精品解析： 2025年山东省济南市历城区九年级学业水平模拟测试（一）数学试题

济南市历城区中考一模2025年九年级学业水平模拟测试（一） 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为38万千米，将38万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 6. 若关于的方程无实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于两点；分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于，连接分别交于，两点，若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 4 10. 抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 代数式和代数式的值相等，则___________． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是___________． 13. 如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 14. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有___________． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则___________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 19. 根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 20. 如图，直线与相切于点，是的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，分别与交于点，连接．若的半径． （1）求的度数； （2）求的长． 21. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息： a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图： 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 7 20 2 合计 50 b．B组数据：3.4，3.5，3.6，3.6，3.7，3.7，3.8，3.8，3.9，4.0，，，，，，，，，， c．各组家庭月均用水量表： 组别 平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8 根据上述信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）50个家庭去年月均用水量的中位数是___________吨； （3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有___________个； （4）求这50个家庭去年的月平均用水量． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 23. 一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； （3）直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． 24. （1）如图1，在与中，，，连结，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求值． （3）如图3，若，，，，当的值最大时，求的值． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南市历城区中考一模2025年九年级学业水平模拟测试（一） 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为38万千米，将38万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：38万， 故选：B． 3. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形，故该选项是错误的； B、的俯视图与主视图分别是圆和长方形，故该选项是错误的； C、的俯视图与主视图都是正方形，故该选项是正确的； D、的俯视图与主视图分别是长方形和梯形，故该选项是错误的； 故选：C． 4. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得， ，，推得，根据角平分线的性质可求出的度数，即可求得的度数． 【详解】∵， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质．熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂的乘法运，乘法分配律，理解相关知识是解答关键． 利用积的乘方和幂的乘方的运算法则来求解A；根据合并同类项来求解B；根据同底数幂相乘，底数不变指数相加来求解C；根据乘法分配律来求解D． 【详解】解：A．，此项计算正确，符合题意； B．不是同类项，不能合并，此项错误，不符合题意； C．，此项计算错误，不符合题意； D．，此项计算错误，不符合题意． 故选：A． 6. 若关于的方程无实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键． 根据一元二次方程无实数根，列不等式求解即可． 【详解】解析：关于x的方程无实数根， ， 解得， 故选D． 7. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“白云山”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A ------ B ------ C ------ D ------ 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“白云山”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“白云山”的概率为， 故选D． 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 9. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于两点；分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于，连接分别交于，两点，若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，即可求解；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，平分； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 代数式和代数式的值相等，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】解：由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：1． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的求法，是解题的关键． 根据阴影区域的面积除以总面积即得． 【详解】解：∵两个阴影都是长为3，宽为2的矩形，地板是边长为的正方形，小球自由滚动，随机停留在某块方砖上的机会均等， ∴小球最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为：． 13. 如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点．将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，图形可转换成下图， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达地用时， 则乙行驶了， 乙距离A地还有． 故答案为：80． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质．设，在中，由勾股定理得，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将沿翻折，得到， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，即， 解得（不合题意，舍去）或，即， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的性质，二次根式化简以及负指数幂的性质．直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解答． 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 18. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件． 19. 根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池深（精确到0.01米）． 【答案】任务一：的长为米；任务二：水池的深约为2.44米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 20. 如图，直线与相切于点，是的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，分别与交于点，连接．若的半径． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先求得，证明和是等腰直角三角形，则，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，由（1）可知，则，，由圆周角定理可知，再证，得，可得，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形，则， ∴； 【小问2详解】 连接，由（1）可知， 则， ∵是等腰直角三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 21. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并对数据进行统计整理．下面给出了部分信息： a.50个家庭去年月均用水量频数分布表和扇形统计图： 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 7 20 2 合计 50 b．B组的数据：3.4，3.5，3.6，3.6，3.7，3.7，3.8，3.8，3.9，4.0，，，，，，，，，， c．各组家庭月均用水量表： 组别 平均用水量（单位：吨） 3 4 5.5 7 8 根据上述信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）50个家庭去年月均用水量的中位数是___________吨； （3）若该小区有1000个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有___________个； （4）求这50个家庭去年的月平均用水量． 【答案】（1）15，6 （2） （3）540 （4）这50个家庭去年的月平均用水量为吨 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，加权平均数以及用样本估计总体等知识． （1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值，再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值； （2）根据中位数的定义即可得出答案； （3）用样本估计总体即可； （4）利用加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：， 解得：， ∴， 故答案为：15，6； 【小问2详解】 解：∵一共有50组用水量数据，且A组有7个数． ∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组． ∴中位数为吨， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（个）， 故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数约有540个； 故答案为：540； 【小问4详解】 解： 答：这50个家庭去年的月平均用水量为吨． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品2包，B种食品4包； （2）选用A种食品6包，B种食品2包． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求得的范围，设总热量为，得到，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品2包，B种食品4包； 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品6包，B种食品2包． 23. 一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若点为线段上一点，且，连接，求； （3）直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求得，再代入即可求解； （2）连接，令与轴交于点，由函数解析式得，利用，而，则，即可求解； （3）令于轴交于点，得，结合勾股定理可得，即，利用数形结合，考虑点从下方往上运动，找到相应临界位置求得对应的值即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 将代入，得，即， 连接，令与轴交于点， 由一次函数的表达式知，当时，即，可得， ∴， 则， ， 则； 【小问3详解】 令于轴交于点， 当时，，解得：，即， 当时，，即在直线上， ∵，，， ∴，即， 当点与点重合时，，此时与重合，代入，得， 当点在点下方时，显然，符合题意，此时； 当点在点与点之间时，显然，故不符合题意； 当点与点重合时，代入，得，此时不存，故不符合题意； 当时，此时，但此时与无交点，故不符合题意； 由此可知，当时，与交点在上方，故不符合题意； 当时，与交点在下方，符合题意； 综上，点在直线的下方，且满足时，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，勾股定理的逆定理，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解决相关问题． 24. （1）如图1，在与中，，，连结，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求的值． （3）如图3，若，，，，当的值最大时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及相似三角形的判定和性质、解直角三角形和勾股定理． （1）根据题意得，及，即可判定，有，则有； （2）连接，设，则，由（1）知，得，则，进一步判定，则有即可； （3）以为边在上方作等腰，且，连接，，，，可得，求得，在中求得，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时可求得和，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， 故； （2）连接，如图， 设，则， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）以为边在上方作，且，，连接，，，，如图所示， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴当点A，E，D三点共线时，的值最大，最大值为， 在中，， ∴． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，进而可证明，结合坐标都，可知点的坐标为，进而求得直线的表达式为，而为直线与抛物线的交点，且在第四象限则，解方程即可求解； （3）由平移可知抛物线，如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，设，，证得，得，可求得，设直线的表达式为，可知，为方程的两个根，得，求得，进而可知点的坐标为，则，由，可知点在以为直径的圆上，可得点到轴的最大距离． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴的平行线，与的延长线交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为， 而为直线与抛物线的交点，且在第四象限 则，解得：（负值舍去）， ∴点的横坐标为； 【小问3详解】 将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点， ∴抛物线， 如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，， 设，， ∵，则， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的表达式为， 又∵，在抛物线上， 则，即，为方程的两个根， ∴， ∴ ∴直线的表达式为， 即点的坐标为，则， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴点到轴的最大距离． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等角对等边，相似三角形判定及性质，圆周角定理，抛物线与直线的交点问题等知识点，利用数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$