精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2025届高三下学期2月开学考试数学试题

2025届高中毕业班2月开学考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知b，，虚数是方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意利用根与系数的关系即可求解. 【详解】是方程的根，则方程另一根为， 故， . 故选：. 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值. 【详解】因为，故， 故，故，故， 故选：B. 6. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆台的轴截面的高以及球体的知识求得正确答案. 【详解】圆台的轴截面如图等腰梯形，过分别作垂直， 垂足为，，， 所以圆台轴截面等腰梯形底角为60°，高为， 设边长为的正三角形的内切圆半径为， 则，解得， 即边长为12的正三角形内切圆半径为，， 故能放入最大球半径，其表面积为. 故选：A. 7. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果. 【详解】由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为， 故选:A． 8. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 11. 已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为 C. 的渐近线为 D. 当点在上时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由相切性质得点满足关系式，与已知圆联立消参得轨迹方程，ABC选项由方程形式构造函数，利用导函数研究单调性作出大致图形即可求解；D选项由不等式性质与放缩法可得. 【详解】圆，圆心，半径，且，且. ，则点在圆M外. 由题意知，设， 则① 又点Q在圆M上，则②， ①-②得，，解得③， 由且，解得，且 将③代入②消a得，即为曲线C的方程. 设，，则， 令，解得，或，或（舍） 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 且，，当时，. 且当时，函数与单调性相同， 且，，当时，. 故的大致图象如图①所示， 又由方程可知曲线C关于x轴对称，且. 故曲线C的大致图象为如图②所示， 故C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为，渐近线为，A、B项正确，C错误； D项，当点在C上时，则，由，或. 得，又，， 则，所以成立，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求动点轨迹方程的常见方法有： （1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可； （2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程； （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程. （4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程. （5）交轨法：选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意函数有意义， 需满足，解得且， 故函数定义域为：. 故答案为：. 13. 过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积. 【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点， 由双曲线可得渐近线方程为， 双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为， 过倾斜角为的直线方程为， 由可得交点坐标为， 由可得交点坐标为， 倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为， 故答案为：. 14 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦和角公式得到，进而求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】因为，而， 因此， 则， 所以. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 16. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，求的值，确定椭圆的标准方程. （2）分类讨论.当直线存在斜率不为0或不存在时，设直线方程，与椭圆处联立，消去，得到关于的一元二次方程，用韦达定理表示出与，再把转化成的关系，求出的值即可. 【小问1详解】 联立 得，故所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 易知. ①当斜率为0时，或，不符合题意. ②当斜率不0或不存在时,设，设，， 联立 消去得. 所以， 由得，代入以上两式消去得. 故，化为一般方程为. 18. 已知函数，函数与的图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 【答案】（1），. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设图象上任意一点坐标为，利用其对称点在的图象上可得函数的解析式； （2）令，可得为的一个极大值点，求得，再证明当时，在恒成立即可； （3）由（2）可知：，可得，进而可得，利用在上恒成立，令利用可得答案. 【小问1详解】 依题意，设图象上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图象上， 则， 则， 故； 【小问2详解】 令，， 则在恒成立，又， 且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，； 【小问3详解】 由（2）可知：，则，即， 则. 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 19. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高中毕业班2月开学考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知b，，虚数是方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 6. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 8. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小无法确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C D. 11. 已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为 C. 的渐近线为 D. 当点在上时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为____________． 13. 过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________. 14. 已知，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 16. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程. 18. 已知函数，函数与图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 19. 如图，正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $