精品解析：2024年山东省济南市历城区中考一模数学试题

2024年九年级学业水平模拟测试 （一）数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确是（　　） A. B. C. D. 6. 每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A. 或 B. C. D. 或 8. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A B. C. D. 10. 阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：a2-4a+4=___ 12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有________个． 13. 方程的解为______． 14. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 15. 中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则货车出发______小时后与轿车相遇． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出其所有整数解． 19. 如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 21. 某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息： 将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组别 每天阅读时长（单位：分钟） 人数（单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b. 每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ，图中 ； （2）C组这部分扇形的圆心角是 °； （3）每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ，众数是 ； （4）各组每天平均阅读时长如表： 组别 A B C D 平均阅读时长（分钟） 20 45 75.5 99 求被调查学生的平均阅读时长． 22. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作 于点 E． （1）若 ，求 度数； （2）若，，求的长． 23. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，交直线 于点 C，交函数的图象于点D． ①当 时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 25. 如图所示，中，，，若D是 内一点，将线段绕点 C顺时针旋转 得到，连结． （1）①如图1，判断与的位置关系并给出证明； ②如图2，连接，当 时，请直接用等式表示线段和的数量关系； （2）如图3，O是斜边的中点，M为上方一点，且与斜边的交点在线段上，若，，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点．和点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，二次函数图象的顶点为．对称轴与直线交于点D，在直线下方抛物线上是否存在一点 M （不与点 N重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线 与线段只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级学业水平模拟测试 （一）数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可进行排除选项． 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是有圆心的圆，故不符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，俯视图是圆，故不符合题意； C、三棱柱的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，故不符合题意； D、正方体的主视图和俯视图都是正方形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 2. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得；结合平分，得到，结合，得，解答即可. 本题考查了角的平分线，平行线性质，补角的定义，熟练掌握平行线的性质，角的平分线，是解题的关键. 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴, 故选B. 4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的加法法则，数轴上的点的特点等知识．根据数轴得到，，再根据有理数的加法法则和不等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意得，． A. ∵，， ∴，故原选项错误，不合题意； B. ∵， ∴，故原选项错误，不合题意； C. ∵， ∴，故原选项错误，不合题意； D. ∵， ∴，故原选项正确，符合题意． 故选：D 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 和不是同类项，不能合并，，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 当时，的取值范围是或， 故选：A． 8. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 9. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理．连接、，如图，利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：连接、，如图， 由作法得垂直平分，垂直平分， ，， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在中，，， ． 故选：A． 10. 阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线的距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键． ①利用点到直线的距离公式求出即可；②从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为两条平行线的距离；③利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断；④求得直线与抛物线有一个交点时的m的值，即可求得直线的解析式，从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为点P到直线距离的最小值； ④利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断． 【详解】解：①直线， ∴点到直线的距离是，故①正确； ②∵直线和的k值相等，都等于 ∴直线与直线平行， 根据 “平行线间距离相等”找出直线上的一点， ∴点到直线的距离，故②正确； ③设直线向上平移m个单位与抛物线有一个交点，则平移后的直线为， 令，则， ∴，即， 解得， ∴平移后的直线为， 找出直线上一点， ∴点到直线的距离， ∴若点P是抛物线上的点，则点P到直线距离的最小值是，故③正确； ④设点是抛物线的点，到直线的距离是， 则， ∴， ∴，即， 当时，此方程无解； 当时，解得，或 ∴抛物线上存在两个点到直线的距离是； 故④正确； 所以正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有________个． 【答案】6 【解析】 【分析】设袋中红球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 由题意得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴袋中红球有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率红球数量球的总数是解题的关键． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 【答案】π 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提． 先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则货车出发______小时后与轿车相遇． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，求出两个函数解析式成为解题的关键． 先根据函数图像以及待定系数法求得两函数解析式，然后联立求解即可． 【详解】解：由待定系数法可得：货车离西昌距离与时间之间的函数关系；轿车离西昌距离与时间之间的函数关系为， 联立和，解得：． 所以货车出发后与轿车相遇． 故答案为． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的性质，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的性质进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并写出其所有整数解． 【答案】不等式组解集为：，整数解为：． 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 该不等式组的解集为：， 该不等式组的整数解为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找． 19. 如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，AB=CD， 又已知BE=DH， ∴AB-BE=CD-DH， ∴AE=CH， 在△AEF和△CHG中 ， ∴△AEF≌△CHG(SAS)， ∴EF=HG． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息： 将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组别 每天阅读时长（单位：分钟） 人数（单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b. 每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ，图中 ； （2）C组这部分扇形的圆心角是 °； （3）每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ，众数是 ； （4）各组每天平均阅读时长如表： 组别 A B C D 平均阅读时长（分钟） 20 45 75.5 99 求被调查学生的平均阅读时长． 【答案】（1）48，60 （2）72 （3）71，73 （4）被调查学生的平均阅读时长为54分钟 【解析】 【分析】（1）先求出抽样调查的学生总数，再计算即可得出答案； （2）用360度乘以C组所占的比例，即可得出答案； （3）平均每天阅读时长在的人数是16，中位数是第8和第9个数的平均线，众数为出现次数最多的数； （4）利用求平均数公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 抽样调查的学生总数为：（人） 故答案为：48，60； 【小问2详解】 C组这部分扇形的圆心角是：， 故答案为：72； 【小问3详解】 平均每天阅读时长在的人数是16，从小到大排列依次为：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85；最中间有两个数为70,72，所以中位数为：，73出现的次数最多，众数是73； 故答案为：71，73； 【小问4详解】 求被调查学生的平均阅读时长为 54分钟． 【点睛】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点A作 于点 E． （1）若 ，求 的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． （1）连接，与相切于点C，可得，又，可证，得到，又，即得到； （2）由勾股定理可得，根据得到，由此可求的长； 【小问1详解】 连接， ∵与相切于点C， ∴ ，， ∵于点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ , ∴ 【小问2详解】 ，， ， ． ， ， ， ． 23. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元 （2）当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式，利用利润1辆车的利润数量求解． （1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，根据题意列出一元一次不等式得到，设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元． 由题意，得 解得 答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元． 【小问2详解】 设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆． 由题意，得． 解得． 设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元．则 ． ∵， ∴W随x的增大而增大． ∴当时，W有最大值46万元． 答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求m，k的值； （2）过动点作平行于x轴的直线，交直线 于点 C，交函数的图象于点D． ①当 时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入可得，将代入反比例函数可得，即可得出答案； （2）①当时，点的坐标为，分别求出点、的坐标，从而即可得出的长； ②分三种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，当点与点重合时，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：直线经过点， ∴， ， 反比例函数经过， ， ； 【小问2详解】 解：①当时，点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标是， ； ②在中，当时，， 解得， ， ， 当时，， 解得， 点的坐标是， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 当点在点的左侧时，即时，， ∵， ∴， 解得：， 当点在点的右侧时，即时，， ∵， ∴， 解得：， 当点与点重合，此时点与点重合于点，不符合题意，故， 综上所述，若，取值范围为或． 25. 如图所示，中，，，若D是 内一点，将线段绕点 C顺时针旋转 得到，连结． （1）①如图1，判断与的位置关系并给出证明； ②如图2，连接，当 时，请直接用等式表示线段和的数量关系； （2）如图3，O是斜边的中点，M为上方一点，且与斜边的交点在线段上，若，，，求的长． 【答案】（1）①；证明见详解；② （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于O点，交于H点．可证，则，再证明，则，即可求证； （2）连接，由（1）得，可得是的垂直平分线，故，而，故； （3）如图，过点O作，且，连接交于点H，交于F点，连接，先证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得，继而是等腰直角三角形，则，在中，， 在中，由勾股定理可得，因此，则． 【小问1详解】 解：① 延长交于O点，交于H点． ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵； ∴， ∴； ∴； ②证明：连接， 由①得， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在等腰中，， 则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点O作，且，连接交于点H，交于F点，连接，则， ∵是等腰直角三角形，O是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴同上可得， 在中，， 在中，， ∴由勾股定理可得 ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点．和点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，二次函数图象的顶点为．对称轴与直线交于点D，在直线下方抛物线上是否存在一点 M （不与点 N重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线 与线段只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2）存在， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象与轴的交点与一元二次方程的关系，平行线的性质，分类讨论等知识思想是解决问题的关键． （1）将，，代入中，由待定系数法即可求解； （2）由抛物线的表达式可得，，，进而可求得直线的表达式为：，根据，可知，进而求得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，求解即可得的坐标； （3）分为和两种情形．当时，抛物线的顶点等于6及时，，当时，将代入抛物线解析式，的值大于等于6，从而求得结果． 【小问1详解】 解：将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 对于，当时，， 则，， 设直线的表达式为：，将，，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，中边上的高分别为，， ∵，则 ∴，即点，点到直线的距离相等， ∴， 则直线的表达式为：， 将代入，可得：，得， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或2， 当时，，即点； 小问3详解】 由平移可得：，， 当时， ∵， ∴抛物线的顶点为：， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上时，即时，只有一个公共点， ∴； 当顶点在线段下方时，没有交点，不符合题意； 当顶点在线段上方时，当时，，即在线段下方， 当时，，即在线段上方，此时只有一个公共点， ∴； 当时，顶点在线段下方， 当时，，即在线段下方， 当时，，即在线段上方，此时只有一个公共点， ∴， 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $