精品解析：辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年九年级下学期数学区模试卷

九年级数学学科质量检测试卷 （本试卷共23题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标公式为． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，5，中，最小的是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数． 【详解】解：∵， ∴最小的是． 故选：A． 2. 如图所示，该几何体的主视图是从正面看（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：该几何体的主视图是从正面看是 故选：C． 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 5. 若，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是确定使用了不等式的哪个性质，不等号的方向是否发生变化． 根据不等式的基本性质逐项判断可得答案． 【详解】解：A，∵，则，故此选项成立； B，∵，则，故此选项成立； C，∵，则，∴，故此选项成立； D，∵，∴，故此选项不成立． 故选：D． 6. 某校生物小组的7名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：80，86，86，89，89，89，95，以上数据的众数是（ ） A. 86 B. 89 C. 87 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数． 根据众数的定义求解即可判断． 【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：80，86，86，89，89，89，95， 89出现的次数最多， 以上数据的众数为89． 故选：B 7. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键按照相关法则进行计算． 9. 已知点，在反比例函数的图象上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握是解题的关键． 根据同底数幂的乘法计算公式直接求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 从1970年“东方红一号”卫星升空，到2024年天宫空间站在高空巡天；从卫星到太空房，中国航天飞了55年，探索的脚印留在距地球米外的地方．将400000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，准确确定的值以及的值是解答本题的关键． 科学记数法的表示形式为()，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：按照科学记数法的表示方式，可以表示为：， 故答案为：． 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14. 如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角，，的长度为______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长计算公式，根据外侧两竹条夹角和弧长计算公式可以得到弧的长． 【详解】解：∵，， ∴的长为：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点作于点F，先证明，根据，得到，利用正切的定义结合点是的中点，求出，设，求出直线的解析式，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点作于点F， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，点．点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 则， 解得：， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质，解二元一次方程方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质化简各项，再结合实数的混合运算顺序计算，即可解题； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ①，得③ ，得 解得， 将代入①，得 方程组的解是 17. 如图，和中，与相交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据直接证明，即可； （2）根据（1）得出则，进而根据三线合一求得的长，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， 【小问2详解】 解：过点作于点 由（1），， ， ， ， 在中，， ， ． 18. 小明用一条长为的绳子围成一个矩形． （1）当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； （2）能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 【答案】（1）长方形的长为，宽为 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不能围成一个面积为的矩形． 【小问1详解】 解：设矩形的长为，则矩形的宽为， 根据题意，可以列出方程， 整理，得， 解方程，得，， 长>宽， ， ， 答：长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 设矩形的长为，则矩形的宽为， 可以列出方程 整理，得， ， 方程无解， 不能围成面积是的矩形． 19. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数； （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】（1）200 （2）1080人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法，频率分布直方图以及扇形统计图，概率公式． （1）根据A家庭电路总人数为30人，占，用30除以即可得总人数； （2）先求出喜欢“C布艺手缝”的百分比，再求出喜欢“简单烹饪”的百分比，再用总人数乘以喜欢“简单烹饪”的百分比即可得出喜欢“简单烹饪”的人数； （3）列表，共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次调查的学生人数为200人， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：喜欢“C布艺手缝”的百分比为， 喜欢“简单烹饪”的百分比为， 喜欢“简单烹饪”的人数为（人）， 答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为1080人； 【小问3详解】 解：列表如下： 小明 小红 A B D B D E 由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种， ． 20. 如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？ （参考数据：，，，） 【答案】这枚火箭从到的平均速度是 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形先求得，再求出，即可求得，即可得到速度，熟练利用三角函数表示直角三角形中边长的关系是解题的关键． 【详解】解：中，， ，， ，， 在中，， ， ， 平均速度， 答：这枚火箭从到的平均速度是． 21. 如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得，再结合是的直径，得，再结合等边对等角，即可作答． （2）由圆周角定理得，，，运用勾股定理以及角的余弦性质列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ． ． 【小问2详解】 解：连接， ， ． 是直径， ， 同理，， 在中，， ，， ， ， 由（1），， ， 在中，， ， 半径． 22. 如图1，在四边形中，，． （1）用等式写出和的数量关系是______； （2）如图2，连接，．求证：平分； （3）当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①正方形，见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； 【小问3详解】 解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． 23. 抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）求，的值； （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） （4）①；②的值为或4或 【解析】 【分析】（1）根据题意，抛物线（，为常数）经过点，且对称轴为直线，代入计算，即可求解，的值； （2）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，抛物线与轴的交点是、，求出点、的坐标，推出直线的函数，即可设、，根据得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）根据题意作图，根据对称的性质得、，在中，利用勾股定理，求出，得．设，得，解得的值即可求解； （4）①设点，则点和点的纵距为，与轴的交点为、，再分取值范围、、去绝对值符号，即可求解； ②点横坐标为、，结合四边形是平行四边形，可得、轴，设、，分或两种情况讨论，通过去绝对值计算即可求解的值． 【小问1详解】 解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． 【小问2详解】 解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得，解得：， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， 当时，的面积最大． 【小问3详解】 解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． 【小问4详解】 解：①设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． ②由（1）得抛物线，由（4）①得， 如图所示： 点横坐标为，，且四边形是平行四边形， ，轴， 设，， 有两种情况，如下： I、由①可得，当时，或， ， ， 当时，解得或，皆舍去， 当时，解得或； II、当时，， ， ； 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式，去绝对值的计算，平行四边形的判定与性质，理解题意、分类求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学学科质量检测试卷 （本试卷共23题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标公式为． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，5，中，最小的是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是从正面看（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 5. 若，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校生物小组7名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：80，86，86，89，89，89，95，以上数据的众数是（ ） A. 86 B. 89 C. 87 D. 15 7. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，在反比例函数的图象上，下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 从1970年“东方红一号”卫星升空，到2024年天宫空间站在高空巡天；从卫星到太空房，中国航天飞了55年，探索的脚印留在距地球米外的地方．将400000用科学记数法表示为______． 13. 分解因式：________． 14. 如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角，，的长度为______（用含的式子表示）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 如图，和中，与相交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 18. 小明用一条长为的绳子围成一个矩形． （1）当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； （2）能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 19. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数； （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 20. 如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？ （参考数据：，，，） 21. 如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 如图1，在四边形中，，． （1）用等式写出和的数量关系是______； （2）如图2，连接，．求证：平分； （3）当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 23. 抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）求，的值； （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$