷满分150分) 出 一、进择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.在空间四边形PABC中，PA+AB-CB= A心 BPA CAB D.AC 雲 2.已知A(一1.2,3)，则点A关于Oxy平面的对称点的坐标是 A(-1.-2,3) B(1,-2,3) C（-1,2,-3) D.(1.2.3) 3.如图，在正三枚台ABC-A,B,C中，AC=2A,C,P为A,B,的中点，Q为PC的中点，设AB=a,AC b.A,=c,则AQ= A+2+c Ca+ib+ie D.gt片b+c 内 4.空问向量a=(2,0,2)在b=(0:1.1)上的投影向屉为 英 A(合0，) a(竖o号) c(o,) D.(0,1,1) 5.若平面。的一个法向为n=(2,1,一1)，平面L平面a,则平面的法向量的坐标可以是 A(4,-2,2) B(-1,1,-1) C(4.2,-2) D.(-2,-1,-1) 6.已知正方体ABCD-A:B1C,D1的快长为2，且调足DE=xDA+yDC+:DD1且x十y+z=1,则 灯 |D的最小值是 号 a2厘 3 c号 D号 7.在三校锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,三角形ABC的重心为G,则 点P到直线AG的距离为 留 号 a写 c2厘 17 D.②② 17 8.在直三枚住ABC-A1B1C中，CA=2√2.CB=2,∠BCA=90',M是A,B1的 中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空何直角坐标系，若A,B⊥CB,则异 面直线CM与A:B夹角的余弦值为 23 莽 A晋 B- 7 C- 【单元检测示范卷·败学 第1页（共4页）选乐性必修馆一册人放A版】 二，选择题，本题共3小团，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得郎分分，有选铝的得0分. 9.以下四个命题中正动的是 A空何的任何一个向征都可用其它三个向量表示 B若{a,b,c为空问向量的一组基底，则a,b,c全不是罗向量 C纵坐标为0的向量都共面 D.任何三个不共线的向量都可构成空何向量的一个基底 10.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,一1，一4)，AD=(4,2,0),AP= (一1,2，一1)，则下列结论正确的有 AAP⊥BC BBP与平面ABCD的夹角的余弦值为 ? CAP是平面PBC的一个法向量 D.AP∥BD 11.如图，在枚长为2的正方体ABCD-A,BC1D,中，E,F分别为BB,CC的中点，G是线段B,C,上 的一个动点，则 A点G到平面AEF的距商为 B直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范西为[零，罗] C若线段AA,的中点为H,则GH一定平行于平面AEF D,四面体A5FRG的体积为3学 选择员告题栏 题号 1 2 3 6 8 9 10 11 选项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12如果空间中A(1,5,一2)，B(2,4,1).C(3,3,a)三点共线，则a= 13.已知(a,b,c)是空间向量的单位正交基底，{a十b,a一b,2c1是空间向量的另一个基底，若向量p在基 底(a+b,a一b,2c)下的坐标是(1,2,3)，则向量p在基底{a,b,c)下的坐标是 14如图，在三校锥O-ABC中，点G为底面△ABC的亚心，点M是线段OC上盘近点G的三每分点，过 点M的平面分别交OA,OB,0C于点D,E,F,若Oi=k.O元=mOi.O示=nO元.则生+六+ 【单元枪测示范老·数学 奶2页共页)运乐性必修知一量人效A可 四、解俗题：本妇共5小通，共77分、解答应写出文字识明、正明过租取演算也原。 15.(本小题调分13分) 已如向量a-(1,2,2),b=(一2,1，一1). (1)求a·b1 (2)求I2a-bl1 (3)若a⊥(a+b)Q∈R),求实数λ的值. 16(本小酉涧分15分) 在长方体ABCD-,B,CD,中，已知DA=DC=4,DD,=3,连接，B.B,C,A,C,如图.建立空问直 角坐标系， (1)在四中标出点E(22,是)的位亚1 (2)RA1B与B1C的坐标1 (3)求向量A,C在平面ABCD上的投向量的坐标 17.(本小题丽分15分) 如田，三校柱ABC-A,B,C,的所有校长都是2，M,⊥平面ABC,M为AB的中点.N为CC,的 中点 (I)证明，直线MN∥平面ABC, (2)求平面ABC与平面A,BC,夹角的余弦值. 【单元收测示厄在，败学·第3页共页).性乡作奶一府人数Λ版】 18.(木小咀周分17分) 如图，在也长为.2的正方作ABCD-A,BCD,中，E,F分别为？B,C,C,D,的中点，点H为平面 CC,B,内的点. (I)若DH⊥平而ACE,试确定点H的位置， (2)求线B,与平面AEF所介的正张值！ (3)R点D,到平面ACE的距离. 19.(本小题闲分17分) 中国古代数学名弘九章算术)中记哦，“刍形者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，死，尽且也”.目 译为“底面有长有宽为矩形，瓜部布长没有宽为一条也：刍登为茅草层顶”，现将一个正方形折经成一 个“刍是”，如图1，E,F,G分别是正方形的三边AB,CD,AD的中点，先沿疳线段FG将守履直角三 角形FDG掉，耳将利下的五边形ABCFG沿线段EF折起，连接AB,QG皖得到了一个“刍亚”， 如图2. 田1 因2 (I)若O是四边形EBCF对h线的交点，求证：AO∥平面GCF: (2)若三面角A-EF-B的大小为号，求直线AB与平面GCF所成角的正弦位 【单元性甜示范壮·败学 邻页共页)选择进必一后人A 进择性必修第一田 数学 LA叭+砧-d-劢-志+花-花故这入 2C点A关于Qo平因的对你点的尘保的将正是ry不变，x变为机反数，所以从A关于Qy平面的对你点的坐标还 (-1.2.-3).故这C 1B由题盘可0-d+P-+之成-不+市-叶片，à-之花+之市之b+之(+) -言a+之叶之c放这B LD由区意0ab-281一E.则向量a在b上的设型向量为品·b-(01D,放法D 5B因为平面月L平面a,所以这两个平面的法向盘扣互亚业.因为平面。的一个法向量为(2,1，一1)，设平面的一个挂 向量为xy,乐以(2.l.一1)·(xyx一2+y一x■0.所以向量(-1,1.一1D是平面B的-个法向量.故法且 6A由题盘8DE=x时+yD芯+(1-一y)DD.:D-D可x(DM-D可)+y D, (D-D可)，即D,E=xD,入+yDC.由共面向盘定理0.D,E,A.C四点共面.即点 E在平面D,AC上，1D正1的最小值为点D到平面D,AC的距离.以D为原点建立如 因所示的空何直角坐标系.则D(0,0,0),A(2,0.0).C(0,2,0).D(0,0,2),C= (-2.2.0),D=(-2.02),DA=(2.0,0),设平面D,AC的法向盘n=(xy,则 D 220取=1，.点D月平面D,AC的E离-l可-后-29. -2x+2xe0. 回1正1的量小血为9故选入 7.D如田所示以P为原点，PA,PB,PC所在直战为x抽，y轴，x轴速立空间直见坐标系， P00.0)1.0.0,B020).C0.0.3,则G(号号，1).Pi-(100),花- (号子)盐所死附a墨为克产。意-2孕，么P到G的E青 IG匝 17 九√-（平可-做这n EA汉M-BB1=0C=a(a>0).则A1(22,0,a).B(0,2,0).C(0.0,0).B(0,2a),A1B=(-22,2.-a).C可- 0.2.a).四为1C可，所以(-22,2，一u)·(0,2a)=0,即4-a'=0.解f得a=2(负含).故八(22,0,2)，B1(0,2. 2.则M512).-1,2,m-(22,-2,2.o,m-: 4-2+4 1趴7“2++，8+市 产一识a入 9.BC空阿的任何一个向量也可以用其他三个不共西的向盘农示，人中包略了基底丝须为三个“不共面的向盘”这个限例 条件，位A特议：者引a,b,小为空问向量的一组需底，用三者巾任盘网个压不共找，故任何一个都不能为子向盘，选项B 正确以坐尔为0的向盘都在平图O:y中，所以品共西.故达项C正确：任三个不共面的向量可均边空阿向量的一个 底，三个向盘不共战时可饱具面，故Dn以.做速汇 10.山BCD是平行w边形.心-入花-(42.0)，-(-1,2，-1).山.元--4+4-0，币⊥元.即P⊥ BC,A正确1A巾，市~-2-2+4-0，币L本，泸⊥武，则是平面BCD的庄向屉.即AP⊥平面BCD.PB 在平图ABcD冉的影力D,成--市-(3.-3，-3，aP与平通BcD的夹角为∠PA,o∠PaA-铝- 流-二哥-号.B正确市.币-3-6+340.不是平国P8c的向量，Cm讽1币 IP√+(-3)+(-3) b-i=(23,4),市=(-1,2，-1)，币-1i无解，/b不成立，D说故选AB 1L.AC如图，以A,为鱼标原点，AB,AD,A分别为xy.:轴.企立2可直0空标 系.则A(0.0.2),E(2.0,1).F(2,2,1),A,(0.0,0),设G(2,a,0),a∈C0.2].可正 -(2,0,-1),EF=(0,2.0),A花=(2a,-2),设平固EF的生向血n(xyx),则 n…E-2r-x=0, n…萨-2y-0。”令-1.则y0-2,所以(10：2为平面AEP的个法向 量：对于人点G到平国AEF的距离为店斗-华放人正周，对千B,设直故 AG与平图r所破为0e[告]可得血-la应l:帚5[吾] 2 所以直战AG与平面EF所这角的正弦血的取值范田为[零，罗]，所以直盟MG与子西AF所盘角的余三位 的取值花国为[2，震]放B讽对于C,由圆意可知H6001,则元-2，-1)，可得a…元-2×1 +X0+(一1)X2-0,可知m⊥花.且GH位平面EF,所以GH一定平行于子面AEF,放C正司：对于D.由画豆 知AE=厅.所以四西体AEFC的体职为时×5××2X5=号，故D始说放这AC 124因为A(1,5,-2),B(2+,1).C(33,a).所B=(1.-1,3).AC=(2.-2a+2).由A.B.C三点共战.则有店 与心共线.所以子二子=时，屏0at 13.(3,一1.6)因为向量p在基底(a十b,a一b,2c)下的坐标是(1.2,3).可0p=(a+b)÷2(a一b)+3×2c=3a一片 6c,所以向量p在基底(a,b,c下的坐标是(3.一1.6). L是由题包可知.o丽-号成-号ai+心)=号[@i+号×号（恋+心]-子@+}o-ai)+ 子芯-Oi)]-号i+号成+号元因为D.E,F,M四点共面，所以存在实数…使成-1呢÷知求.所u O-可苑-1(o苑-Ob)+μu(可F-Ob),所以ai-(1-1-r)Ob+aOE+=OF=(1-1-kai+mO站+ 1-4-=号 m交.所以n-号 所以++片-21--+2+号 a-号. 15解，(1)由题意，a·b=1×(-2)+2×1+2X(-1)=-2 3分 (2)由a=(1.2,2).b=(-2.1.-1),日2a-b=(4.3,5). 则|2a-bl口√16+9+25=52. ,7分 (3)由a⊥(a十b),0a·(a+b)▣0， 则a·a+a·b-0.即9-21=0， 解犯人口号。 13分 1k解，)b画意及田，连设DAC义于点B,周A(22.号)的位仰功所求， …5分 (2D山西如t长方体MCD-A,以CD,DA-DC-4.DD-3, 议1分别为成，元，D元向上的单位向血. -C-DD-V-B-+C=-DD-DA-- -3. 八b-0,-3).DC(-1.0,-3).…… 10分 (3)山区g,(1).(2)及旧0.在长方体ABCD-A.,CD中，DMDC-4.DD-3. 连RAC,向金AC在平田ABCD上的投围内量为 又c-芯+D-Di+D心a-I+. （一，小0).…15分 17.(1)证明，取A,B的中点D,迹找AD交AB于E,述按C,E,CM 在三控世ABC-AB,C中M为B的中点，所以D∥MAME=之M.… …2分 四为N为CC,的中点，所以NG∥L且NG=之M.所以NG∥E且NC,-ME. 所拟因边形CE为平行四边形，所以N∥CE… m5分 又N近子面ABC,CEC干西BC1,所以N∥平面A1BC.…7分 (2)月，四为AC-BCM为B的中点，所以C⊥AB,因为M!⊥平面ABC,MD M,乐以DL平面BC,所以A,MD,MC两两垂直， Hr为低点A.D,C所在直战分别为x轴，y轴.x轴，迹立如旧所示的空阿直 角空标系s.则L(1.2.0),B(-1.0.0).C1(0,25).所以B▣(2.2.0). B记(1,2.……9分 a·M=0,2x+2y=0. 平西人BC的一个法向量为n(xy,x),则 nBC-0.+2y3==0. 取y5.则x厅=1.所以m=(5,5,1). …13分 又a-o1,0里平面8c的-个法向量，所以1aam1-得-耳. 故平面ABc和平西A,BG完角的余弦位为牙， 4415分 1R屏，(1)以点D为全标既点.DA,DC,DD.所在线分别为x轴y轴，x触迹立如田所示的空 同直A坐系.聪12.0.0).Q0,2,0).E(1,2.2),D(0,0,2). 国为点H在子百BCB,内.不坊设H(a,2,b),则Di=(a,2,b-2), 花=(-22,0).正a(-1,22).…3分 D,i.花=0.I-2a+4=0. 因为DH⊥平西ACE,所以 即 D方.店-0.-a+4+26-2)=0. 朝月/-2 5分 1l 所以H(2.2.1),曰点H坟段BB1的中九 6分 (由1)8B(2,2,2),F01,2,所可-(0,2.2).E=(-122),F=(-21,2).…8分 设一x,x为平固F的一个齿向盘，周 a·E-0 0g+22-0今=2,0m=2,-2,3. n.厅-0.1-2+y+2x-0. 4*4**4”】0分 设直A山与平国AEF所政的m为0，时 血g1a,瓜1-分登与一票直说仙与平酒所盘角的正发血 漂 6n0 FF00489840441000805844000神te00年种nae*标e (3)山(1)可知.D方=(2,2，-1)为平固ACE的-个止向量，违坊D,E,得DEa(1.2.0). 所以么n到平ACE的E商d-回正，面-12X1+2x-2 ID,川√+2+币 …17分 19.(I)证明，取战段CF的巾点H,连接OH.GH,如图， 山田1可知，网边形ECF是把形AC=之EF,0线段CE的中点、一2分 ∴OH//EF OH=zEF, 又AG/EF且nG=Er, .AG∥OH且AG=OH, ∴.四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG. 6分 由于AOt平面CCF,HGC平面CCF, .AO∥平面GCF. 7分 (2)屏：由田l,EF上AE,EF⊥BE,折起后在田2中仍EF⊥AE,EF⊥BE, ∠八EB即为二西角A-EF-B的平画角∴EB=号， =9分 以E为坐标原点，范正分别为x轴和y轴正向速立交问直加坐标系E-x,如田， 设CB=2EB=2EA=4,则B(2,0,0),F(0.4.0),A(-1.03). 花花++花-花++求-(-1.-2)，i=(-3,0).元=范-(200. 一11分 设平面CCFE的法向盘n=(xy,). 代-rnin 取y3,则=2， 于是平面CCF的一个法向量n口(0月，2)，-… 一15分 om,航-：盛-25=互. lnll82x√77 直线B与平西CCF所成m的正弦值为号. -17分