39 等差数列重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 39 等差数列重难点专题 常考结论及公式 结论一：等差数列通项公式及其推广 （1）若等差数列 na 的首项是 1a ，公差为d ，则其通项公式为 1 ( 1)na a n d= + − ； （2）通项公式的推广： ( )n ma a n m d= + − ； （3）数项数公式： 1 1n a a n d − = + ； （4）特别说明，若数列 na 的通项公式是 na kn b= + （ ,k b为常数），则数列 na 一 定是等差数列，且公差为 k . 结论二：等差数列的前 n项和公式及其变形 （1） 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + ； （2） 1 ( ) 2 n n n a a S + = ； （3） 2 2 1( ) 2 2 n d d S n a n An Bn= + − = + （ A B、 为常数且 0A  ）. 结论三：等差数列 na 的性质 （1）若 *( , , , )m n p q m n p q N+ = +  ，则 m n p qa a a a+ = + ，特别地，若 2p q m+ = 时，则有 2p q ma a a+ = ； （2）若等差数列 na 的前n项和为 nS ，则 2 3 2, , ,k k k k kS S S S S− − 成等差数列； （3）若下标成等差数列，则相应的项也成等差数列，即 2, , ,k k m k ma a a+ + *( , )k m N 成等差数列； （4）若 1 0a  ， 0d  ，则 nS 存在最大值；若 1 0a  ， 0d  ，则 nS 存在最小值； （5）等差数列 na 的单调性：当 0d  时， na 是递增数列；当 0d = 时， na 是常 数列；当 0d  时， na 是递减数列； （6）若等差数列 na 共有2 1n − 项，则 2 1 (2 1)n nS n a− = − ；若等差数列 na 共有2n项， 则 2 1( )n n nS n a a += + ； （7）若 2 nS An Bn== + （ A B、 为常数且 0A  ），则数列 na 是等差数列，其中 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 2d A= . （8）在等差数列 na 中，前n项和为 nS ，则 nS n       也是等差数列； （9）若数列 na 和 nb 均为等差数列，则 n na b + （ , R  ）也是等差数列， 当数列 na 和 nb 的前n项和为 nS 和 nT 时，则 2 1 2 1 m m m m S a T b − − = . 结论三：等差数列的判断与证明方法 （1）定义法：证明 1n na a c+ − = （ c为常数）； （2）中项公式法：利用 * 1 12 ( 2, )n n na a a n n N− += +  来判断； （3）通项公式法：若 na kn b= + ，则数列 na 是等差数列； （4）前 n项和公式法：若 2nS An Bn== + （ A B、 为常数且 0A  ），则数列 na 是 等差数列. 题型一 等差数列的判断与证明 【例 1】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边 上，且 * 1 1 2 2, ,n n n n n nA A A A A A n N+ + + +=   ， * 1 1 2 2, ,n n n n n nB B B B B B n N+ + + +=   . （P Q P Q 表示点 与 不重合） 若 1n n n n n n nd A B S A B B += ， 为 的面积，则（ ） A．{ }nS 是等差数列 B． 2{ }nS 是等差数列 C．{ }nd 是等差数列 D． 2{ }nd 是等差数列 【跟踪训练 1】已知数列 na 共有 5 项，满足 1 2 3 4 5 0a a a a a     ，且对任意 i 、 (1 5)j i j   ，有 i ja a− 仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（ ） A．数列 na 中一定存在一项为 0； 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 B．存在1 5i j   使得 i jia ja= ； C．数列 na 一定是等差数列； D．集合  ,1 5i jA x x a a i j= = +   ∣ 中元素个数为 15． 题型二 等差数列与函数的结合问题 【例 2】已知函数 ( )f x 是定义在 R上的单调递减函数,且 ( )f x 为奇函数,数列 na 是等 差数列, 1008 0a  ,则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2015f a f a f a f a+ + + + 的值为（ ） A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为 0 D．可正可负 【跟踪训练 2】设等差数列 na 的前n项和记为 nS 满足 ( ) ( ) 5 1008 10081 2016 1 1a a− + − = ， ( ) ( ) 5 1009 10091 2016 1 1a a− + − = − ，则（ ） A． 2016 2016S = ， 1008 1009a a B． 2016 2016S = − ， 1008 1009a a C． 2016 2016S = ， 1008 1009a a D． 2016 2016S = − ， 1008 1009a a 题型三 等差数列单调性的应用问题 【例 3】（多选）已知数列 na 的前n项和 2 8 3nS n n= − + + ，则（ ） A．数列 na 的通项公式 9 2na n= − B．数列 na 单调递减 C．数列 2na 的所有项中第四项或第五项最小 D．数列 na 的前 n项和 ( ) 2 2 8 3, 4 19 4 , 5 n n n n T n n − + +  =  + −  【跟踪训练 3】已知数列 na 的前 n项和为 nS ，对于任意的 *nN 都有 2 1n nS S n++ = ，若  na 为单调递增的数列，则 1a 的取值范围为（ ） A． 1 1 , 2 2   −    B． 1 1 , 3 3   −    C． 1 1 , 4 4   −    D． 1 1 , 4 3   −    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 等差数列中递推关系综合问题 【例 4】已知数列 na 中， 1 1a = 且 * 1 3 ( ) 3 n n n a a n N a + =  + ，则 16a 为（ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【跟踪训练 4】已知数列 na 的前n项和为 nS ， 1 15a = ，且满足 ( ) ( ) 212 5 2 3 4 16 15n nn a n a n n+− = − + − + .则 ma 取最小值时，m取值为（ ） A．4 B．8 C．9 D．10 题型五 等差数列前 n项和问题 【例 5】（多选）已知数列 na 为等差数列，若 9 8 1 a a  − ，且数列 na 的前 n项和 nS 有 最大值，则下列结论正确的是（ ） A． na 中的最大值为 8a B． nS 的最大值为 8S C． 17 0S  D． 16 0S  【跟踪训练 5】（多选）已知数列 na ， nS 为 na 的前n项和，其中 1 1010a = − ， 1 3, 1, n n n a n a a n + + =  − 为奇数 为偶数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 1n na a ++ 是等差数列 B． 2 1na − 是等差数列 C． 2021 2021S = D． 2022 3033S = 题型六 等差数列中的最值问题 【例 6】设数列 na 满足 1 1a = ， 2 2 1 2n na a −= + ， 2 1 2 1n na a+ = − ， *nN ，则满足 4na n−  的 n的最大值是（ ） A．7 B．9 C．12 D．14 【跟踪训练 6】等差数列 na 的前 n项和为 nS ,且 1 0a  ， 50 0S = .设 ( ) * 1 2n n n nb a a a n N+ +=  ， 则当数列 nb 的前n项和 nT 取得最大值时, n的值为（ ） A．23 B．25 C．23 或 24 D．23 或 25 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型七 等差数列的实际应用问题 【例 7】图 1 是第七届国际数学教育 大会（简称 ICME­7）的会徽图案，会 徽的主体图案是由如图 2 所示的一连 串直角三角形演化而成的，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A= = == = ，如 果把图 2 中的直角三角形继续作下去，记 1 2, , , nOA OA OA 的长度构成的数列为  na ，由此数列的通项公式为 na =（ ） A．n B． n C． 1n+ D． 1n + 【跟踪训练 7】有一个三人报数游戏：首先A 报数字 1，然后 B报两个数字 2、3，接下 来C报三个数字 4、5、6，然后轮到A 报四个数字 7、8、9、10，依次循环，直到报出 10000，则A 报出的第 2020 个数字为（ ） A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对 题型八 等差数列中的创新问题 【例 8】（多选）下表为森德拉姆(Sundaram，1934)素数筛法矩阵，其特点是每行每列 的数均成等差数列，下面结论正确的是（ ） 4 7 10 13 16 19 …… 7 12 17 22 27 32 …… 10 17 24 31 38 45 …… 13 22 31 40 49 58 …… 16 27 38 49 60 71 …… 19 32 45 58 71 84 …… …… …… …… …… …… …… …… A．第 3 行第 10 列的数为 73 B．第 2 行第 19 列的数与第 6 行第 7 列的数相等 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 C．第 13 行中前 13 列的数之和为 2626 D．200 会出现在此矩阵中 【跟踪训练 8】已知数列{ }na 的前n项和为 nS ，且 ( 1)( )n nS n a n ( )*nN ． (1)求 1 2,a a ，并求数列{ }na 的通项公式； (2)若数列{ }nb 满足 1 ,1 10 4 , 11 n n n n a n b n a a −    =    ，求数列{ }nb 前n项的和 nT ． 课后突破训练 1．已知数列 na 的前n项和为 nS ，满足 1 1a = ， 1 1n nS S+ − = ，则 na =（ ） A．2 1n − B．n C．2 1n D． 12n− 2．直线 1y = 与函数 π ( ) 2sin 2 6 f x x   = −    的图像在 y轴右侧交点的横坐标从左到右依次 为 1 2 na a a、 、 、 ，下列结论：① π 2cos2 3 f x x   − = −    ；② ( )f x 在 π 5π , 6 12       上是减函数； ③ 1 2 na a a、 、 、 为等差数列；④ 1 2 12 34πa a a+ + + = ．其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．设等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，公差为d ，已知 1 0a  ， 5 17S S= ，则 A． 11 0da  B． 12 0da  C． 1 12 0a a  D． 1 11 0a a  4．设数列 na 的前 n项和为 nS ，当n N 时， na ， 1 n 2 + ， 1na + 成等差数列，若 2020nS = ， 且 2 3a  ，则 n的最大值为（ ） A．63 B．64 C．65 D．66 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 5．已知两个等差数列 na 和 nb 的前 n项和分别为 nA 和 nB ，且 7 45 3 n n A n B n + = + ，则 7 7a b = （ ） A． 93 10 B． 17 2 C． 143 17 D．15 6．已知数列 na 为等差数列， 1( *)na n N  , 1 2019a a+ =1，若 2 ( ) 1 x f x x = − ，则 1 2 2019( ) ( ) ( )f a f a f a  ＝（ ） A．−22019 B．22020 C．−22017 D．22018 7．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，下列条件中，① 2 17na n= − ；② 16 0S = ；③ 16 0S  且 17 0S  ，使得 8na a 对任意正整数n都成立的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（多选）已知数列 na 的前n项和 nS 满足 ( ) 2 1 4 1n nS S n+ + = + ，下列说法正确的是（ ） A．若首项 1 1a = ，则数列 na 的奇数项成等差数列 B．若首项 1 1a = ，则数列 na 的偶数项成等差数列 C．若首项 1 1a = ，则 15 477S = D．若首项 1a a= ，若对任意 *nN ， 1n na a + 恒成立，则a的取值范围是 ( )3,5 9．已知数列 na 满足 1 1a = ， ( ) * 1 3n na a n n+ + = − N ，记数列 na 的前n项和为 nS ，若 192nS = − ，则n =__________. 10．数列1, ,1, , ,1, , , ,1, , , , ,1, , ,x x x x x x x x x x x 其中在第n个 1 与第 1n+ 个 1 之间插入n 个 x，若该数列的前 2020 项的和为 7891，则 x =________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 11．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 nS n       是以 9− 为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列 na 的通项公式； (2)求数列 na 的前n项和 nT . 12．已知首项为 4 的数列 na 满足 1 1 2 2 1 n n n na a n + + + = + ． (1)证明：数列 2 n n na      是等差数列． (2)求数列 na 的通项公式，并求数列 na 的最小项． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 39 等差数列重难点专题 常考结论及公式 结论一：等差数列通项公式及其推广 （1）若等差数列 na 的首项是 1a ，公差为d ，则其通项公式为 1 ( 1)na a n d= + − ； （2）通项公式的推广： ( )n ma a n m d= + − ； （3）数项数公式： 1 1n a a n d − = + ； （4）特别说明，若数列 na 的通项公式是 na kn b= + （ ,k b为常数），则数列 na 一 定是等差数列，且公差为 k . 结论二：等差数列的前 n 项和公式及其变形 （1） 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + ； （2） 1 ( ) 2 n n n a a S + = ； （3） 2 2 1( ) 2 2 n d d S n a n An Bn= + − = + （ A B、 为常数且 0A  ）. 结论三：等差数列 na 的性质 （1）若 *( , , , )m n p q m n p q N+ = +  ，则 m n p qa a a a+ = + ，特别地，若 2p q m+ = 时，则有 2p q ma a a+ = ； （2）若等差数列 na 的前n 项和为 nS ，则 2 3 2, , ,k k k k kS S S S S− − 成等差数列； （3）若下标成等差数列，则相应的项也成等差数列，即 2, , ,k k m k ma a a+ + *( , )k m N 成等差数列； （4）若 1 0a  ， 0d  ，则 nS 存在最大值；若 1 0a  ， 0d  ，则 nS 存在最小值； （5）等差数列 na 的单调性：当 0d  时， na 是递增数列；当 0d = 时， na 是常 数列；当 0d  时， na 是递减数列； （6）若等差数列 na 共有2 1n − 项，则 2 1 (2 1)n nS n a− = − ；若等差数列 na 共有2n项， 则 2 1( )n n nS n a a += + ； （7）若 2 nS An Bn== + （ A B、 为常数且 0A  ），则数列 na 是等差数列，其中 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 2d A= . （8）在等差数列 na 中，前n 项和为 nS ，则 nS n       也是等差数列； （9）若数列 na 和 nb 均为等差数列，则 n na b + （ , R  ）也是等差数列， 当数列 na 和 nb 的前n 项和为 nS 和 nT 时，则 2 1 2 1 m m m m S a T b − − = . 结论三：等差数列的判断与证明方法 （1）定义法：证明 1n na a c+ − = （ c 为常数）； （2）中项公式法：利用 * 1 12 ( 2, )n n na a a n n N− += +  来判断； （3）通项公式法：若 na kn b= + ，则数列 na 是等差数列； （4）前 n 项和公式法：若 2nS An Bn== + （ A B、 为常数且 0A  ），则数列 na 是 等差数列. 题型一 等差数列的判断与证明 【例 1】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边 上，且 * 1 1 2 2, ,n n n n n nA A A A A A n N+ + + +=   ， * 1 1 2 2, ,n n n n n nB B B B B B n N+ + + +=   . （P Q P Q 表示点 与 不重合） 若 1n n n n n n nd A B S A B B += ， 为 的面积，则（ ） A．{ }nS 是等差数列 B． 2{ }nS 是等差数列 C．{ }nd 是等差数列 D． 2{ }nd 是等差数列 【答案】A 【详解】 nS 表示点 nA 到对面直线的距离（设为 nh ）乘以 1n nB B + 长度的一半， 即 1 1 2 n n n nS h B B += ，由题目中条件可知 1n nB B + 的长度为定值， 那么我们需要知道 nh 的关系式， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 由于 1, nA A 和两个垂足构成了直角梯形， 那么 1 1 sinn nh h A A = +  ， 其中 为两条线的夹角，即为定值， 那么 1 1 1 1 ( sin ) 2 n n n nS h A A B B += +  ， 1 1 1 1 1 1 ( sin ) 2 n n n nS h A A B B+ + += +  ， 作差后： 1 1 1 1 ( sin ) 2 n n n n n nS S A A B B+ + +− =  ，都为定值，所以 1n nS S+ − 为定值．故选 A． 【跟踪训练 1】已知数列 na 共有 5 项，满足 1 2 3 4 5 0a a a a a     ，且对任意 i 、 (1 5)j i j   ，有 i ja a− 仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（ ） A．数列 na 中一定存在一项为 0； B．存在1 5i j   使得 i jia ja= ； C．数列 na 一定是等差数列； D．集合  ,1 5i jA x x a a i j= = +   ∣ 中元素个数为 15． 【答案】D 【分析】根据题意对任意 i， (1 5)j i j ，有 i ja a− 仍是该数列的某一项，因此  0 na ， 由于  4 5 4 na a a a− =  ， 4( 0)a  ，可得 3 4 4a a a− = ，即 3 42a a= ，以此类推可得： 2 43a a= ， 1 44a a= ．分析选项即可判断出结论． 【详解】根据题意：对任意 i， (1 5)j i j ，有 i ja a− 仍是该数列的某一项， 0i ia a − = ， 当 5 0a = 时， 则  4 5 4 na a a a− =  ， 4( 0)a  ． 必有 3 4 4a a a− = ，即 3 42a a= ， 而 2 3 3a a a− = 或 4a ， 若 2 3 3a a a− = ，则 2 4 43a a a− = ，而 4 33a a ， 4a ， 5a ，舍去； 若  2 3 4 na a a a− =  ，此时 2 43a a= ， 同理可得 1 44a a= ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 可得数列{ }na 为： 44a ， 43a ， 42a ， 4a ， 40( 0)a  ； 据此分析选项：易得A 、 B 、C 正确； 对于 D、集合 { | i jA x x a a= = + ， 41 5} {8i j a= ， 47a ， 46a ， 45a ， 44a ， 43a ， 42a ， 4a ， 40( 0)}a  中共有 9 个元素，D错误； 故选：D 【点睛】本题考查数列的递推公式，涉及等差数列的性质、新定义，考查了分析问题与 解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题． 题型二 等差数列与函数的结合问题 【例 2】已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的单调递减函数,且 ( )f x 为奇函数,数列 na 是等差 数列, 1008 0a  ,则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2015f a f a f a f a+ + + + 的值为（ ） A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为 0 D．可正可负 【答案】A 【解析】根据等差数列得到 1 2015a a − ，利用函数性质得到 ( ) ( )1 2015 0f a f a+  ，同理得 到答案. 【详解】 1 2015 10082 0a a a+ =  则 1 2015a a − ， 根据函数单调性和奇偶性得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2015 2015 1 2015, 0f a f a f a f a f a − = −  +  同理得到 ( ) ( )2 2014 0f a f a+  ， ( ) ( )3 2013 0f a f a+  ，… 故 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2015 0f a f a f a f a+ + + +  故选：A 【点睛】本题考查了等差数列和函数性质的综合应用，意在考查学生的综合应用能力. 【跟踪训练 2】设等差数列 na 的前n 项和记为 nS 满足 ( ) ( ) 5 1008 10081 2016 1 1a a− + − = ， ( ) ( ) 5 1009 10091 2016 1 1a a− + − = − ，则（ ） A． 2016 2016S = ， 1008 1009a a B． 2016 2016S = − ， 1008 1009a a C． 2016 2016S = ， 1008 1009a a D． 2016 2016S = − ， 1008 1009a a 【答案】C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【详解】构造函数 ( ) 5 2016f x x x= + ，则 ( )f x 是奇函数，且在 ( ),− + 上递增， ( ) ( ) ( )1008 1009 10091 1 1f a f a f a− = − − = − ， 1008 1009 1008 10091 1, 2a a a a − = −  + = ，所以 1 2016 1008 1009 2016 2016 2016 2016 2 2 a a a a S + + =  =  = ，由 ( ) ( )1008 10091 1f a f a−  − ，得 1008 1009 1009 10081 1 ,a a a a−  −   ，故选 C. 题型三 等差数列单调性的应用问题 【例 3】（多选）已知数列 na 的前n 项和 2 8 3nS n n= − + + ，则（ ） A．数列 na 的通项公式 9 2na n= − B．数列 na 单调递减 C．数列 2na 的所有项中第四项或第五项最小 D．数列 na 的前 n 项和 ( ) 2 2 8 3, 4 19 4 , 5 n n n n T n n − + +  =  + −  【答案】BCD 【分析】利用 2n  时 1n n na S S −= − 可判断 AB；求出 2 na 可判断 C；分 4n  、 4n  求出 nT 可判断 D. 【详解】当 1n = 时， 1 1 01 8 3 1= = − + + =a S ， 当 2n  时， ( ) ( ) ( ) 22 1 8 3 1 8 1 3 2 9− −= − − + + − − − = += + −n n na S S n n n n n ， 2 1 9 7−  + = ，故 1 10a = 不符合此式， 所以 2 9 10, 1 , 2 = =  − +  n n n n a ，故 A 错误； 由于 1 10a = ， 2 5a = ，当 2n  时， 2 9na n= − + 是单调递减的， 所以数列 na 是单调递减数列，故 B 正确； 当 1n = 时， 2 1 100=a ， 当 2n  时， ( ) 2 22 99 2 2 2   = − = −    n n na ，即 4n = 或 5n = 时 2 2 1 12 2 2   =  =    na 最小， 故 C 正确； 当 1n = 时， 1 10a = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 当 2n  时， 2 9na n= − + ，可得 2 3 4 55, 3, 1, 1== = = −a a a a ， 所以 4n  时， 2 8 3= − + +nT n n ， 4 19=T ， 5n  时， ( ) ( ) 2519 4 19 4 2 + = − − = + −nn a a T n n ， 所以数列 na 的前n 项和 ( ) 2 2 8 3, 4 19 4 , 5 n n n n T n n − + +  =  + −  ，故 D 正确. 故选： BCD. 【跟踪训练 3】已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，对于任意的 *nN 都有 2 1n nS S n++ = ，若  na 为单调递增的数列，则 1a 的取值范围为（ ） A． 1 1 , 2 2   −    B． 1 1 , 3 3   −    C． 1 1 , 4 4   −    D． 1 1 , 4 3   −    【答案】C 【分析】根据数列的递推关系求出 2 2n na a+ − = ，根据 na 为单调递增的数列，则只要满 足 1 2 3 4a a a a   ，即可，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】 对于任意的n N 都有 2 1n nS S n++ = ，① ( ) 2 1 2 1n nS S n+ + + = + ，② ②-①得 ( ) 2 2 1 2 = 1 2 1n na a n n n+ ++ + − = + ，③ 则当 2n  时， 1 2 1n na a n++ = − ，④ ③-④得 2 2n na a+ − = ，也就是当 2n  时，隔 2项成等差数列，公差为2 .  na 为单调递增的数列 只要保证 1 2 3 4a a a a   可以保证整个数列单调递增. 当 1n = 时， 1 1 2 1a a a+ + = ，即 2 11 2a a= − ， 当 2n = 时， 1 2 1 2 3 4a a a a a+ + + + = ，即 1 2 32 2 4a a a+ + = ， 则 3 1 2 14 2 2 2a a a a= − − = + ， 4 2 12 3 2a a a= + = − ， 代入 1 2 3 4a a a a   ，得 1 1 1 11 2 2 3 2a a a a −  +  − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 即 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 a a a a a a  −  −  +  +  − ，即 1 1 1 1 3 1 4 1 4 a a a      −     ，即 1 1 1 4 4 a−   ， 即 1a 的取值范围为 1 4  −  ， 1 4    故选：C 【点睛】运用数列常用公式 1( 2)n n na S S n−= −  求解递推关系，判断数列性质，有一定 难度. 题型四 等差数列中递推关系综合问题 【例 4】已知数列 na 中， 1 1a = 且 * 1 3 ( ) 3 n n n a a n N a + =  + ，则 16a 为（ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【答案】A 【分析】采用倒数法可证得数列 1 na       为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到 na ， 代入 16n = 即可. 【详解】由 1 3 3 n n n a a a + = + 得： 1 31 1 1 3 3 n n n n a a a a+ + = = + ，又 1 1 1 a ， 数列 1 na       是以1为首项， 1 3 为公差的等差数列， ( ) 1 1 2 1 1 3 3n n n a +  = + − = ， 3 2 na n  = + ， 16 1 6 a = . 故选：A. 【跟踪训练 4】已知数列 na 的前n 项和为 nS ， 1 15a = ，且满足 ( ) ( ) 212 5 2 3 4 16 15n nn a n a n n+− = − + − + .则 ma 取最小值时，m 取值为（ ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】结合已知条件可得{ } 2 5 na n− 是等差数列，进而求出{ }na 的通项公式，然后根据 通项公式的特征即可求解. 【详解】因为 ( ) ( ) ( )212 5 2 3 4 16 15 2 3 (2 3)(2 5)n n nn a n a n n n a n n+− = − + − + = − + − − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 所以 1 1 2 3 2 5 n na a n n + − = − − ， 因为 1 15a = ，则 1 5 2 1 5 a = −  − ， 所以{ } 2 5 na n− 是首项为 5− ，公差为 1 的等差数列， 从而 5 ( 1) 1 6 2 5 na n n n = − + −  = − − ，即 (2 5)( 6)na n n= − − ， 从而易知，数列{ }na 中仅有 3a ， 4a ， 5a 为负， 因为 3 3a = − ， 4 6a = − ， 5 5a = − ， 所以 ma 取最小值时， 4m = . 故选：A. 题型五 等差数列前 n项和问题 【例 5】（多选）已知数列 na 为等差数列，若 9 8 1 a a  − ，且数列 na 的前 n项和 nS 有 最大值，则下列结论正确的是（ ） A． na 中的最大值为 8a B． nS 的最大值为 8S C． 17 0S  D． 16 0S  【答案】BD 【分析】根据题意判断d 的正负，对选项逐一判断 【详解】等差数列 na 的前 n项和 nS 有最大值，则有 0d  ，又 9 8 1 a a  − ，故 8 90, 0a a  ， 且 8 9 0a a+  对于 A： na 中的最大值为 1a ，故 A 错误 对于 B： 8 90, 0a a  ， nS 的最大值为 8S ，故 B 正确 对于 C： 17 917 0S a=  ，故 C 错误 对于 D： 16 1 16 8 98( ) 8( ) 0S a a a a= + = +  ，故 D 正确 故选：BD 【跟踪训练 5】（多选）已知数列 na ， nS 为 na 的前n 项和，其中 1 1010a = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 1 3, 1, n n n a n a a n + + =  − 为奇数 为偶数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 1n na a ++ 是等差数列 B． 2 1na − 是等差数列 C． 2021 2021S = D． 2022 3033S = 【答案】ABD 【分析】由题可得 12 1 2n n n na aa a+ + += + ++ ，进而可得 na 的奇数项是首项为 1 1010a = − ， 公差为 2 的等差数列， na 的偶数项是首项为 2 1007a = − ，公差为 2 的等差数列，可判 断 AB，然后通过求和公式计算可判断 CD. 【详解】设 n为奇数，则 1n+ 是偶数， 2n + 是奇数，则 1 3n na a+ = + ，① 2 1 1n na a+ += − ，② ①+②得： 12 1 2n n n na aa a+ + += + ++ ，即 2 2n na a+ = + ， 所以 na 的奇数项是首项为 1 1010a = − ，公差为 2 的等差数列， 同理 na 的偶数项是首项为 2 1007a = − ，公差为 2 的等差数列， 故 A，B 正确； 所以 ( ) ( )2021 1 3 5 2021 2 4 6 2020S a a a a a a a a= + + ++ + + + ++ ( ) ( ) ( )1011 1011 1 1010 1010 1 1010 1011 2 1007 1010 2 2020 2 2  −  − = −  +  + −  +  = ， 故 C 错误； 又 2022 2 2022 2 1 1013 2 a a   = + − =    ， ∴ 2022 2021 2022 2020 1013 3033S S a= + = + = ，故 D 正确. 故选：ABD. 题型六 等差数列中的最值问题 【例 6】设数列 na 满足 1 1a = ， 2 2 1 2n na a −= + ， 2 1 2 1n na a+ = − ， *nN ，则满足 4na n−  的 n 的最大值是（ ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 【解析】根据数列 na 满足的条件,讨论 n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对 值不等式即可求得满足条件的n 的最大值. 【详解】数列 na 满足 1 1a = , 2 2 1 2n na a −= + , 2 1 2 1n na a+ = − 2 3a = 则 2 1 2 1 1n na a+ −− = 则当 n奇数时, 1 2 n n a + = 所以 4na n−  ,代入可得 1 4 2 n n + −  ,解不等式可得 7 9n−   而 *nN ,所以此时n 的最大值是 9 则当 n偶数时, 2 2 n n a = + 所以若 4na n−  ,代入可得 2 4 2 n n+ −  ,解不等式可得 4 12n−   而 *nN ,所以此时n 的最大值是 12 综上可知, n 的最大值是 12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不 等式的解法,属于中档题. 【跟踪训练 6】等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 1 0a  ， 50 0S = .设 ( ) * 1 2n n n nb a a a n N+ +=  ， 则当数列 nb 的前n 项和 nT 取得最大值时, n 的值为（ ） A．23 B．25 C．23 或 24 D．23 或 25 【答案】D 【分析】先依据条件知等差数列 na 的前 25 项为正数，从第 26 项起各项都为负数，所 以可以判断 nb 的前 23 项为正数， 24b 为负数， 25b 为正数，从第 27 项起各项都为负数， 而 24 25 0b b+ = ，故 nb 的前n 项和 nT 取得最大值时，n 的值为 23 或 25． 【详解】 1 500, 0a S = ， 等差数列 na 的公差 0d  ， 且 ( ) ( )1 5050 25 26 50 25 0 2 a a S a a + = = + = 则 25 260, 0a a  ，且 25 26a a= ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 由 ( )1 2n n n nb a a a n N+ + +=  ，知 nb 的前 23 项为正数， 24b 为负数， 25b 为正数，从第 27 项起各项都为负数， 而 24b 与 25b 是绝对值相等，符号相反，相加为零， 23 25T T = ，之后 nT 越来越小， 所以数列 nb 的前n 项和 nT 取得最大值时, n 的值为23,25，故选 D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求数列前 n 项和取最值的判断方法． 题型七 等差数列的实际应用问题 【例 7】图 1 是第七届国际数学教育 大会（简称 ICME­7）的会徽图案，会 徽的主体图案是由如图 2 所示的一连 串直角三角形演化而成的，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A= = == = ，如 果把图 2 中的直角三角形继续作下去，记 1 2, , , nOA OA OA 的长度构成的数列为  na ，由此数列的通项公式为 na =（ ） A．n B． n C． 1n+ D． 1n + 【答案】B 【分析】由几何关系得 2 2 1 1n na a −= + ， 1 1a = 即可求出等差数列  2 na 的通项，从而求得 na 的通项. 【详解】由题意知， 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A= = == = ，且 1 2 2 3 7 8, , ,OA A OA A OA A 都 是直角三角形，所以 1 1a = ，且 2 2 1 1n na a −= + ， 所以数列 2na 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ( )2 1 1 1na n n= + −  = ，由 0n na a n  = . 故选：B． 【跟踪训练 7】有一个三人报数游戏：首先A 报数字 1，然后 B 报两个数字 2、3，接下 来C 报三个数字 4、5、6，然后轮到A 报四个数字 7、8、9、10，依次循环，直到报出 10000，则A 报出的第 2020 个数字为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对 【答案】B 【分析】首先分析出A 第n 次报数的个数，得到A 第 n 次报完数后总共报数的个数，计 算出A 是第 0n 次报数中会报到第 2020 个数字，再计算当A 第 0n 次报数时，3 人总的报 数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数 mS ，再推出A 报出的第 2020 个数字. 【详解】由题可得A 第 n *( )n N 次报数的个数为3 2n− ， 则A 第 n 次报完数后总共报数的个数为 [1 (3 2)] (3 1) 2 2 n n n n n T + − − = = ， 再代入正整数 n ，使 2020,nT n 的最小值为 37，得 37 2035T = ， 而A 第 37 次报时，3 人总共报数为36 3 1 109 + = 次， 当A 第109次报完数 3 人总的报数个数为 109(109 1) 1 2 3 109 5995 2 mS + = + + + + = = ， 即A 报出的第 2035 个数字为5995， 故A 报出的第 2020 个数字为5980 . 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析 能力，逻辑推理能力，难度较大. 题型八 等差数列中的创新问题 【例 8】（多选）下表为森德拉姆(Sundaram，1934)素数筛法矩阵，其特点是每行每列 的数均成等差数列，下面结论正确的是（ ） 4 7 10 13 16 19 …… 7 12 17 22 27 32 …… 10 17 24 31 38 45 …… 13 22 31 40 49 58 …… 16 27 38 49 60 71 …… 19 32 45 58 71 84 …… …… …… …… …… …… …… …… 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 A．第 3 行第 10 列的数为 73 B．第 2 行第 19 列的数与第 6 行第 7 列的数相等 C．第 13 行中前 13 列的数之和为 2626 D．200 会出现在此矩阵中 【答案】ABC 【分析】先观察第一列的通项，再得到第n 行的第m 个数是 (2 1)m n m+ + ，从而可判断 ABD，再由第 13 行的首项及公差可判断 C. 【详解】第一列是以 4 为首项，3 为公差的等差数列， 所以第n 行的第一个数是 4 3( 1) 3 1n n+ − = + ， 第一行的公差为 3，第二行的公差为 5，第三行的公差为 7，……第n 行的公差为2 1n ， 所以第n 行的第m 个数是3 1 ( 1)(2 1) (2 1)n m n m n m+ + − + = + + ， 所以第 3 行第 10 列的数为 (2 10 1) 3 10 73 +  + = ，A 正确； 第 2行第 19列的数为 (2 19 1) 2 19 97 +  + = ，第 6行第 7 列的数为 (2 7 1) 6 7 97 +  + = ， B 正确； 第 13 行的第一个数是3 13 1 40 + = ，公差为2 13 1 27 + = ，所以前 13 个数的和为 13 12 13 40 27 2626 2   +  = .，C 正确； 令 (2 1) 200m n m+ + = ，得 200 1 401 ( 1) 2 1 2 2 1 m n m m − = = − + + ，显然无解.，D 不正确. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是得到第n 行的第一个数是3 1n + ，第n 行的公 差为2 1n ，第 n 行的第m 个数是 (2 1)m n m+ + ，考查了学生的观察能力及等差数列的应 用能力. 【跟踪训练 8】已知数列{ }na 的前n 项和为 nS ，且 ( 1)( )n nS n a n ( )*nN ． (1)求 1 2,a a ，并求数列{ }na 的通项公式； (2)若数列{ }nb 满足 1 ,1 10 4 , 11 n n n n a n b n a a −    =    ，求数列{ }nb 前n 项的和 nT ． 【答案】(1) 1 2a = ， 2 4a = ， 2na n= ； (2) 2 * * , 1 10, {1101 1 , 11, 10 n n n n n T n n n +    = −   N N 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【分析】（1）取 1,2n = 可算出 1 2,a a ，将递推关系 ( 1)( )n nS n a n 多列一项后作差，得 到新的关于{ }na 的递推关系即可； （2）分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可. (1) 由题可知， ( )1 1 12 1a S a= = − ，解得 1 2a = ． 在 ( )( 1)n nS n a n= + − 中令 2n = ，得 ( )1 2 2 23 2a a S a+ = = − ，解得 2 4a = ； 因为 ( )( 1)n nS n a n= + − ①，所以  1 1 ( 1) ( 2)n nS n a n n− −= − −  ②， 由①-②得： 1( 1) 2n n na n a na n−= + − − ，即 ( )1 2 0( 2)n nn a a n−− − =  ， 所以 1 2( 2)n na a n−− =  ． 所以数列 na 是首项与公差都为 2 的等差数列， 所以 1 ( 1) 2na a n d n= + − = ． (2) 由题可知，当1 10n  时 2nb n= ， 所以 2 1 2 (2 2 ) 2 n n n b b b n n + + + + = = + ． 当 11n  时 1 4 1 1 1 ( 1) 1 n n n b a a n n n n− = = = − − − ， 所以 11 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 11 11 12 1 10 10 n n b b n n n n −      + + = − + − + + − = − =      −      ， 所以 ( ) ( )1 10 11 10 1101 1 110 10 10 n n n T b b b b n n − = + + + + + = + = − ． 综上： 2 * * , 1 10, , {1101 1 , 11, 10 n n n n n T n n n +    = −   N N ． 课后突破训练 1．已知数列 na 的前n 项和为 nS ，满足 1 1a = ， 1 1n nS S+ − = ，则 na =（ ） A．2 1n − B．n C．2 1n D． 12n− 【答案】A 【分析】由题意可知数列 nS 是公差为 1 的等差数列，先求出数列 nS 的通项公式， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 再利用 na 与 nS 的关系求出 na 即可. 【详解】∵a1 = 1， 1nS + － nS = 1， ∴ nS 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴ 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1nS S n n n= + −  = + −  = ，即 2 nS n= ， ∴ ( ) 22 1 1 2 1n n na S S n n n−= − = − − = − （ 2n  ）. 当 1n = 时， 1 1a = 也适合上式， 2 1na n= − . 故选：A. 2．直线 1y = 与函数 π ( ) 2sin 2 6 f x x   = −    的图像在 y轴右侧交点的横坐标从左到右依次 为 1 2 na a a、 、 、 ，下列结论：① π 2cos2 3 f x x   − = −    ；② ( )f x 在 π 5π , 6 12       上是减函数； ③ 1 2 na a a、 、 、 为等差数列；④ 1 2 12 34πa a a+ + + = ．其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用图像的平移变换、诱导公式、三角函数的整体代换技巧以及正弦函数的图 像与性质、等差数列的概念进行判断求解. 【详解】因为函数 π ( ) 2sin 2 6 f x x   = −    ，所以 π π π 5π 2sin 2( ) 2sin 2 2cos2 3 3 6 6 f x x x x       − = − − = −  −            ， 故①错误； 当 π 5π , 6 12 x       ， π π 2π 2 [ , ] 6 6 3 x−  ，因为 2siny x= 在 π 2π [ , ] 6 3 上不单调，故②错误； 因为 1y = 与 π ( ) 2sin 2 6 f x x   = −    的图像在 y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为 1 2 na a a、 、 、 ， 即 π 2sin 2 1 6 x   − =    ，解得 π π 6 x k= + 或 π π 2 k+ ， Zk ， 因为 0x  ，所以 1 2 42 π π π π , , π, π, 6 2 6 2 a a a a= = + = += ，不是等差数列， 故③错误； 因为 1 2 42 π π π π , , π, π, 6 2 6 2 a a a a= = + = += ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 所以 1 2 12 π π π π π π ( π) ( π) ( 5 π) ( 5 π) 6 2 6 2 6 2 a a a+ + + = + + + + + + + +  + +  π π 6 6 2 (1 2 3 4 5) π 34π 6 2 =  +  +  + + + +  = ，故④正确.故 A，B，D 错误. 故选：C. 3．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公差为d ，已知 1 0a  ， 5 17S S= ，则 A． 11 0da  B． 12 0da  C． 1 12 0a a  D． 1 11 0a a  【答案】B 【分析】用等差数列的前n 项和公式代入分类讨论. 【详解】由 1 5 170,a S S = 得 1 1 5 4 17 16 5 17 2 2 a d a d   + = + 化简： 12 21 0a d+ = ，即 11 12 0a a+ = ， 又因为 1 0a  ，所以 0d  ， 所以 11 12,a a 符号相反. 若 0d  ，则 11 120, 0a a  ， 1 0a  ， 所以 11 0da  ， 12 0da  ， 1 12 0a a  ， 1 11 0a a  ； 若 0d  ，则 11 120, 0a a  ， 1 0a  ， 所以 11 0da  ， 12 0da  ， 1 12 0a a  ， 1 11 0a a  . 综上，故选 B. 【点睛】本题考查等差数列的综合应用. 4．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，当n N 时， na ， 1 n 2 + ， 1na + 成等差数列，若 2020nS = ， 且 2 3a  ，则 n 的最大值为（ ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A 【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出 62S 和 64S ，进而得出结果. 【详解】解：由 na ， 1 n 2 + ， 1na + 成等差数列，可得 1 2 1++ = +n na a n ，n N  则 1 2 3a a+ = ， 3 4 7a a+ = ， 5 6 11a a+ = ， 可得数列 na 中，每隔两项求和是首项为3，公差为4的等差数列. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 则 62 31 30 3 31 4 1953 2020 2 S  =  +  =  ， 64 32 31 3 32 4 2080 2020 2 S  =  +  =  ， 则 n 的最大值可能为63 . 由 1 2 1++ = +n na a n ，n N  ，可得 1 2 2 3+ ++ = +n na a n . ( ) ( ) ( )63 1 2 3 4 5 62 63S a a a a a a a= + + + + + + + 1 5 9 125a= + + + + 1 1 31 30 31 5 4 2015 2 a a  = +  +  = + 因为 1 2 3a a+ = ， 1 23a a= − ， 2 3a  ，即 2 3a−  − ，所以 1 0a  ，则 63 12015 2015S a= +  ，当且仅当 1 5a = 时， 63 2020S = ，符合题意， 故 n 的最大值为63 . 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题. 5．已知两个等差数列 na 和 nb 的前 n项和分别为 nA 和 nB ，且 7 45 3 n n A n B n + = + ，则 7 7a b = （ ） A． 93 10 B． 17 2 C． 143 17 D．15 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式，逆向构造得 7 13 7 13 a A b B = ，从而求出其比 值. 【详解】因为 1 13 7 7 1 13 13 1 137 7 1 13 13 13( ) 2 7 13 45 172 = 13( )2 13 3 2 2 a a a a a a A b bb b b b B + +  + = = = = = ++ + , 故答案选 B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前n 项和公式的应用，属于中档题. 6．已知数列 na 为等差数列， 1( *)na n N  , 1 2019a a+ =1，若 2 ( ) 1 x f x x = − ，则 1 2 2019( ) ( ) ( )f a f a f a   ＝（ ） A．−22019 B．22020 C．−22017 D．22018 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出. 【详解】由题知 ( ) ( ) ( )2 12 1 4 1 xx f x f x x x −  − =  = − − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 ∵数列{an}为等差数列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1， ∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011 2= a1010=1, ∴a1010 1 2 = ∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣22019． 故选 A． 【点睛】本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于 中档题，注意：若{an}为等差数列，且 m+n=p+q,则am n p qa a a+ = + ，性质的应用. 7．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，下列条件中，① 2 17na n= − ；② 16 0S = ；③ 16 0S  且 17 0S  ，使得 8na a 对任意正整数n 都成立的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，分别判断条件. 【详解】① 2 17na n= − ，当 8 1a = − ， 9 1a = ，由等差数列的特征可知， 8 9a a= 是数列 na 的最小值，所以 8na a 对任意正整数n 都成立，故①正确； ② ( )1 16 16 16 0 2 a a S  + = = ，所以 1 16 8 9 0a a a a+ = + = ，即 8 9a a= − ，所以由等差数列的特 征可知， 8 9a a= 是数列 na 的最小值，所以 8na a 对任意正整数n 都成立，故②正 确； ③ ( ) ( )1 1616 8 9 16 8 0 2 a a S a a  + = = +  ， ( )1 17 17 9 17 17 0 2 a a S a + = =  ，所以 8 9 0a a −  ， 即 8 9a a ，所以 8na a 不成立，，故③不成立. 故选：A 8．（多选）已知数列 na 的前n 项和 nS 满足 ( ) 2 1 4 1n nS S n+ + = + ，下列说法正确的是（ ） A．若首项 1 1a = ，则数列 na 的奇数项成等差数列 B．若首项 1 1a = ，则数列 na 的偶数项成等差数列 C．若首项 1 1a = ，则 15 477S = D．若首项 1a a= ，若对任意 *nN ， 1n na a + 恒成立，则a 的取值范围是 ( )3,5 【答案】BCD 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 【解析】根据递推公式，得到 ( )21 24n nS nS n−+ =  ，与已知式子作差，得到 ( )1 4 2 1n na na+ + = + ( )2n  ，同样的方法推出 ( )1 1 8 3n na a n+ − =−  ，再逐项判断，即可得 出结果. 【详解】由 ( ) 2 1 4 1n nS S n+ + = + ①得 ( ) 2 1 24n nS nS n−+ =  ②， ①−②可得 ( ) ( )1 22 41 4 2 14 8 4n na a nn n n+ − = += =+ ++ ( )2n  ③， 所以 ( )( )1 4 2 1 3n n na a n−+ − = ④， ③−④可得 ( )1 1 8 3n na a n+ − =−  ， 因此数列 na 从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差； 若 1 1a = ，即 1 1 1S a= = ，则 ( )2 1 2 4 1 1S S+ = + ，即 2 12 16a a+ = ，所以 2 14a = ； 由 ( )3 2 2 4 2 1S S+ = + 得 3 2 362a S+ = ，则 3 6a = ； 由 ( )4 3 2 4 3 1S S+ = + 得 4 32 64a S+ = ，则 4 22a = ； 所以 3 1 5 8aa − =  ， 4 2 8a a− = ， 因此数列 na 的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即 A 错，B 正确； 此时 ( ) ( )15 1 3 5 15 2 4 14... ...S a a a a a a a= + + + + + + + + ( ) ( ) 3 2 7 7 1 7 7 1 1 7 8 7 8 477 2 2 a a  −  −    = + +  + +  =        ，即 C 正确； 因为 3 7 2 15, , ,..., na a a a + 成公差为8的等差数列， 2 4 8 2, , ,..., na a a a 也成公差为8的等差数列； 为使对任意 *nN ， 1n na a + 恒成立， 只需 1 2 3 4a a a a   ， 若 1a a= ，由 ( )2 1 2 4 1 1 16S S+ = + = ，则 2 16 2a a= − ；由 ( )3 2 2 4 2 1 36S S+ = + = ，可得 23 36 2 4 2a S a= − = + ；由 ( )4 3 2 4 3 1 64S S+ = + = 得 34 64 2 24 2a S a= − = − 所以 4 2 24 216 2a a a a +  − − ，解得3 5a  ，即 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据已知条件，由 ( )1 2n n na S S n−= −  ，得出 ( )1 1 8 3n na a n+ − =−  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 确定数列 na 从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；（求解本题时，要注意n 的范围）. 9．已知数列 na 满足 1 1a = ， ( ) * 1 3n na a n n+ + = − N ，记数列 na 的前n 项和为 nS ，若 192nS = − ，则n =__________. 【答案】16 【分析】根据递推关系式求得数列{ na }的奇数项是首项为 1，公差为﹣3 的等差数列， 偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3 的等差数列，进而求出其 2n项的和，即可求解结论． 【详解】 数列 na 满足 ( ) * 1 11, 3n na a a n n+= + = − N ， 2 4a = − ，且 ( )2 1 3 1n na a n+ ++ = − + ， 2 3n na a+ − = − ， 数列 na 的奇数项是首项为 1，公差为 3− 的等差数列， 偶数项是首项为 4− ，公差为 3− 的等差数列， ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 1 3 4 3 3 192 8 2 2 n n n n n S n n n n − −  = +  − − +  − = − = −  = (负值舍去)， ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 1 3 4 3 3 3 1 192 2 2 n n n n n S n n n n+ + −  = + +  − − +  − = − − + = − ，此时 n无正整 数解， 若 192nS = − ，则 16n = ， 故答案为：16. 10．数列1, ,1, , ,1, , , ,1, , , , ,1, , ,x x x x x x x x x x x 其中在第n 个1与第 1n+ 个1之间插入n 个 x ， 若该数列的前 2020 项的和为 7891，则 x =________. 【答案】4 【分析】当 2n  时，前 n 个 1 之间共有 ( ) ( )1 1 2 ... 1 2 n n n n + + + + + − =   项，可知在第 63 个 1 的后面在跟的第 4 个 x 就是第 2020 项，所以前 2020 项中含 63 个 1，其余的均为 x ， 即得解. 【详解】当 2n  时，前n 个 1 之间共有 ( ) ( )1 1 2 ... 1 2 n n n n + + + + + − =   项， 当 63n = 时，有 63 64 2016 2  = 项， 在第 63 个 1 的后面在跟的第 4 个 x 就是第 2020 项， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 所以前 2020 项中含 63 个 1，其余的均为 x ， 故该数列前 2020 项的和为 ( )63 1 2020 63 7891x + − = 解得 4x = 故答案为：4 【点睛】本题考查了数列求和的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算 的能力，属于中档题. 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nS n       是以 9− 为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列 na 的通项公式； (2)求数列 na 的前n 项和 nT . 【答案】(1) 2 11na n= − (2) ( ) 2 * 2 10 1 5 N 10 50, 5 n n n n T n n n n  −   =  − +  ， 【分析】(1)根据题意求出 2 10nS n n= − ,再由 1n n na S S −= − 即可写出 na 的通项公式； (2)根据 na 的通项公式，找到其正负临界的 n 值，去掉绝对值符号再求和. 【详解】（1）设等差数列 na 的首项为 1a ,公差为d ， 则 ( )9 1 1 10n S n n n = − + −  = − ，所以 2 10nS n n= − 当 2n  时， 2 2 1 10 [( 1) 10( 1)] 2 11n n na S S n n n n n−= − = − − − − − = − 又 1 9a = − 也符合上式， 故数列 na 的通项公式为 2 11na n= − . （2）当 5n  时， 2 11 0na n= −  ，数列 na 的前 n项和 210n nT S n n= − = − ； 当 5n  时， 2 11 0na n= −  ， 数列 na 的前 n项和 ( )1 2 3 4 5 6 7 8n nT a a a a a a a a a= − + + + + + + + + + ( )1 2 3 4 52 na a a a a S= − + + + + + 52 nS S= − + ， 2 22 (25 50) 10 10 50nT n n n n = −  − + − = − + . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 综上所述： ( ) 2 * 2 10 1 5 N 10 50, 5 n n n n T n n n n  −   =  − +  ， 12．已知首项为 4 的数列 na 满足 1 1 2 2 1 n n n na a n + + + = + ． (1)证明：数列 2 n n na      是等差数列． (2)求数列 na 的通项公式，并求数列 na 的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2) ( )1 2n n n a n +  = ；最小项为4 . 【分析】（1）根据题意化简得到 ( ) 111 2 2 n n nn a na + + =−+ ，即 ( ) 1 1 1 2 1 1 2 2 n n n n n a na+ + + − = + ，结合 等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得 ( )1 2n n n a n +  = ，根据 2 1 [( 1) 2] 2 0 ( 1) n n n n a a n n + + −  =  + − ，得到数列 na 为 递增数列，即可求解. （1） 解：因为数列 na 满足 1 1 2 2 1 n n n na a n + + + = + ，即 ( ) 111 2 2 n n nn a na + + =−+ ， 可得 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 2 n nn n n n n n n a n ana na+ + + + + + + =− − = ， 又因为 1 4a = ，可得 1 2 2 a = ， 所以数列 2 n n na      表示首项为2，公差为1的等差数列. （2） 解：数列 2 n n na      表示首项为2，公差为1的等差数列， 可得 2 ( 1) 1 1 2 n n na n n= + −  = + ，所以 ( )1 2n n n a n +  = ， 由 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 1) n n n n n n n n n n n a a n n n n + + + +  +  +  +  = − − − = + + 2 2( 2 1) 2 [( 1) 2] 2 ( 1) ( 1) n nn n n n n n n + −  + −  = = + + ， 当 Nn + 时，可得 2[( 1) 2] 2 0 ( 1) nn n n + −   + ，即 1n na a+  ，所以数列 na 为递增数列， 所以当 1n = 时，数列 na 的最小项为 1 4a = ，即数列 na 的最小项为4 .