精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市平房区中考一模数学试题

2025年平房区初中学业水平调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义， 根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为2025． 故选：B． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋 转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、它是中心对称图形，符合题意； B、它不是中心对称图形，故不符合题意； C、它不是中心对称图形，故不符合题意； D、它不是中心对称图形，故不符合题意；   故选： A． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，正确记忆从左边看得到的图形是左视图是解题的关键．根据从左边看到的图形即为左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，如图： ． 故选：A． 4. 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过15500000000元．其中15500000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故选：． 6. 如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解． 【详解】解：第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图形由小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 故选：B． 7. 如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 8. 如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 9. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 10. 周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（ ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，先根据图象计算出小海去超市前的速度，再计算出小海出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小海在超市购物用的时间． 【详解】解：小海从家出发，到达集合地，则总用时， 由图象可知，小海去超市前的速度为， 小海出超市后到社区所用的时间为， ∴小海在超市购物用的时间为， 故选：D． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 12. 把多项式因式分解的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 现定义一种新运算：对于任意有理数x、y，都有．例如：，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解． 【详解】解：连接OB,OC ∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形 ∴OB＝BC＝6， 故答案为6． 【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质． 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 16. 虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 17. 方程的解是_________． 【答案】x=2 【解析】 【分析】先把方程化为整式方程为2x-（x+2）=0，解方程得x=2，把x=2代入x（x+2）≠0，可知x=2是原分式方程的解. 【详解】方程两边分别乘以 整理得：2x-（x+2）=0， 解得x=2， 把x=2代入x（x+2）≠0， ∴x=2是原分式方程的解.： 故答案为x=2. 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 18. 四个相同无标签的试管中分别盛有等量的氯化钠、硝酸钾、氯化钾、氯化铵溶液，小霞同学在不知情的条件下，随机取一个试管，取到氯化钠溶液的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵有4个相同的试管， ∴随机取一个试管，取到氯化钠溶液的概率是． 故答案为：． 19. 已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则_______． 【答案】3或27 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，分两种情况：点在点右侧，点在点左侧，利用矩形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】在矩形中，，，，， 当点在点右侧时，，则； 当点在点左侧时，，则； 综上，的长为3或27， 故答案为：3或27． 20. 已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】先运用等腰三角形的性质得，外角性质得，再结合三角形内角和性质得，再结合垂直平分线的性质得，，过点A作，过点E作，过点D作，并交于点，得出是等腰直角三角形，在中，，代入数值计算，得，，然后运用证明，，运用30度所对的直角边是斜边的一半得，再结合勾股定理算出，，再运用角的关系计算，然后再求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∴ ∵的延长线交线段的垂直平分线于点D， ∴， ∴， 过点A作，过点E作，过点D作，并交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 设 ∴ 即 ∴， ∵，，， ∴， 则在中，， ∴ 解得， ∴， 则，故④是正确的； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 故②是正确的； ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故③是错误的； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故①是错误的； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定与性质，外角性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 22. 如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上． （1）画出以AB为一边的，，面积为9，点C在小正方形的顶点上． （2）在AB边上找到点D，连接CD，CD将分成面积相等的两个三角形．（保留作图痕迹） （3）直接写出线段CD的长． 【答案】（1） 如图，点C即为所作， （2） 如图，点D即为所作， （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，勾股定理和全等三角形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据，面积为9找出点C即可； （2）根据矩形对角线互相平分可得结论； （3）取格点,连接,证明,可得出G、D、C三点共线，由勾定理得出，从而得出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点,连接, ∵ ∴ 又 ∴即 又 ∴, ∴ ∴G、D、C三点共线， 由勾定理得出， ∴ 23. 某校为了解学生对冰雪运动项目的喜欢情况，随机抽取部分学生进行“你最喜欢的冰雪项目”（必选且只选一项）的调查，根据调查结果，绘制了如下不完整条形统计图．已知最喜欢“冰球”项目的学生人数占调查总人数的．请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整： （3）若该校共有3000名学生，请你估计全校最喜欢“滑雪”项目的学生有多少名？ 【答案】（1）共调查了200名学生； （2） 如图： （3）估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有660人． 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图以及用样本估计总体数量，根据统计图准确找出相关数据，是解题的关键． （1）用喜欢冰球的学生人数对应的百分比，即可求解； （2）先求出喜欢冰壶的学生人数，再补全统计图即可； （3）用最喜欢高山滑雪的比例乘以3000，即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 答：共调查了200名学生． 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校最喜欢“滑雪”运动的学生有660人． 24. （1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 【答案】（1）垂直（或）；（2）45； （3）过作，交于点，如图： 由（2）知在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，得出，进而利用，即可得出答案； （2）由得出，进而证明即可求得答案； （3）可分别证明以及，然后结合，，可得，进一步即可得证． 【详解】解：（1）延长交于点，如图： ， ， 四边形和是正方形， ， ，即； 故答案为：垂直（或）； （2）， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：45； （3）略 25. 2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． （1）求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 【答案】（1）A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元 （2）该专营店最多购进A种工艺品30件 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元，再由“若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元”列方程，再解方程即可； （2）设该专营店购进A种工艺品a件，由总获利不低于540元，再列不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A、B两款纪念品每件的进价分别为x元和y元， 则， 解得：， 答：A、B两种工艺品每件的进价分别为28元和33元． 【小问2详解】 解：设该专营店购进A种工艺品a件， 则， 解得：． 答：该专营店最多购进A种工艺品30件． 26. 已知：为的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为弧上一点，连接交于点G，过点E做于点F，延长分别交于点H，交于点K，连接分别交于点M、Q，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点R，连接并延长交于点N，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ，， ，， 又， ； （2） 证明：连接， 设， ，，， 又， ， ， ， ， 是直径， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，结合等边对等角即可证明； （2）连接，设，求出，，易证，求出，由圆周角定理求出，再证明，，即可证明结论； （3）连接．证明，得到．再证明四边形为平行四边形，得到，进而证明，过点作交于点，易证，解直角三角形求出，，求出，解直角三角形结合勾股定理求出，进而求出，最后解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接． ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 由（2）知， ， ， 又， ， 又， ，， 又， ， 过点作交于点， ，，， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的横坐标为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，运用待定系数法可求出二次函数解析式； （2）求得直线的解析式为，过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L，设，则，，由可得结论． （3）求得，过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点，设点，根据正切值列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点点， 解得． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于点W，交于点I，过点C作于点L， 设，则， ∴， ． 【小问3详解】 解：当时，，，（舍去）， ∴， 过点作交延长线于点，交轴于点，延长交于点T，，过点作于点， 设点， ∴，， ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴，，，，， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 过点作，连接，过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， 设，则， ， 过点P作于点U， ∵， ， ，， 延长交于点I，， ， ，，， 点E与点I重合，， 过点G作轴，过点作，， ， 设点， ∵， 解得，（舍） 点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年平房区初中学业水平调研测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战，截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过15500000000元．其中15500000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 7. 如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（ ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 把多项式因式分解的结果是_____． 13. 现定义一种新运算：对于任意有理数x、y，都有．例如：，则____． 14. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______． 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是______． 16. 虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 17. 方程的解是_________． 18. 四个相同无标签的试管中分别盛有等量的氯化钠、硝酸钾、氯化钾、氯化铵溶液，小霞同学在不知情的条件下，随机取一个试管，取到氯化钠溶液的概率是________． 19. 已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则_______． 20. 已知如图，在等腰三角形中，，，在上取一点E，使，的延长线交线段的垂直平分线于点D，，则①；②；③；④．以上结论正确的是______． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图的网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上． （1）画出以AB为一边的，，面积为9，点C在小正方形的顶点上． （2）在AB边上找到点D，连接CD，CD将分成面积相等的两个三角形．（保留作图痕迹） （3）直接写出线段CD的长． 23. 某校为了解学生对冰雪运动项目的喜欢情况，随机抽取部分学生进行“你最喜欢的冰雪项目”（必选且只选一项）的调查，根据调查结果，绘制了如下不完整条形统计图．已知最喜欢“冰球”项目的学生人数占调查总人数的．请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整： （3）若该校共有3000名学生，请你估计全校最喜欢“滑雪”项目的学生有多少名？ 24. （1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 25. 2025年亚冬会在哈尔滨举办，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受广大游客的喜爱，某专营店计划购进A、B两款纪念品，若购进A款纪念品3件和B款纪念品2件共需150元，若购进A款纪念品1件和B款纪念品4件共需160元． （1）求A、B两款纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若A款纪念品售价为38元，B款纪念品售价为45元，该专营店计划购进A、B两款纪念品共50件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于540元，那么该专营店最多可以购进A款纪念品多少件？ 26. 已知：为的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为弧上一点，连接交于点G，过点E做于点F，延长分别交于点H，交于点K，连接分别交于点M、Q，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点R，连接并延长交于点N，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $