串讲 数据的收集、整理、描述+认识概率（考点串讲，8大考点+8大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

数学下学期·期中复习大串讲 串讲 数据的收集、整理、描述+认识概率（8考点&8题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：普查与抽样调查 普查： 像这样，为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查。 抽样调查： 像这样，为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样 调查 ( 简称：抽样 )。 考点透视 普查的优缺点： ① 优点：通过调查总体中每个个体来收集数据， 调查的结果准确； ② 缺点：但往往花费多，工作量大，而且有些调查也不宜使用普查。 抽样调查的优缺点： ① 优点：通过调查样本中每个个体来收集数据， 花费较少，工作量较小，便于进行； ② 缺点：但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计。 注意：为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性。 考点透视 考点二：总体、个体、样本、样本容量 总体： 我们把所考察对象的全体叫做总体； 个体： 把组成总体的每一个考察对象叫做个体； 样本： 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量： 样本中个体的数目叫做样本容量。 考点透视 考点三：统计图的选用 扇形统计图中，整个圆表示统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形来表示，扇形面积占圆面积的百分比与各统计项目占总体的百分比相同。 扇形圆心角： 在扇形统计图中，扇形圆心角 = 该统计项目占总体的百分比 × 360°。 考点透视 条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据； 扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比； 折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势。 条形统计图： ① 条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目， ② 易于比较数据之间的差别； 扇形统计图： ① 用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比， ② 易于显示每组数据相对于总数的大小； 考点透视 折线统计图： ① 能清楚地反映事物的变化情况， ② 显示数据变化趋势。 在解决实际问题时，应根据实际需要选用合适的统计图。 考点透视 考点四：频数和频率 频数： 在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的 频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数； 频率： 频数与总次数的比值称为频率。 考点透视 考点五：频数分布表与频数分布直方图 组数、组距、频数分布表： 在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组， 分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距， 称这样画出的统计图表为频数分布表。 列频数分布表的步骤： 　 ( 1 ) 计算极差，即计算最大值与最小值的差； 　 ( 2 ) 决定组距与组数， 注意：组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多， 样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5 ~ 12组 ； 　 ( 3 ) 将数据分组； 　 ( 4 ) 列频数分布表。 考点透视 考点六：确定事件与随机事件 事件类型 定义 举例 不可能事件 在一定条件下，有些事情一定不会发生，这样的事情是不可能事件。 明天太阳从西方升起 必然事件 在一定条件下，有些事情一定会发生，这样的事情是必然事件。 抛出的篮球会下落 随机事件 在一定条件下，很多事情无法确定它会不会发生， 这样的事情是随机事件。 抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上 考点透视 考点七：可能性的大小 必然事件： 一定会发生，即发生的可能性是1； 不可能事件： 一定不会发生，即发生的可能性是0； 随机事件： 一般地，随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同，但发生的可能性都在0 ~ 1之间(不包括0和1)。 考点透视 考点八：频率与概率 概率： 随机事件发生的可能性有大有小。 一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。 如果用字母A表示一 个事件，那么P ( A ) 表示事件A发生的概率。 事件的概率范围： 通常规定， ① 必然事件A发生的概率是1，记作P ( A ) = 1； ② 不可能事件A发生的概率是0，记作P ( A ) = 0； ③ 随机事件A发生的概率P ( A ) 是0和 1之间的一个数。 考点透视 用频率估计概率： 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动。 在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 频率的稳定性： 通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定。 这个性质称为频率的稳定性。 题型剖析 题型一：普查与抽样调查 【例1】下列调查是用普查好，还是用抽样调查好？说说你的理由。 ( 1 ) 全班学生家庭1周内收看“新闻联播”的次数； ( 2 ) 某品牌灯泡的使用寿命； ( 3 ) 长江中现有鱼的种类。 ( 1 ) 普查；理由如下： 调查的对象不是很多，普查的结果更全面、可靠。 ( 2 ) 抽样调查；理由如下： 调查过程具有破坏性，调查的对象不宜过多。 ( 3 ) 抽样调查；理由如下： 由于条件限制，无法逐一调查。 【变式】下列调查中，最适宜全面调查的是（　　） A．检测某城市的空气质量 B．检查一枚运载火箭的各零部件 C．调查某款节能灯的使用寿命 D．调查观众对春节联欢晚会的满意度 B 题型剖析 题型二：总体、个体、样本、样本容量 【例2】为了解某校初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（　　） A．样本容量是100 B．每名学生是个体 C．从中抽取的100名学生是样本 D．初二年级900名学生是总体 A A．样本容量：100，√； B．个体：每名学生每天花费在数学学习上的时间，×； C．样本：抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间，×； D．总体：初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，×。 【变式】下列各项调查是普查，还是抽样调查？如果是抽样调查，请指出总体、个体、样本和样本容量。 ( 1 ) 调查你班每位同学所穿鞋子的尺码； ( 2 ) 从一批洗衣机中抽取5台，调查这批洗衣机的使用寿命； ( 3 ) 调查一个社区所有家庭的年收入； ( 4 ) 从一批袋装食品中抽取10袋，调查这批食品中防腐剂的含量。 ( 1 ) 普查； ( 2 ) 抽样调查； ① 总体：一批洗衣机的使用寿命，② 个体：每台洗衣机的使用寿命， ③ 样本：抽取的5台洗衣机的使用寿命，④ 样本容量：5。 ( 3 ) 普查； ( 4 ) 抽样调查；① 总体：一批袋装食品中防腐剂的含量， ② 个体：每袋装食品中防腐剂的含量， ③ 样本：抽取的10袋袋装食品中防腐剂的含量，④ 样本容量：10。 题型剖析 题型三：统计图的选用问题 【例3】某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（　　） A．步行的人数最少 B．骑自行车的人数为90 C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D．坐公共汽车的人数占总人数的50% C A+B．步行的有60人，骑自行车的有90人，坐公共汽车的有150人，√； C．步行与骑自行车的总人：60 + 90 = 150（人）= 乘公共汽车的人数，×； D．总人数：60 + 90 + 150 = 300（人），150 ÷ 300 × 100% = 50%，√。 【变式】如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（　　） A．周五的日最高气温最高 B．周五到周日的日最高气温持续降低 C．这周的日最高气温最低为18℃ D．周二与周四的日最高气温相同 C A．周五的日最高气温最高，√； B．周五到周日的日最高气温持续降低，√； C．这周的日最高气温最低为15℃，×； D．周二与周四的日最高气温相同，√。 【变式】某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）。 下列说法不正确的是（　　） A．这次被调查的学生人数为400人 B．E对应扇形的圆心角为80° C．喜欢选修课F的人数为72人 D．喜欢选修课A的人数最少 60 ÷ 15% = 400（人），A正确； 选修课 A B C D E F 人数 40 60 100 C对应的人数为400 × 12% =4 8（人）， F对应的人数为400 × 18% = 72（人），C正确； E对应的人数为400 - 40 - 60 - 100 - 48 - 72 = 80（人），D正确； 360° × = 72°，B不正确。 B 题型剖析 题型四：频数和频率 【例4】某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（　　） A．2 B．0.02 C．4 D．0.04 D ∵“较差”的：50 - 28 - 15 - 5 = 2（人）， ∴能评定为“较差”的频率： = 0.04。 【变式】在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为0.8，则第5组的频数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 A ∵第一组到第四组的频率之和为0.8， ∴第五组的频率：1 - 0.8 = 0.2， ∴第五组的频数：50 × 0.2 = 10。 【变式】小花最近买了三本课外书，分别是《汉语字典》用A表示，《流行杂志》用B表示和《故事大王》用C表示。班里的同学都很喜欢借阅，在五天内小花做了借书记录如下表： ( 1 ) 在表中填写五天内每本书的借阅频数； ( 2 ) 计算五天内《汉语字典》的借阅频率。 书名 代号 借阅次数 借阅 频数 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A 3 2 2 3 4 _____ B 4 3 3 2 3 _____ C 1 2 3 2 3 _____ 14 15 11 ( 2 ) ∵总数：14 + 15 + 11 = 40， ∴五天内《汉语字典》的借阅频率： = 。 题型剖析 题型五：频数分布表与频数分布直方图 【例5】一组数据中的最小值是40，最大值是71，分析这组数据时，若取组距为3，则组数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 ∵一组数据中的最小值是40，最大值是71，取组距为3， ∴( 71 - 40 ) ÷ 3 = 10， ∴组数：11。 B 【变式】小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 则通话时间不超过15min的频率是（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 通话时间x/min 0 < x ≤ 5 5 < x ≤ 10 10 < x ≤ 15 15 < x ≤ 20 20 < x ≤ 25 频数 ( 通话次数 ) 24 16 8 10 2 ∵不超过15分钟的通话次数：24 + 16 + 8 = 48 ( 次 )， 通话总次数：24 + 16 + 8 + 10 + 2 = 60 ( 次 )， ∴通话时间不超过15min的频率： = 0.8。 D 【变式】从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图 ( 每一组含前一个边界值，不含后一个边界值 )，其中70 ~ 80分数段的条形还未画出。如果60分以上为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为________。 ∵及格的人数：60 - ( 6 + 9 ) = 45 ( 人 )， ∴估计全校成绩及格的百分率： ×100%=75%。 75% 题型剖析 题型六：确定事件与随机事件 【例6】下列事件中，是随机事件的是（　　） A．13个人中至少有2个人的生肖相同 B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 C 不可能事件 必然事件 随机事件 必然事件 【变式】汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力。下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 不可能事件 必然事件 随机事件 不可能事件 C 【变式】在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个。先从袋子中取出m ( m > 1 ) 个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A。 ( 1 ) 当事件A为必然事件时，则m = ________； ( 2 ) 当事件A为随机事件时，则m = ________。 解：( 1 ) ∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m = 4； 4 ( 2 ) ∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵m > 1， ∴m的值是2或3。 2或3 题型剖析 题型七：可能性的大小 【例7】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”。在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为________。 解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为 = 。 【变式】转动如图的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等)，当它停止转动时，指针指向标有数字________的区域的可能性最小。 解：针落在标有1的区域内的可能性为； 指针落在标有2的区域内的可能性为 =； 指针落在标有数字3的区域内的可能性是可能性为； ∵ > ，∴指针指向标有数字2的区域的可能性最小。 2 【变式】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”。其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 解：∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的可能性为 =； ②抽到“黑桃”的可能性为； ③抽到“大王或小王”的可能性为 =； ④抽到“红桃5”的概率为， ∵ > > > ，∴抽到“黑桃”的可能性最大。 B 题型剖析 题型八：频率与概率 【例8】某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（　　） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 D 【变式】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近， ∴摸出黑球的概率为0.6， ∴ = 0.6，解得：x = 6， 经检验，x = 6是原方程的解，且符合题意。 B 【变式】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。如表是活动进行中的一组统计数据： ( 1 ) 上表中的a = ________，b = ________； ( 2 ) “摸到白球的”的概率的估计值是 0.6(精确到0.1)； ( 3 ) 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 摸球的次数n 100 150 200 500 800 2000 摸到白球的频数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 ( 1 ) 上表中的a = ________，b = ________； ( 2 ) “摸到白球的”的概率的估计值是________ (精确到0.1)； ( 3 ) 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 摸球的次数n 100 150 200 500 800 2000 摸到白球的频数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 解：( 1 ) a = 59 ÷ 100 = 0.59，b = 200 × 0.58 = 116； 0.59 116 ( 3 ) 12 ÷ 0.6 - 12 = 8(个)， 答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球。 0.6 易错易混 易错点一：普查与抽样调查 易错易混 易错点二：总体、个体、样本、样本容量 易错易混 易错点三：扇形统计图中的圆心角度数 易错易混 易错点四：利用频率估计概率 易错易混 易错点五：频率与概率 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列调查适合做普查的是（ ） A．某市要了解全市小麦的生长情况 B．老师要统计本班学生一周的体育锻炼时间 C．工厂要检测一批打火机零件的质量 D．要了解全省八年级学生课外阅读情况 【详解】解：A、范围广，工作量大，不宜采用普查，只能采用抽样调查，故A选项不符合题意； B、工作量小，不具有破坏性，适合普查，故B选项符合题意； C、调查具有破坏性，适宜抽样调查，故C选项不符合题意； D、范围广，工作量大，不宜采用普查，只能采用抽样调查，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某县为了了解当地 年参加中考的 名学生的身高情况，抽查了其中 名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（   ） A． 名学生是总体 B．从中抽取的 名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查 【详解】解：A、 名学生的身高情况是总体，错误，故A选项不符合题意； B、从中抽取的 名学生的身高是总体的一个样本，正确，故B选项符合题意； C、每名学生的身高是总体的一个个体，正确，故C选项不符合题意； D、以上调查是抽样调查，正确，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）某校八年级学生英语测试，参与测试的总人数为240，根据测试结果绘制出扇形统计图，其中表示良好等级的扇形的圆心角是 ，则达到良好等级的学生有 人． 【详解】解：依题意得： （人）， 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有 ． 【详解】解：设袋中有黑球x个， 由题意得： =0.2， 解得：x=13， 经检验x=13是原方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有13个． 故答案为：13． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共 个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当 很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到 ）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 ，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【详解】（1）解： ， 故答案为： ． （2）当 很大时，观察摸到黑球的频率 ，其数值将会接近 ， 故答案为： ． （3）摸到黑球的频率 约为 ， 故摸到白球的频率约为 ， 则估计袋子中有白球 （个）， 故答案为： ． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数： （个）， 此时黑白球均为 个，摸到黑白球的可能性大小均为 ． 故答案为： ． 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）今年我市有25000名学生参加了中考，为了了解这25000名考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行分析：在这个问题中有以下四种说法：（1）500名考生是总体的一个样本；（2）500名考生数学成绩的平均数是总体平均数；（3）25000名考生是总体；（4）样本容量是500．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】本题考查的对象是25000名考生的数学成绩，故总体是25000名考生的数学成绩，故（3）错误； 个体是25000名考生中每名考生的数学成绩； 样本是500名考生数学成绩，样本容量是500，故（1）错误，（4）正确； 注意500名考生数学成绩的平均数并不代表是总体平均数，只能由样本平均数来估计总体的平均数，故（2）错误． 所以本题中正确的说法只有（4）， 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列调查方式中适合的是（　　） A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式 B．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式 C．要调查你所在班级同学的视力情况，采用抽样调查方式 D．环保部门调查京杭大运河某段水域的水质情况，采用抽样调查方式 【详解】解：A.要了解一批节能灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； B、调查全市中学生每天的就寝时间，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、要调查你所在班级同学的视力情况，适合普查，故本选项不符合题意； D、环保部门调查京杭大运河某段水域的水质情况，适宜采用抽样调查，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）一个不透明的口袋中装有红色、黑色、白色的小球共30个，小球除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现摸到红色、黑色球的频率稳定在 和 ．则口袋中白色球的个数可能是 个． 【详解】解：根据题意得摸到红色、黑色球的概率为 和 ， 所以摸到白球的概率为 ， 因为 （个）， 所以可估计袋中白色球的个数为24个． 故答案为：24． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为 ． 【详解】解：根据题意得： 40×（1﹣30%）＝28（个） 答：口袋中黄球的个数约为28个． 故答案为：28． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末） 年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计 年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超 亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图； (2)请估计 年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次； (3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？ 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为 ， 喜爱烫干丝的人数为 （人次）， 补全条形统计图如图所示， 故答案为：1000； （2） （万人次）， ∴估计 年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有 万人次； （3）∵喜爱烫干丝的人数最多，所占比例为 ， ∴游客小王领到烫干丝的概率最大． $$