精品解析：甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年高一（5）部数学试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算. 【详解】由有. 故选：A. 2. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 3. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为异面直线且，则与中至少一条相交 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，由线面平行的性质判断选项正误；对于C，由反证法结合题意可判断选项正误；对于D，由图及题意可判断选选项正误. 【详解】对于A，当时，可能与平行，也可能相交，异面，故A错误； 对于B，当时，可能包含于平面，则不一定平行于，故B错误； 对于C，假设均不与相交，因，则， 又，均不与相交，则，这与为异面直线相矛盾，则与中至少一条相交，故C正确； 对于D，当时，设，则如图当与不垂直时，不与垂直，故D错误. 故选：C 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 5. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 6. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式化简即可求解. 【详解】 . 故选：. 7. 棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值. 【详解】 如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8 已知，若，当取得最大值时，（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用两角和与差的正弦公式展开，得到与的关系，再将展开，结合基本不等式求出其最大值时的值，进而求出． 【详解】已知，根据两角和与差的正弦公式展开可得： ，移项可得：． 因为，所以，，等式两边同时除以，得到．  根据两角差的正切公式可得：．  令，因为，所以，则． 根据基本不等式：，当且仅当，即，时等号成立． 所以，即当时，取得最大值．  因为，当时，．  当取得最大值时，， 故选：A． 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 与的方向不是相同就是相反（为实数） B. 若共线，则（为实数） C. 若，则． D. 若，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量数乘以及共线的相关概念，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，，此时其方向是任意，故A错误； 对于B，当时，不存在，故B错误； 对于C，由题意可作图如下： 显然，但的夹角为，故C错误； 对于D，根据向量数乘的相关概念，故D正确. 故选：ABC. 10. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A正确； 对于B，已知，得到 . 得到，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比转化为底边MC与BC之比，判断B错误； 对于C，由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确； 对于D，利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D正确. 【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量， 所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为， 即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确； 对于B，已知，则.  这说明在线段BC上，且，那么.  因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.   对于C，因为，故，即，又， 所以，故，由于，故， 同理可得，结合， 故，可得，故等边三角形，C正确； 对于D，， 而，所以A，B，C都为锐角，D正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为________________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，连接交于点，取的中点，连接，证得，得到即为异面直线和所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，可得， 所以即为异面直线和所成的角， 因为， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线D1B和AC所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 已知，都是锐角，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角. 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，点、在边上，，与共线，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过三角运算以及得到的大小，然后再将两边同时平方得到、的关系，再根据为的平分线结合面积可得另一个、的关系，再利用余弦定理及、的关系可得的值. 【详解】由可得， 即， 因为，所以， 又，所以， 由，平方得， 所以，因为与共线，所以为的平分线， 由可得， 整理可得， 由得，， 由余弦定理可得， 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，，，求角； （2）若，求的度数． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，由三角形内角和为，即可求解； （2）令，，，，根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由得， 解得，所以或， 因为，所以也符合要求， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 由， 令，，，， ， 因为，所以. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，从而，异面直线所成的角即为，在中，由余弦定理求得余弦值； （2）由三角形相似得，再由底面，得，由线面垂直的判定定理得平面. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 17. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 18. 如图，平面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行的传递性得到，即可求证； （2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解. 【小问1详解】 ∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． 【小问2详解】 连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 19. 如图，已知直线，直线与分别交于两点，为的中点，分别是直线位于同侧的两点，且．设． （1）用表示； （2）求四边形的面积关于的函数解析式； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面内直线与直线的位置关系与角度关系列式可得； （2）根据直角三角形的边角关系与四边形面积公式即可得所求； （3）根据（2）中解析式结合同角三角关系、三角恒等变化化简解析式，利用正弦型函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为直线所以，则， 所以． 【小问2详解】 在中，，所以； 在中，，所以； 所以四边形面积． 即． 【小问3详解】 因为 因为，所以当时，取得最大值1， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一（5）部数学试卷 一、单选题 1 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 如图，在正方体中，，，分别是棱，中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为异面直线且，则与中至少一条相交 D. 若，则 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. （ ） A. 1 B. C. D. 7. 棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 与的方向不是相同就是相反（为实数） B. 若共线，则（为实数） C. 若，则． D. 若，则． 10. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题 12. 在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为________________. 13. 已知，都是锐角，，，则________． 14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，点、在边上，，与共线，且，，则________． 四、解答题 15. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，，，求角； （2）若，求的度数． 16. 如图，四棱锥底面是矩形，底面，为的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面. 17. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长取值范围． 18. 如图，平面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，已知直线，直线与分别交于两点，为中点，分别是直线位于同侧的两点，且．设． （1）用表示； （2）求四边形的面积关于的函数解析式； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$