精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2025届高三上学期1月期末考试数学试题

绝密★启用前 2025届高中毕业班1月期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 7. 若是奇函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 254 D. 2025 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 三棱锥体积的最大值为1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 当时，函数有2个零点 D. 若，则 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 13. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 14. 如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 17. 某医学研究团队经过研究发现某良性肿瘤与恶性肿瘤的一项医学指标有明显差异，利用该指标可制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为患恶性肿瘤，小于或等于的人判定为患良性肿瘤.此检测标准的漏诊率是将恶性肿瘤判定为良性肿瘤的概率，记为；误诊率是将良性肿瘤判定为恶性肿瘤的概率，记为. （1）若利用临界值进行判定时，随机抽取男女患者各200名进行检验，发现共有11名男性患者出现诊断问题（漏诊或误诊），请完成如下的列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断出现诊断问题是否与性别有关？ 出现诊断问题人数 未出现诊断问题人数 总计 男性人数 11 200 女性人数 总计 36 400 （2）经过大量调查，得到良性肿瘤和恶性肿瘤患者该指标频率分布直方图如下： 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数，求的解析式，并解释取得最小值时临界值的实际意义. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知双曲线上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求直线l的方程； （3）探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 19. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数有两个极值点，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在唯一零点，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025届高中毕业班1月期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算z，再求 【详解】解：因为，所以， 所以，则，所以 故选： 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再结合充要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 由，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 4. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性确定函数的单调区间，再利用二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 若在区间内单调递增，则在区间上单调递减， 故，解得： 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解． 【详解】因为，所以且，所以﹔ 又，所以. 故选：D 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 7. 若是奇函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得到，求出，结合函数的定义域及，求出，进而可得结果即可. 【详解】函数的定义域需满足，即， 又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称，即，解得， 所以定义域为，又，即， 所以，故A正确. 故选：A 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 254 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性和所给等式推出函数的周期，再结合已知区间的函数表达式求出一个周期内函数值的和，最后利用周期计算所给式子的和. 【详解】由是偶函数推出性质， 因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. .. 因为的图象关于直线对称，所以，. . .，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. ， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 三棱锥体积的最大值为1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件计算圆锥底面圆半径及圆锥的高，可得选项A错误，选项B正确；根据棱锥体积公式计算面积最大值可得选项C正确；计算圆锥内切球半径可得选项D正确. 【详解】 ∵，，∴，， ∴圆锥底面圆半径为，. A.圆锥的侧面积为，选项A错误. B.圆锥的体积，选项B正确. C.， 当C为中点时，最大，最大为，故三棱锥体积的最大值为1，选项C正确. D.当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在上， 设内切球球心为，半径为r，则， 过向PB作垂线，垂足为D，则， ∵，∴， ∴，解得，选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，的图象在点处的切线方程是 C. 当时，函数有2个零点 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可判断A，利用导数的几何意义，即可判断B，根据函数的单调性和最值，讨论，即可判断C，构造函数，利用导数判断函数在区间的单调性，可得在区间恒成立，再根据函数的单调性和最值，即可判断D. 【详解】，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的最小值为，故A正确； 当时，，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，故B错误； 由A可知，函数的最小值为，当时，，此时函数没有零点，故C错误； 设， 则 ， 当时，，所以，单调递增，且， 所以时，， 即，， 若，，不妨设， 即，， 且由A可知，在区间单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是D选项，属于极值点偏移问题，问题的关键是构造函数，结合导数判断函数的单调性. 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A，B；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时， 令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时， 在和上单调递增，在上单调递减， 当，，且先增后减再增，且处取得极小值，此时只有一个零点. 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，先减后增再减，且在处取得极小值, 当，，此时此时只有一个零点. 当时，，没有零点，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由得，根据双曲线的定义得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，， 得，又， 所以. 故答案为：2 13. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值的概念可转化为导数零点问题，根据判别式可得解. 详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 所以， 解得或， 故答案为：. 14. 如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先证明多面体为直四棱柱，再求出该棱柱的底面边长和高即可. 【详解】解：因为，，，AB、平面， 所以平面， 因为平面，平面，且平面平面， 所以， 又因为， 所以为平行四边形， 所以，同理可得， 又因为， 所以多面体为直四棱柱， 作交于点M，平面，则平面； 同理平面；且, 所以平面平面， 又因为平面， 所以 作于N， 所以，即，又，、平面， 所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 即， 所以 在中由正弦定理得，，， 点B到直线的距离为， 所以多面体的体积 ， ， 化简得，当且仅当时取等. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 小问1详解】 连接，因为四边形是菱形，所以， 又因为，所以是正三角形， 因为为的中点，则， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面平面，所以， 又因为，，所以 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 连接，因为，所以，则两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系． 因为，所以， 又因为，所以， 则， ， ， ，设平面的法向量为， 则有，可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 16. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】（1） （2）1809 【解析】 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； （2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 【小问1详解】 由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. 【小问2详解】 由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . 17. 某医学研究团队经过研究发现某良性肿瘤与恶性肿瘤的一项医学指标有明显差异，利用该指标可制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为患恶性肿瘤，小于或等于的人判定为患良性肿瘤.此检测标准的漏诊率是将恶性肿瘤判定为良性肿瘤的概率，记为；误诊率是将良性肿瘤判定为恶性肿瘤的概率，记为. （1）若利用临界值进行判定时，随机抽取男女患者各200名进行检验，发现共有11名男性患者出现诊断问题（漏诊或误诊），请完成如下的列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断出现诊断问题是否与性别有关？ 出现诊断问题人数 未出现诊断问题人数 总计 男性人数 11 200 女性人数 总计 36 400 （2）经过大量调查，得到良性肿瘤和恶性肿瘤患者该指标的频率分布直方图如下： 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数，求的解析式，并解释取得最小值时临界值的实际意义. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，无关； （2），答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二阶列联表计算卡方，再根据独立性检验规则进行判断即可； （2）根据题中条件进行计算，再利用分段函数求最值即可. 【小问1详解】 依题意，列出列联表为： 出现诊断问题人数 未出现诊断问题人数 总计 男性人数 11 189 200 女性人数 25 175 200 总计 36 364 400 零假设：出现诊断问题与性别无关，则 ， 故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为出现诊断问题与性别无关； 【小问2详解】 当时， ， 当时， . 所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有0.08. 在实际中，以取得最小值时的临界值为标准，可以使漏诊率与误诊率的和最小，是检测效果最好的临界值. 18. 已知双曲线的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求直线l的方程； （3）探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用根的判别式及韦达定理列式求解. （2）由（1）中信息，结合向量关系求出斜率即得直线方程. （3）得到直线MP和直线NQ的斜率之比表达式，将根与系数表达式代入即可证明. 【小问1详解】 双曲线的上焦点， 依题意，直线不垂直于轴，设直线l的方程为：，， 由消去，得，显然， ，， 由直线l与双曲线的上支交于P、Q两点，得令，解得. 【小问2详解】 由（1）及，得，解得， 又，则，即，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 点，直线斜率，直线斜率， 由，得 所以，为定值.  19. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数有两个极值点，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调减区间为的单调增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数可得答案； （2）转化为在上有两个不同的实数根，令，求出在上的单调性可得答案； （3）求出，令，分、讨论函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由函数， 可得， ， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故函数的单调减区间为的单调增区间为； 【小问2详解】 因为函数有两个极值点， 所以在上有两个不同的变号零点， 即在上有两个不同的实数根． ，令，开口向下，对称轴， 在上单调递增，上单调递减， ，所以； 【小问3详解】 由函数， 可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问函数在区间上存在唯一零点，需要结合函数的单调性，分情况讨论函数在该区间端点处函数值的情况，从而确定的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $