课时规范练14函数与方程基础练-2025届高三数学一轮复习

课时规范练14　函数与方程 基础巩固练 1.方程ln x=4-2x的根所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.若函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=+5的图象交点的横坐标所在的区间为(k,k+1),则整数k可能为(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 3.(2024·北京西城模拟)函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2024·北京朝阳模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=1的实根在区间(k,k+1),k∈Z上,则k的最大值是(　　) A.-3 B.-2 C.1 D.2 5.(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a,若g(x)有2个零点,则实数a的最小值是(　　) A.2 B.0 C.-1 D.1 6.(多选题)(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)=|1-2x|,实数a,b(a<b)是函数y=f(x)-m的两个零点,则下列结论正确的有(　　) A.m>1 B.0<m<1 C.2a+2b=2 D.a+b<0 7.(2024·云南昆明期末)设函数f(x)=ln(|x|+1),g(x)=-x2+a,若曲线f(x)与曲线g(x)有两个交点,则实数a的取值范围是　　　　　. 8.(2024·山东济南模拟)函数f(x)=2sin xsin(x+)-x2的零点个数为　　　　. 9.(2024·河北沧州模拟)若函数f(x)=x2-ax+1在区间(,3)上有零点,则实数a的取值范围是　　　　. 综合提升练 10.(2024·甘肃兰州模拟)已知x0是函数f(x)=()x-x+4的一个零点,若x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　) A.x0∈(2,4) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 11.(2024·江苏南通模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 12.(多选题)已知函数f(x)= 若方程f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4,满足x1<x2<x3<x4,则下列说法正确的是(　　) A.x1x2+4=2(x1+x2) B.x3+x4=12 C.x3x4∈(32,34) D.函数g(x)=(f(x))2+(1-m)f(x)-m的零点为6,x1,x2,x3,x4 13.(2024·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点,则实数a=(　　) A.2 B. C.4 D.1 14.(13分)(2024·北京模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t),记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c. (1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点; (2)若函数y=f(x)的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围. 15.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点; (2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),关于x的方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一个实根属于(x1,x2). 创新应用练 16.已知函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,对∀x∈R,都有f(x-3)=f(x+1)恒成立,当x∈[0,2]时,f(x)=,若函数f(x)的图象和直线y=k(x+4),k>0有5个交点,则实数k的取值范围是(　　) A.() B.() C.() D.() 答案： 1.B　解析 令f(x)=ln x+2x-4,显然f(x)=ln x+2x-4在(0,+∞)内单调递增. 又因为f(1)=2-4=-2<0,f(2)=ln 2+4-4=ln 2>0,f(x)的图象在区间[1,2]上是连续不断的,由函数零点存在定理可知f(x)=ln x+2x-4的零点所在的区间为(1,2),所以ln x=4-2x的根所在的区间为(1,2).故选B. 2.C　解析 作图(图略)易知函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=+5的图象在y轴两侧各有一个交点. 设h(x)=f(x)-g(x)=2ex--5, 则h(-1)=-4<0,h(-)=2+5>0,h(1)=2e-6<0,h(2)=2e2->0, 故h(-1)h(-)<0,h(1)h(2)<0,h(x)的图象分别在区间[-1,-]与[1,2]上是连续不断的,所以函数h(x)的零点所在区间是(-1,-),(1,2). 故k=-1或k=1. 3.C　解析 令f(x)=0,可得|ln x|=e-x,作出函数y=|ln x|与y=e-x的图象(如图所示),由图可知,函数y=|ln x|与y=e-x的图象的交点个数为2,故f(x)的零点个数为2,故选C. 4.C　解析 当x≤-2时,f(x)=x2-5,令f(x)=1,解得x=-; 当x>-2时,f(x)=xlg(x+2),其中f(1)=lg 3<1,f(2)=2lg 4=lg 16>1, 所以当f(x)=1时,可得x∈(1,2). 综上,k的最大值是1,故选C. 5.D　解析 令g(x)=0,可得f(x)=x+a,当x≤0时,f(x)=()x,当x>0时,f(x)=ln=-ln x与y=ln x的图象关于x轴对称,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象(如图所示),由图可知,当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时函数y=g(x)有2个零点,因此实数a的最小值为1,故选D. 6.BCD　解析 f(x)=|1-2x|=且当x<0时,0<2x<1,此时f(x)=1-2x∈(0,1),函数y=f(x)-m的零点即函数y=f(x)与直线y=m的图象交点的横坐标(如图所示),由图象可知,当0<m<1时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,故A错误,B正确;由图可知,a<0<b,由f(a)=f(b),可得1-2a=2b-1,化简可得2a+2b=2,故C正确;由2a+2b=2≥2=2,因为a<b,所以取不到等号,可得2a+b<1=20,所以a+b<0,因此D正确.故选BCD. 7.(0,+∞)　解析 当x≥0时,f(x)=ln(x+1),当x<0时,f(x)=ln(-x+1),函数图象示意图为 由g(x)=-x2+a与f(x)=ln(|x|+1)的图象有两个交点知a的取值范围是(0,+∞). 8.2　解析 函数f(x)=2sin xsin(x+)-x2的零点个数等价于方程2sin xsin(x+)-x2=0的根的个数,即函数g(x)=2sin xsin(x+)=2sin xcos x=sin 2x与h(x)=x2的图象交点的个数.在同一坐标系中分别作出两函数图象(如图所示),由图可知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点,所以f(x)有2个零点. 9.[2,)　解析 由题意知方程ax=x2+1在区间(,3)内有解,即a=x+在区间(,3)内有解,设t=x+,x∈(,3),则t的取值范围是[2,),故实数a的取值范围是[2,). 10.B　解析 函数y=()x在区间(2,+∞)上单调递减,y=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,故f(x)=()x-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,又f(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,f(5)<0,所以x0∈(4,5),因为f(x0)=0,x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),由单调性知f(x1)>0,f(x2)<0,即f(x1)>f(x2),故选B. 11.B　解析 由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,又由f(1+x)=f(1-x)可得f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),因此f(x)的周期为4.作出f(x)的图象(如图所示),g(x)=f(x)-lg x的零点个数即为f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数,因为lg 9<1,lg 10=1,由图象可得f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数为5,故选B. 12.BCD　解析 画出f(x)的大致图象如图. 若f(x)=m有四个不同的实数根,则f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点. 由图象可知2<x1<3<x2<4<x3<6<x4<8,0<m<1. 对于A,因为f(x1)=f(x2),即|log2(x1-2)|=|log2(x2-2)|,所以-log2(x1-2)=log2(x2-2),所以log2=log2(x2-2),所以(x1-2)(x2-2)=1,整理得x1x2+4=1+2(x1+x2),故A错误. 对于B,因为f(x3)=f(x4),所以x3+x4=12,故B正确. 对于C,因为x3与x4是方程f(x)-m=x2-6x+17-m=0的两根,所以x3x4=2(17-m)=34-2m,又0<m<1,所以x3x4∈(32,34),故C正确. 对于D,g(x)=(f(x))2+(1-m)f(x)-m=(f(x)-m)(f(x)+1),由g(x)=0得f(x)=m或f(x)=-1. 因为f(x)=m的根为x1,x2,x3,x4,f(x)=-1的根为6,所以g(x)的零点为6,x1,x2,x3,x4,故D正确.故选BCD. 13.A　解析 由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)=f(x),可得函数f(x)的图象关于直线x=2对称,要使函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点,则f(2)=0,即4-8+2a=0,得a=2,故选A. 14.(1)证明 由题意,知a+b+c=0,且->1,所以a<0且>1,所以ac>0. 对于函数f(x)=ax2+(a-b)x-c,有Δ=(a-b)2+4ac>0, 所以函数y=f(x)必有两个不同的零点. (2)解 |m-n|2=(m+n)2-4mn==()2+8+4. 由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t)可知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个解分别为1和t(t>1). 由根与系数的关系,知=t,所以|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞),所以|m-n|>,所以|m-n|的取值范围是(,+∞). 15.证明 (1)∵f(1)=a+b+c=0,又a>b>c,∴a>0,∴Δ=b2-4ac=(-a-c)2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2>0,∴f(x)必有两个零点. (2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],∴g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)],g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)],∴g(x1)·g(x2)=-[f(x2)-f(x1)]2,又f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0,∴关于x的方程g(x)=0在(x1,x2)内必有一个实根,即关于x的方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一个实根属于(x1,x2). 16.C　解析 由题意知f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,又f(x-3)=f(x+1),则f(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的函数. 若x∈[-2,0],则-x∈[0,2],故f(x)=f(-x)=(-x)2=,所以当x∈[-2,2]时,f(x)=,又y=k(x+4),k>0过定点(-4,0),所以y=f(x)与y=k(x+4),k>0的部分图象如图所示. 当y=k(x+4),k>0过A(2,2)时,k=; 当y=k(x+4),k>0过B(6,2)时,k=, 由图可知,当<k<时,y=f(x)的图象和直线y=k(x+4),k>0有5个交点.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$