2025年高考数学复习之等差数列

2025高考数学之等差数列 一、目录（按住ctrl点击标题可跳转对应位置） 二、等差数列的相关题型 1 题型一、等差数列的定义与相关公式 1 题型二、等差数列的判定方法 2 题型三、等差数列的下标和性质 3 题型四、等差数列的最值问题 3 题型五、等差数列的前项和性质 4 题型六、等差数列的简单应用 5 三、巩固提升 6 二、等差数列的相关题型 题型一、等差数列的定义与相关公式 例1.由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（ ） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 例2.数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 变式训练2.在数列中，，，则数列是（ ） A.公差为的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为的等差数列 D.不是等差数列 变式训练3.已知数列满足，，则__________. 变式训练4.在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A. B. C.3 D. 变式训练5.在数列中，，则18是数列中的（ ） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 变式训练6.已知数列满足，是公差为4的等差数列，若，，则的通项公式为______. 题型二、等差数列的判定方法 例1.已知数列满足递推关系，则（ ） A. B. C. D. 例2.数列满足，则_________. 变式训练1.记数列的前项和为，，，则（ ） A.0 B.12 C.15 D.20 变式训练2.已知数列的前项和为，，若，则（ ） A.5 B.7 C.9 D.17 变式训练3.已知数列中，，，（，），则______. 变式训练4.已知数列的前n项和公式为，则数列（ ） A.是公差为2的等差数列 B.是公比为2的等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 变式训练5.已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 变式训练6.等差数列的前项和是，若，则实数__________. 题型三、等差数列的下标和性质 例1.已知在等差数列中，，，则等于（ ） A.-2 B.4 C.6 D.8 例2.已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A.72 B.108 C.120 D.144 变式训练1.等差数列的公差为2，且，则（ ） A.17 B.19 C.21 D.23 变式训练2.等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A.36 B.30 C.20 D.18 变式训练3.在等差数列中，若，则的值为（ ） A.18 B.15 C.12 D.9 变式训练4.若等差数列满足，则（ ） A.1 B. C.4 D.2 变式训练5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A.12 B.16 C.20 D.22 变式训练6.设等差数列的公差为，若，，则（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 变式训练7.已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 变式训练8.设为等差数列的前n项的和，若，则______. 题型四、等差数列的最值问题 例1.已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例2.设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ） A.4 B.5 C.4或5 D.5或6 例3.已知数列为等差数列，且，则的最小值为______. 变式训练1.已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 变式训练2.数列的前项和，则取最大值时的值为（ ） A. B.2 C. D.4 变式训练3.已知公差不为0的等差数列中，，，则使其前项和取得最大值的正整数的值为（ ） A.11或12 B.6或7 C.10或11 D.5或6 变式训练4.已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式训练5.已知数列满足，则数列的前项和为取最小值时，的值=_____. 变式训练6.设等差数列的前项和为，且，则当最大时，（ ） A.1010 B.1011 C.1012 D.1013 变式训练7.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 变式训练8.已知为等差数列前项和，若，且，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 题型五、等差数列的前项和性质 例1.设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A.12 B.18 C.24 D.25 例2.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A.﹣4040 B.﹣2024 C.2024 D.4040 例3.已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A.75 B.65 C.50 D.55 变式训练2.已知数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 变式训练3.等差数列与的前项和分别为、，且，则（ ） A.2 B. C. D. 变式训练4.已知等差数列的前n项和为，若，则______. 变式训练5.设等差数列的前项和分别为，若，则__________. 变式训练6.等差数列，的前项和分别为，，且，则________. 变式训练7.在等差数列中，，其前项和为，则___________. 题型六、等差数列的简单应用 例1.已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（ ） A.21 B.39 C.41 D.43 例2.现需要把粗细均匀的100根圆木排成5层梯形形状，由上至下从第二层起，每层比上一排层多5根，则最上面一层的圆木根数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 变式训练1.现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（ ） A.107钱 B.102钱 C.101钱 D.94钱 变式训练2.在集合中，被除余的元素共有多少个？（ ） A.99 B.100 C.101 D.102 变式训练3.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ） A.磅 B.磅 C.磅 D.磅 变式训练4.一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 三、巩固提升 1.已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 2.已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）且，求数列的前2n项和. 3.已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 4.已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求. （2）求数列的通项公式. （3）设，求数列的前项和. 5.已知数列满足，. （1）求； （2）记为的前项和，求的最小值及此时的值. 6.已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值. 7.记为等差数列的前项和.已知. （1）求的通项公式； （2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和. . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学之等差数列 一、目录（按住ctrl点击标题可跳转对应位置） 二、等差数列的相关题型 1 题型一、等差数列的定义与相关公式 1 题型二、等差数列的判定方法 4 题型三、等差数列的下标和性质 7 题型四、等差数列的最值问题 10 题型五、等差数列的前项和性质 14 题型六、等差数列的简单应用 18 三、巩固提升 20 二、等差数列的相关题型 题型一、等差数列的定义与相关公式 例1.由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（ ） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 【答案】C 【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列是公差为2d的等差数列. 故选：C 例2.数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式可求. 【详解】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 变式训练1.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C，不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 变式训练2.在数列中，，，则数列是（ ） A.公差为的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为的等差数列 D.不是等差数列 【答案】B 【分析】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【详解】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 变式训练3.已知数列满足，，则__________. 【答案】 【分析】变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得到答案. 【详解】由变形为， 等式两边同除以得，， 故为公差为的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 变式训练4.在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A. B. C.3 D. 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义，化简方程，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由，则，解得. 故选：D. 变式训练5.在数列中，，则18是数列中的（ ） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由，得数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，而满足该式，故， 令，解得， 所以18是数列中的第5项. 故选：C. 变式训练6.已知数列满足，是公差为4的等差数列，若，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】先根据递推关系求得，然后利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】已知，，则，解得 ，解得，所以. 因为是公差为4的等差数列，根据等差数列通项公式， 可得. 故答案为： 题型二、等差数列的判定方法 例1.已知数列满足递推关系，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用取倒数法先求数列通项，再结合等差数列的概念求特定项即可. 【详解】因为， 所以，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：D. 例2.数列满足，则_________. 【答案】 【分析】首先根据递推公式变形得到，再根据等差数列的定义求数列的通项公式，变形后求的值. 【详解】由题意，易知， 由，两边取倒数得，即， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 所以，即， 则. 故答案为：. 变式训练1.记数列的前项和为，，，则（ ） A.0 B.12 C.15 D.20 【答案】A 【分析】根据题意，可得为等差数列，利用等差数列的性质求解. 【详解】由，即， 所以数列为等差数列， 又，即，则， . 故选：A. 变式训练2.已知数列的前项和为，，若，则（ ） A.5 B.7 C.9 D.17 【答案】C 【分析】先根据条件判断数列是等差数列，再根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解. 【详解】因为，所以数列是等差数列， 由，得， 所以. 故选：C 变式训练3.已知数列中，，，（，），则______. 【答案】 【分析】根据题意可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式分析求解. 【详解】因为，且， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则，可得， 所以. 故答案为：. 变式训练4.已知数列的前n项和公式为，则数列（ ） A.是公差为2的等差数列 B.是公比为2的等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 【答案】A 【分析】利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项. 【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列. 故选：A 变式训练5.已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】B 【分析】推导出数列是等差数列，由解得，由此利用能求出的值. 【详解】数列的前项和为，且， 数列是等差数列，， ，解得， ，， ，解得. 故选：B 变式训练6.等差数列的前项和是，若，则实数__________. 【答案】3 【分析】由与的关系转化求出，由也符合求得的值. 【详解】因为， 当时，， 因为是等差数列，所以当时，也符合上式，故； 故答案为：3 题型三、等差数列的下标和性质 例1.已知在等差数列中，，，则等于（ ） A.-2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【分析】利用等差数列性质求出公差及指定项. 【详解】在等差数列中，，解得，公差， 所以. 故选：C 例2.已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A.72 B.108 C.120 D.144 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式，计算即可得结果. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：D. 变式训练1.等差数列的公差为2，且，则（ ） A.17 B.19 C.21 D.23 【答案】C 【分析】应用等差数列的性质及已知求值即可. 【详解】由等差数列知. 故选：C 变式训练2.等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A.36 B.30 C.20 D.18 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B. 变式训练3.在等差数列中，若，则的值为（ ） A.18 B.15 C.12 D.9 【答案】D 【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【详解】在等差数列中，， 则. 故选：D. 变式训练4.若等差数列满足，则（ ） A.1 B. C.4 D.2 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，则， 所以. 故选：A. 变式训练5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A.12 B.16 C.20 D.22 【答案】D 【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解； 【详解】由，可得：， 所以， 又， 故选：D 变式训练6.设等差数列的公差为，若，，则（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D 变式训练7.已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 变式训练8.设为等差数列的前n项的和，若，则______. 【答案】42 【分析】设等差数列的首项为，公差为，由可得，根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质即可计算求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：42. 题型四、等差数列的最值问题 例1.已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 例2.设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ） A.4 B.5 C.4或5 D.5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为，故. 故选：A. 例3.已知数列为等差数列，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值. 故答案为： 变式训练1.已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简，即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得. 则 故当取得最小值时，的值是6. 故选：A. 变式训练2.数列的前项和，则取最大值时的值为（ ） A. B.2 C. D.4 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质计算可得. 【详解】对于函数对称轴为，开口向下， 所以当时函数取得最大值， 所以当时取得最大值. 故选：B 变式训练3.已知公差不为0的等差数列中，，，则使其前项和取得最大值的正整数的值为（ ） A.11或12 B.6或7 C.10或11 D.5或6 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论，当时利用等差数列的求和公式结合二次函数的基本性质可求得取得最大值时的的值 【详解】当时，由可得，且等差数列单调递增，不存在； 当时，则数列为单调递减数列， 由可得，则， 所以，则， ， 所以，当或时，取得最大值. 故选：D 变式训练4.已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由，可得，，再结合前项和公式与二次函数性质求解即可. 【详解】由题，，解得， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 变式训练5.已知数列满足，则数列的前项和为取最小值时，的值=_____. 【答案】4 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案. 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 变式训练6.设等差数列的前项和为，且，则当最大时，（ ） A.1010 B.1011 C.1012 D.1013 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 所以， 则数列是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列， 故当最大时，， 故选：C 变式训练7.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求. 【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，， 若，则， 若，，则，有， . 故选：D 变式训练8.已知为等差数列前项和，若，且，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据等差数列性质可得，所以前9项和最大. 【详解】在等差数列中，易知； 所以，即， 所以数列为递减数列，且前9项和最大，当最大时，的值为. 故选：C 题型五、等差数列的前项和性质 例1.设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A.12 B.18 C.24 D.25 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得. 故选：B. 例2.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A.﹣4040 B.﹣2024 C.2024 D.4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列. ，， 则数列的公差，首项为， ，. 故选：B. 例3.已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 变式训练1.已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A.75 B.65 C.50 D.55 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】由等差数列前项和的性质得：成等差数列， ，即， 解得. 故选：A. 变式训练2.已知数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 变式训练3.等差数列与的前项和分别为、，且，则（ ） A.2 B. C. D. 【答案】C 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，，从而得到. 【详解】因为与均为等差数列， 所以，， 则. 故选：C. 变式训练4.已知等差数列的前n项和为，若，则______. 【答案】36 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 变式训练5.设等差数列的前项和分别为，若，则__________. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式可得出，然后即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 变式训练6.等差数列，的前项和分别为，，且，则________. 【答案】 【分析】利用等差数列项的性质和前项和公式计算即得. 【详解】由可得：， 则. 故答案为：. 变式训练7.在等差数列中，，其前项和为，则___________. 【答案】110 【分析】构造，可知是以2为首项，1为公差的等差数列，求出的通项公式，即可求得，进而求得. 【详解】解：由题知为等差数列，记数列， 所以，由，可知， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：110 题型六、等差数列的简单应用 例1.已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（ ） A.21 B.39 C.41 D.43 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和公式可得结果. 【详解】由题意得，从前到后，每一排的座位数构成等差数列，公差， 因为， 所以. 故选：A. 例2.现需要把粗细均匀的100根圆木排成5层梯形形状，由上至下从第二层起，每层比上一排层多5根，则最上面一层的圆木根数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【分析】借助等差数列求和公式即可求. 【详解】由题意，由上至下圆木每层的根数成等差数列，设为， 则，， 所以， 所以. 故选：B 变式训练1.现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（ ） A.107钱 B.102钱 C.101钱 D.94钱 【答案】C 【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的钱数为数列，等差数列的公差为d， 依题意得即解得 所以，故丁有101钱. 故选：C. 变式训练2.在集合中，被除余的元素共有多少个？（ ） A.99 B.100 C.101 D.102 【答案】B 【分析】依题意被除余的元素有，，，…，，再根据等差数列的通项公式计算可得. 【详解】因为集合中，被除余的元素有，，，…，， 这些元素构成以为首项，以为公差的等差数列， 设共有个数，则，解得， 故这些元素共有个. 故选：B 变式训练3.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ） A.磅 B.磅 C.磅 D.磅 【答案】D 【分析】结合题意，利用等差数列的性质计算即可得. 【详解】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为， 则由题意可得，即， 整理可得，又，即， 即有，即，即最小的1份为磅. 故选：D. 变式训练4.一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 【答案】 【分析】计算出最后一辆车出发的时间，即可计算出最后一辆车共行驶的时长. 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 三、巩固提升 1.已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据，求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2），求出，由函数单调性知，只需求出的最大值，配方得到其最大值，得到答案. 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得 ，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增， 所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为， 所以的最大值为. 2.已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）且，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）是等比数列，由已知条件求出，进而可求得的通项公式； （2）由（1）知，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， 所以， 所以 3.已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法计算可得； 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. （2）因为， 所以 . 4.已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求. （2）求数列的通项公式. （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解； （2）利用韦达定理可直接得到； （3）利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得， 于是有，则， 故，则； （2）由（1）知，故， 由根与系数关系知； （3）由（2）得， 所以 5.已知数列满足，. （1）求； （2）记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2）或13， 【分析】（1）根据题意求出公差，利用等差数列的通项公式列方程求； （2）根据等差数列求和公式写出的表达式，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 6.已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 7.记为等差数列的前项和.已知. （1）求的通项公式； （2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和. 【答案】（1）； （2）487 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）列举法表示，得到的前20项，并分组求和，得到答案. 【详解】（1）设公差为， 由题意得， 解得， 故； （2）， ， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$