精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

2025届高中毕业班4月模拟考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，， ，∴. 故选：D． 2. 已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 且 C. ，同号且不为 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 由不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】由得，同号且不为 对于A项，“或”不能推出，故A错误； 对于B项，“且”可以推出，当不一定得出且，则“且”是 “”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C项，“，同号且不为”等价于“”，即“，同号且不为”是“”的一个充分必要条件，故C错误； 对于D项，或不一定得出，比如满足，但，故D错误； 故选：B 3. 已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求，要使为递增数列只需满足即可求解. 【详解】当时，， 故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即 故选：B 4. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解. 【详解】由为钝角，得，， 所以. 故选：D 5. 已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围. 【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图， 结合图象知，当与有两个不同的交点时，. 故选：C． 6. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 13 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 7. 已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积是定值；②若恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，得出点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，锥体的体积公式求得三棱锥的体积为，可判定①正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，再设，得到，结合，化简得到，进而求得线段取得最大值为，可判定②正确；由与的所成的角为，结合向量的夹角公式，求得轨迹方程为可判定③错误. 【详解】如图（1）所示，因为点为中点，又由是的中点，可得， 又因为点为上的动点，所以点到直线的距离等于点到的距离， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半， 因为正方体的棱长为4，可得， 因为面，且面，所以， 可得点到直线的距离为，所以点到直线的距离， 所以的面积为， 由，且，平面， 所以平面，且， 所以三棱锥的体积为（定值），所以①正确； 如图（2）所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得， 设， 由 设，则， 因为，所以，可得， 所以 ， 又因为且，可得， 所以当时，线段取得最大值，最大值为，所以②正确； 因为， 又因为与的所成的角为， 所以， 整理得且，所以点的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误. 故选：A. 【点睛】 8. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解. 【详解】 由得到， 设，, 在中，由余弦定理得， ， 解得， 为等边三角形， 则在中，，， 又，， 得，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 【答案】AC 【解析】 【分析】计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，，故B错误；因为A，B是互斥事件，得，而，故D错误． 【详解】解：，故A正确； 当A，B是相互独立事件时，则，故B错误； 因为A，B相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为A，B是互斥事件，，则根据条件概率公式，而，故D错误． 故选：AC． 10. 已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（ ） A. 的准线方程是 B. 过的焦点的最短弦长为8 C. 以为直径的圆与准线相离 D. 线段的长为19 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由点在抛物线上，代入抛物线方程得出准线方程；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短；对于C，由重心坐标公式以及焦半径公式进行判断；对于D，由，得出的中点到准线的距离大于得出结果进行判断. 【详解】对于A，由在抛物线上可得抛物线方程为，，准线方程是，故A正确； 对于B，当过抛物线焦点且与轴垂直时弦长最短，把代入，得，所以此时弦长为16，故B错误； 对于C，D，设，又，，由重心的坐标公式得，即， 所以的中点坐标为， 因为不过焦点，所以，的中点到准线的距离为，所以C正确，D错误. 故选：AC. 11. 如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】到第级阶梯有两种方法：方法一：从第级阶梯上一级台阶即可；或者方法二：从第级阶梯上两级台阶；所以由题意有，再结合数列的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于B选项：由于到第级阶梯有两种方法：从第级阶梯上一级台阶或者从第级阶梯上两级台阶， 因此由题意有，故B选项正确； 对于A选项：显然，又结合B选项分析可知， 所以，，，，故A选项正确； 对于C选项：由A、B选项分析可知，，， ，，， 所以，故C选项错误， 对于D选项：由B选项分析可知， 再裂项求和 ， 又,故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的性质，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的系数为， 故答案为： 13. 设是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点得到，再利用齐次式计算得到答案. 【详解】，， 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面边长为，求出正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可得出容器的容积V（单位：）关于x（单位：m）的函数关系式，利用基本不等式求解最值. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，则高为， 体积 当且仅当时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与的关系化简与累加法求解， （2）由裂项相消法求和后证明． 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，则， 由累加法得， ，故，也满足该式 综上， 【小问2详解】 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可先证平面，从而得到平面平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量后结合题设中的面面角可求，从而可得的长. 【小问1详解】 平面，平面， ， 为矩形，， 又，平面， 平面， 平面， ， ，为线段的中点， ， 又，平面， 平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，则， ， 平面与平面所成的锐二面角为， ，解得， ，即， 当时，平面与平面所成的锐二面角为. 17. 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. （1）求； （2）设，证明：； （3）求的数学期望的值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换个白球或者交换个黑球，若交换后甲盒有黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球； （2）根据全概率公式进行求解； （3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知： ， 【小问2详解】 次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知： ， 即 【小问3详解】 ， 又 ， 即 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和讨论导数的正负，从而判断函数的单调性； （2）由题意对任意，，可变形为，只要，即对恒成立，即，对恒成立，从而将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求解函数最值即可求得答案. 【小问1详解】 ， ①当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得， 由，即在上单调递增， 由，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 时，， ，令， 由，在上单调递增， 由，即在上单调递减， ， ， 对成立， 只要，即对恒成立， ，对恒成立， 令， 则， 且在上单调递增，上单调递减， ， ， 19. 已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为. （1）求曲线的方程； （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，得双曲线为，设，应用点线距离公式、共圆、三角形面积公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）由共圆得，设，，且，联立双曲线，应用韦达定理列方程求参数t即可. 【小问1详解】 由，又得：，所以渐近线方程为， 则双曲线方程为，即， 设，则到渐近线的距离分别为， 又两渐近线的夹角为，且四点共圆，则或， 的面积， 曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图四点共圆， ， ， 设，， 易得，令得：， 当的斜率为0时，不符合题意； 当的斜率不为0时，设， 联立双曲线得， 则，且，即，且， 所以， 由，即， ， ，符合， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第一问，应用四点共圆求得或，再由三角形面积公式列方程求双曲线参数；第二问，根据四点共圆得，再设点及直线方程，联立双曲线，应用韦达定理求定点为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高中毕业班4月模拟考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 且 C. ，同号且不为 D. 或 3. 已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. 7 D. 5. 已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 13 C. 10 D. 12 7. 已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积是定值；②若恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 10. 已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（ ） A. 的准线方程是 B. 过焦点的最短弦长为8 C. 以为直径的圆与准线相离 D. 线段的长为19 11. 如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________. 13. 设是函数的一个极值点，则______. 14. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）试求长，使平面与平面所成的锐二面角为. 17. 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. （1）求； （2）设，证明：； （3）求的数学期望的值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为. （1）求曲线方程； （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$