专题9.24 平行四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.24 平行四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实） 【题型目录】 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形...................................................1 【题型2】旋转与平行四边形...................................................3 【题型3】折叠与平行四边形...................................................3 【题型4】最值与平行四边形...................................................4 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形.........................................................5 【题型6】旋转与矩形.........................................................6 【题型7】折叠与矩形.........................................................7 【题型8】最值与矩形.........................................................7 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形.........................................................8 【题型10】旋转与菱形........................................................9 【题型11】折叠与菱形.......................................................10 【题型12】最值与菱形.......................................................10 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形.....................................................11 【题型14】旋转与正方形.....................................................12 【题型15】折叠与正方形.....................................................13 【题型16】最值与正方形.....................................................14 【考点六】中考链接 【题型17】中考链接.........................................................15 题型梳理与分类讲解 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形 1．（22-23八年级上·甘肃定西·开学考试）如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，被平行四边形截得的线段的长度与平移的距离的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向右平移个单位．若平移后的直线恰好平分的面积，则m的值是 ． 3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，将矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在上，，是的中点，连接、、． （1）求出直线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）如图，将直线沿轴的负方向平移，使其平移后的直线恰好经过点，平移后点的对应点为，点为轴上一动点，点为直线上一动点，请直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标． 【题型2】旋转与平行四边形 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【题型3】折叠与平行四边形 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 【题型4】最值与平行四边形 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在△ABC中，，，P为边上一动点，以，为一组邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形 1．（23-24九年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，D的坐标为，矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上，若点B的横坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ． 3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接、、，试说明：当点在中点时，四边形是矩形． 【题型6】旋转与矩形 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【题型7】折叠与矩形 1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 3．（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【题型8】最值与矩形 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，则线段长的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，， 轴，将菱形平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【题型10】旋转与菱形 1．（2025·河南·一模）如图，菱形的边在x轴负半轴上，点C的坐标为，将菱形绕点A旋转，点O的对应点恰好落在对角线上，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：菱形的对角线，交于点O，，，将线段绕点A旋转，使点O落在菱形的边上，点O的对应点为点P，连接，，则的面积为 ． 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 【题型11】折叠与菱形 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将矩形折叠，使点与点重合，折痕交、分别于点、． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求菱形的面积． 【题型12】最值与菱形 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． （1）证明：四边形是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，将边长为2个单位长度的正方形绕点逆时针旋转，再沿轴向上平移1个单位长度，得到正方形，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形中对角线相交于点O， （1）在图1中E是上一点，F是上一点，且，回答下列问题：可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，如何变换使变到的位置？答：_____． （2）若点E、F分别在的延长线上，并且（如图2），试比较与长度的大小并说明理由． 【题型14】旋转与正方形 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形和都是边长为2的正方形，且、相交于点，现将正方形绕点旋转，则两个正方形重叠部分的面积为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点，旋转一定角度后能与重合． （1）旋转中心是哪一点？最少旋转了多少度？ （2）若四边形是正方形，，求四边形的面积． 【题型15】折叠与正方形 1．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，，是边上的一点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，点为的中点，当点恰好落在线段上时， 求证： （1）； （2）． 【题型16】最值与正方形 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为2，是的中点，连接，是上的动点，过点作分别交，于点，，连接、，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.24 平行四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实） 【题型目录】 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形...................................................1 【题型2】旋转与平行四边形...................................................7 【题型3】折叠与平行四边形..................................................10 【题型4】最值与平行四边形..................................................13 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形........................................................16 【题型6】旋转与矩形........................................................20 【题型7】折叠与矩形........................................................23 【题型8】最值与矩形........................................................26 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形........................................................29 【题型10】旋转与菱形.......................................................32 【题型11】折叠与菱形.......................................................35 【题型12】最值与菱形.......................................................39 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形.....................................................43 【题型14】旋转与正方形.....................................................46 【题型15】折叠与正方形.....................................................49 【题型16】最值与正方形.....................................................52 【考点六】中考链接 【题型17】中考链接.........................................................56 题型梳理与分类讲解 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形 1．（22-23八年级上·甘肃定西·开学考试）如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，被平行四边形截得的线段的长度与平移的距离的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点，当移动距离是7时，直线经过，在移动距离是8时经过，则，当直线经过点，设交与，则，作于点．利用三角函数即可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点，当移动距离是7时，直线经过，当移动距离是8时经过，则， 当直线经过点，设交于，则，作于点． 直线与轴形成的角是， 又轴， ，是等腰三角形． 由勾股定理得， ． 平行四边形的面积． 故选:A． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向右平移个单位．若平移后的直线恰好平分的面积，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直线平移，中点坐标公式，连接、，则、交于点D，过点D任意作直线，分别交、于点E，F，先求出直线沿x轴向右平移个单位后，解析式为：，证明过点D的直线可以将平均分成面积相等的两部分，说明当直线经过点D时，将平均分成面积相等的两部分，把代入得：，求出m的值即可． 解：连接、，则、交于点D，过点D任意作直线，分别交、于点E，F，如图所示： 直线沿x轴向右平移个单位后，解析式为：， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴， 即， ∴过点D的直线可以将平均分成面积相等的两部分， ∴当直线经过点D时，将平均分成面积相等的两部分， 把代入得：， 解得：． 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，将矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在上，，是的中点，连接、、． （1）求出直线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）如图，将直线沿轴的负方向平移，使其平移后的直线恰好经过点，平移后点的对应点为，点为轴上一动点，点为直线上一动点，请直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标． 【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由见分析；（3）或或 【分析】（1）由题意得到点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由为的中点得到点的坐标，求出、、的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）求出直线的解析式，可得，分两种情况：当为平行四边形的边时；当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可． 解：（1）解：由题意得：，， 设直线的解析式为，将点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得：，，， 为的中点， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形； （3）解：将直线沿轴的负方向平移，平移后的直线恰好经过点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 平移后点的对应点为，， ， 解得， ， 当为平行四边形的边时， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点为轴上一动点，点为直线上一动点， ，，设， 根据点、、、这个顶点的横坐标之间的关系有： 或， 或， 或； 当为平行四边形的对角线时， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点为轴上一动点，点为直线上一动点， ，，，设， 将直线沿轴的负方向平移得到直线， ， 点与点重合， 根据点、、、这个顶点的横坐标之间的关系有： ， ， ； 综上所述，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为或或． 【点拨】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【题型2】旋转与平行四边形 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，旋转的性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．作轴，轴，得到，，由旋转的性质可知，，，，证明，利用全等三角形性质可得，，进而可得，即可解得点的坐标． 解：作轴于E，轴， ， ， ，， 在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， 点的坐标是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 解：（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 【题型3】折叠与平行四边形 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出的度数即可． 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ， 根据折叠可知，， ∴， ， ∴，故C正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）为等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型4】最值与平行四边形 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在△ABC中，，，P为边上一动点，以，为一组邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是中点，最短也就是最短，所以应该过O作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 解：设交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过O作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值 ， 故选D． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质、以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【答案】 【分析】将顺时针旋转，作等边，根据手拉手模型可知，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点T使得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形时平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中， ∴， 解得， ∴ 即的最小值为 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论找到的最小值与最大值是解题的关键． 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形 1．（23-24九年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，D的坐标为，矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上，若点B的横坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确求出平移后的坐标是解题的关键． 过点B作轴交于点E，根据坐标得出，，然后在证明，求出点B坐标，根据矩形平移后纵坐标坐标不变，求出点B平移后坐标，代入一次函数即可求解． 解：过点B作轴交于点E， ， 点A的坐标为，D的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点B的横坐标为， ， ，， ， 矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上， 平移后点B坐标变为， 把代入中， 解得：； 故选：D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ． 【答案】1或4-2 解：过点P作AD的平行线，交AB于点E，交DC于点F． ∵△ABP为等腰直角三角形，AP=BP， ∴AE=BE=AB=2， ∴AE=EP=2． 如图，在平移过程中，点P在射线PF上移动，分两种情况讨论． ①作边AD的垂直平分线，交EF于点P'，如图1所示，则P'A=P'D，此时△AP'D是等腰三角形． ∴EP'=AD=3， ∴PP'=EP'-EP=3-2=1； ②以点A为圆心，AD长为半径作弧，交EF于点P'，如图2所示，则AP'=AD=6，此时△AP'D是等腰三角形． 在Rt△AEP'中，由勾股定理，得EP'==4， ∴PP'=EP'=4-2． 综上所述，当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是1或4-2． 图1 图2 3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接、、，试说明：当点在中点时，四边形是矩形． 【答案】（1）详见分析；（2）当为的中点时，四边形是矩形，详见分析 【分析】本题考查了矩形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点． （1）根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，求出，再求出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明出四边形是矩形即可． 解：（1）解：， ， 平移得到， ， ， ， ， 即为等腰三角形； （2）当为的中点时，四边形是矩形， 理由是：，为的中点， ，， 平移得到， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【题型6】旋转与矩形 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，第2024秒时，点D在x轴的正半轴上，由此可得到点D的坐标，熟练掌握点D的变化特点是解决此题的关键． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，6次一个循环，， ∴第2024秒与起始位置夹角为， ∵与x轴负半轴夹角为， ∴与x轴正半轴夹角为， ∴点D在x轴的正半轴上， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，如图，过过点Q作于点H，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 解：如图，过点Q作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵把线段绕点D逆时针方向旋转得线段， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）6 【分析】（1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，再由勾股定理可得，从而求出． 解：（1）证明：如图，连接，    由旋转性质得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 平分． ∵， ， ∴； （2）解：连接，    ∵四边形为矩形，且矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由勾股定理得，， ． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定． 【题型7】折叠与矩形 1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据折叠和平行线的性质得到，得到，然后利用勾股定理求解即可． 解：设，则 由折叠可知 因为 所以，则 所以 在中，根据勾股定理可得， 解得， ∴． 故选：A． 【点拨】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明出． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，得到，设，则有，，在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可得到的长，，再利用勾股定理即可求出． 解：连接， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∵将折叠后得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，矩形与折叠问题，根据勾股定理列方程是解题的关键．在矩形中，，，设，则， 由折叠的性质知：，中，由勾股定理列方程即可求出的长． 解：在矩形中，，， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，，， ∴ 解得， 即的长为． 【题型8】最值与矩形 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 解：连接，， 由折叠得， ∴点B、E、D共线，即点E在上， ∴当时，最小，这时， ∵是矩形， ∴, ， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）存在，EF的长度最小值为 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短， （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形； （2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 解：（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：存在． 理由：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵当时，最短，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， 即的长度最小值为． 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，， 轴，将菱形平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理以及平移等知识，先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点D的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 解：∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴，， 又轴， ∴轴， ∴D的坐标为， ∵菱形平移，使点B与原点O重合， ∴菱形向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∴平移后点D的对应点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点D且平行于的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 解：在边长为4的菱形中，， ∴，， 将沿射线的方向平移得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点D且平行于的定直线上， ∴作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键． 根据平移的性质可得，，再在中利用勾股定理求出，根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论． 解：证明：由平移变换的性质得： ，， ，，， ， ， 四边形是菱形． 【题型10】旋转与菱形 1．（2025·河南·一模）如图，菱形的边在x轴负半轴上，点C的坐标为，将菱形绕点A旋转，点O的对应点恰好落在对角线上，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形与坐标、菱形的性质、旋转的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握图形与坐标、菱形的性质、旋转的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点C作轴于点D，过点作轴于点E，由题意易得，，则有，然后可得，，E三点共线，进而根据旋转的性质可进行求解 解：过点C作轴于点D，过点作轴于点E，如解图所示． 点C的坐标为， ，， ，． ，， ． ∴， 由旋转的性质可知：， ，即，，E三点共线． 由旋转，得， ，， ，． 点的坐标为， 故选C． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：菱形的对角线，交于点O，，，将线段绕点A旋转，使点O落在菱形的边上，点O的对应点为点P，连接，，则的面积为 ． 【答案】12或 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 由菱形的性质可得，，，可求的长，菱形的面积，分两种情况讨论由面积关系可求解． 解：菱形的对角线，交于点，，， ，，， ， 当点P在上时， ， 当点P在上时，， ， ， 故答案为：12或． 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据性质的性质得到，，可证明 即可得到结论； （2）由（1）知，，得到和是等腰直角三角形，继而得到，得出，，可证明四边形为平行四边形，即可得到结论． 解：（1）证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ，． 在和中 ， ． （2）证明：由（1）知，， 和是等腰直角三角形， ． ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 【题型11】折叠与菱形 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴图形的面积是，（此时点重合） 故选：B． 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将矩形折叠，使点与点重合，折痕交、分别于点、． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）20 【分析】（1）先利用折叠性质得到，，再证明得到，再证明四边形为平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，解方程得出答案即可． 解：（1）证明：由折叠的性质可得：， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：设，则， 四边形是矩形， ， ， ， 解得：，即， ． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定、矩形与折叠性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和折叠性质是解题的关键． 【题型12】最值与菱形 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图所示，首先由菱形性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，构建垂线段最短，可知当时，最短，即最短． 解：连接，，，如图所示： 四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴， 的最小值为． 故选：C． 【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质结合勾股定理求得，当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值，据此求解即可． 解：连接， ∵点O为对角线的中点， ∴经过点O， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在以点O为圆心，长度为的， ∴当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值， 当点在点上方时，有最小值为； 当点在点下方时，有最大值为； 故答案为：；． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． （1）证明：四边形是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 【答案】（1）见详解；（2）17，8 解：（1）  解：如图，∵，   ∴四边形是平行四边形．   分别过点A、D作于E，于F．   ∵两张矩形纸片的宽度相等，   ∴，   又∵，   ∴，   ∴是菱形；   （2）当为菱形纸片的对角线时，设．如图，   在中，，   即 ． 解得 ∴菱形的周长的最大值为 当时，菱形为正方形，宽最小值为2， 菱形的周长的最小值为； 故答案为17，8 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平移的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据正方形的性质结合勾股定理可求出，再根据平移的性质得出，最后根据求解即可． 解：∵正方形的边长为， ∴． ∵将正方形沿对角线向右平移得到正方形， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，将边长为2个单位长度的正方形绕点逆时针旋转，再沿轴向上平移1个单位长度，得到正方形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得出是等腰直角三角形，从而得到，所以，得到坐标，再利用平移得出坐标即可． 解：如图，设正方形绕点逆时针旋转后，点对应的为，过作轴于点， 由旋转的性质得：，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 坐标为， 沿轴向上平移1个单位长度， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、以及坐标的平移等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形中对角线相交于点O， （1）在图1中E是上一点，F是上一点，且，回答下列问题：可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，如何变换使变到的位置？答：_____． （2）若点E、F分别在的延长线上，并且（如图2），试比较与长度的大小并说明理由． 【答案】（1）以点O为旋转中心，逆时针旋转90度；（2）；理由见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟悉以上性质与判定是解题的关键． （1）根据图形特点即可得到答案； （2）延长交于M，根据正方形性质求出，证，推出． 解：（1）解：旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度，理由如下， 正方形中，，且， ， ， 以点O为旋转中心，逆时针旋转90度，重合； （2）解：． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型14】旋转与正方形 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，把握旋转的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，确定点在或延长线上，根据旋转的性质即可求解． 解：当顺时针旋转时，如图 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴； 当逆时针旋转，如图： 同理可得此时点的对应点在延长线上， ∴， ∴， 综上所述，对应点的坐标是或， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形和都是边长为2的正方形，且、相交于点，现将正方形绕点旋转，则两个正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 利用可证明，则，由此可得四边形面积，即可求解． 解：如图， ∵O为正方形的对角线的交点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积 ． 故答案为：1． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点，旋转一定角度后能与重合． （1）旋转中心是哪一点？最少旋转了多少度？ （2）若四边形是正方形，，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转中心是点A，最少旋转了；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 解：（1）解：由图可知，点A为旋转中心； 最少旋转了； （2）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 【题型15】折叠与正方形 1．（24-25八年级上·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，，是边上的一点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，点为的中点，当点恰好落在线段上时， 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证，再根据折叠的性质即可得出； （2）根据（1）知，即，再利用外角的性质可得出，即可得出结论． 解：（1）证明：由折叠知，， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）由（1）知， 即，， ， ， ， ． 【题型16】最值与正方形 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，正方形的性质及等边三角形的性质，根据正方形的面积求出其边长，由于是等边三角形，所以，由正方形的性质可知点即为点关于的对称点，当与重合时，最小，即最小为的长，则可求的最小值，进而可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，设与交于点， ∵正方形的面积为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 当与重合时，最小，最小为的长， ∴的和最小值为， 故选：． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为2，是的中点，连接，是上的动点，过点作分别交，于点，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 3．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B点坐标为，C点坐标为；（2）；（3）存在，，的最小值为 【分析】本题主要考查了正方形的性质，运用待定系数法求一次函数解析式以及线段最值问题，正确运用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． （1）由正方形的性质得，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接，直线与直线的交点即为点P，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出的长即可解决问题． 解：（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，轴， ∴B点坐标为，C点坐标为； （2）解：∵， ∴． 又． 设直线的解析式为， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （3）解：连接，直线与直线的交点即为点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与O关于直线对称， ∴的长即为的最小值． ∴直线与直线的交点即为点P． 设直线的解析式为：， 把点代入解析式得：， 解得，， ∴直线的解析式为：． 联立方程组，解得，， ∴点P的坐标． 过点E作轴，垂足为F， ∴． 所以的最小值为． 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$