精品解析：2025年黑龙江省大庆市一模数学试题

二0二五年大庆市升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 5. 大庆被称之为“百湖之城”．2025年元旦期间，东风新村“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”都举办了丰富的冰雪活动．甲、乙两同学分别从“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”三个湖中随机选择一个参加冰雪活动，甲、乙两同学同时选择“万宝湖”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方体的截面可能是六边形 B. 若在中，，则一定不是直角三角形 C. 有两组边分别相等的两个直角三角形全等 D. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 7. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 8. 如图， 为等边三角形，分别延长， ， 到点 ， ， ，使，连接， ，，连接 并延长，交 于点 ．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某篮球队10名队员的年龄结构如下表： 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 2 1 已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ） A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4 10. 如图，在边长为4的正方形 中， ， 分别为， 的中点，连接 ， 交于点 ，将沿 对折，得到，延长交的延长线于点 ，交于点 ，与 交于点 ．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则___________________． 12. 手工课上，丽丽打算用一块体积为的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是__________． 13. 已知关于的不等式组有且仅有 个整数解，则所有满足条件的整数 的和为_________． 14. 已知实数a，b满足，则______． 15. 已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 16. 如图，在中，，以点 为圆心，的长为半径画弧交 边于点 ．以点 为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点 ，交边于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为____________ 17. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______． 18. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中 且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车．该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米． 22. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 23. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 的坡度，，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，求电线塔 的高度（结果保留根号）． 24. 如图，在矩形 中，E，F分别是边， 上的点， ，连接 ， ， 与对角线 交于点O，且，． （1）求证 ； （2）若，求矩形 的面积． 25. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量（单位：件）与门店售价 （单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求与 的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当 为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元，直接写出 的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，菱形的顶点 的坐标为，点 在反比例函数的图象上，连接 ，过点 作交 轴于点 ，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线 的解析式； （3）直接写出的面积． 27. 如图，是 的直径，点 在 上，点 在的延长线上，且，弦 交于点 ，且，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为 轴上一动点，连接 ． （1）求抛物线的表达式； （2）当点 在线段上时，连接 ，，过点 作交直线 于点 ． ①直接写出面积的最大值及此时点 的坐标； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度， 是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点 的坐标； （3）将线段绕点 顺时针旋转 得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二五年大庆市升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是， 是正整数”是解题的关键． 【详解】解：， 故选C． 3. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是理解中心对称图形的定义并据此对每个选项进行判断． 根据中心对称图形的定义，判断四个选项中的图形绕某一点旋转后能否与自身重合． 【详解】A、绕任何一点旋转后，都不能与自身重合，所以它不是中心对称图形； B、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形； C、绕图案的中心旋转后能与自身重合，符合中心对称图形的定义，是中心对称图形； D、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 故选：C． 4. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 5. 大庆被称之为“百湖之城”．2025年元旦期间，东风新村“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”都举办了丰富的冰雪活动．甲、乙两同学分别从“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”三个湖中随机选择一个参加冰雪活动，甲、乙两同学同时选择“万宝湖”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了求概率．根据题意，列出表格是解题的关键．设用A，B，C分别表示“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”，根据题意列出表格，然后根据概率的计算法则进行计算即可． 【详解】解：设用A，B，C分别表示“万宝湖”“黎明湖”“兰德湖”， 根据题意，列出表格如下： A B C A B C 一共有9种等可能结果，其中甲、乙两同学同时选择“万宝湖”的有1种， ∴甲、乙两同学同时选择“万宝湖”的概率为． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方体的截面可能是六边形 B. 若在 中，，则 一定不是直角三角形 C. 有两组边分别相等的两个直角三角形全等 D. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了截一个几何体，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定，圆周角，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据截一个几何体，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定，圆周角的知识逐项判断即可； 【详解】解： 、正方体的截面可能是六边形，故本选项符合题意； 、若，满足，但以3、4、5为边的 是直角三角形，故本选项不符合题意； 、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选： ． 7. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即 时，； 故选：A． 8. 如图， 为等边三角形，分别延长， ， 到点 ， ， ，使，连接， ， ，连接 并延长，交 于点 ．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得，得到，作，交的延长线于点，可得，即得，最后由得到即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 9. 某篮球队10名队员的年龄结构如下表： 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 2 1 已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ） A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．先根据数据的总个数及中位数得出 、，再利用众数的定义和方差公式求解可得答案． 【详解】解：∵共有10个数据， ∴， 又∵该队队员年龄的中位数为21.5，即， ∴， ∴ ，，则这组数据的众数为21； ∵该组数据的平均数为， ∴方差为， 故选：D． 10. 如图，在边长为4的正方形 中， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， 交于点 ，将沿 对折，得到，延长交的延长线于点 ，交 于点，与 交于点 ．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①运用证明，在利用等角的余角相等即可求解； ②正方形 的边长为4，则，运用勾股定理可求得 ，再通过，即可求解； ③利用，解出，，根据勾股定理求出 ，再根据正切的定义即可求解； ④由计算，证与相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质求出，比较即可． 【详解】解：①∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别为 、 的中点， ∴，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， 由对折得：， ∴，故结论①正确； ②由①知，， ∴， ∵正方形 的边长为4，则， 在中， ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴，故结论②错误； ③∵四边形 是正方形， ∴， ∴， 由对折得：，，，， ∴， ∴， 在中，设，则，， 又∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论③正确； ④过点 作于点， 由上得， ∵对折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， 而， ∴， ∴， ∴， 而， ∴ ∵， ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④错误； ∴正确的为①③， 故选：B． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质等知识点，解题的关键是明确三角形对折后对应边、对应角的大小不变，找准对应边，角的关系求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据立方根的概念即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，熟练掌握立方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，是解题的关键． 12. 手工课上，丽丽打算用一块体积为的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是__________． 【答案】141 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，根据圆锥体积是圆柱体积的三分之一列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设圆柱的体积为， ， 解得， ∴圆柱的体积是， 故答案为：141． 13. 已知关于 的不等式组有且仅有 个整数解，则所有满足条件的整数 的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键． 先求解不等式组，根据不等式组有且仅有 个整数解得，进而得到满足条件的整数 的值，再求和即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有 个整数解， ， ， 所有满足条件的整数 的值分别为，， ， ， ， 所有满足条件的整数 的和为， 故答案为： ． 14. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值是解题的关键．先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 故答案为：1． 15. 已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出 时，或 时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当 时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当 时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 16. 如图，在 中，，以点 为圆心，的长为半径画弧交 边于点 ．以点 为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点 ，交 边于点 ，若，则图中阴影部分的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，易证 是等边三角形，即可得到，根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接 ， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 17. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______． 【答案】127 【解析】 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个）， .....． ∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）， 故答案为：127． 【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 18. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中 且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为__________． 【答案】或3##3或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且 且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且 且时，抛物线的开口向上， 当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大， 则当时， 取得最小值，最小值为， 当时， 取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小， 则当时， 取得最大值，最大值为， 当时， 取得最小值，最小值为4， 所以， 解得 ，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，先计算负整数指数幂，立方根，零次幂，再计算加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简分式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车．该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了 天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米． 【答案】正常路段盾构机每天能掘进 米． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，正常路段盾构机每天能掘进 米，则全风化泥岩和粉质粘土路段，每天每天能掘进千米，根据打通这段路段比正常路段施工多用了 天列方程，求解即可． 【详解】解：设正常路段盾构机每天能掘进 米，则全风化泥岩和粉质粘土路段，每天每天能掘进千米，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：正常路段盾构机每天能掘进 米． 22. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 【答案】（1）①40；54；②故补全条形统计图如下： （2）160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； （2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了名学生． 扇形统计图中圆心角． 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为名， 【小问2详解】 解：名， 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人． 23. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 的坡度，，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为，求电线塔 的高度（结果保留根号）． 【答案】电线塔 的高度为 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据坡度比得，根据锐角三角函数得，所以，进而得，，过点 作，垂足为 ，则，，设，则，根据解直角三角形的知识得，，又，列出关于 的一元一次方程，解出 的值，最后根据即可得解． 【详解】解：由题意，得， 斜坡 的坡度， ， 在 中，， ， ， ，， 如图，过点 作，垂足为 ， 则，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 电线塔 的高度为． 24. 如图，在矩形 中，E，F分别是边， 上的点， ，连接 ， ， 与对角线 交于点O，且，． （1）求证 ； （2）若，求矩形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）由得，即可由证，可得； （2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形 的面积． 25. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量 （单位：件）与门店售价 （单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求 与 的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当 为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） 与 的函数关系式为 （2）①当 为19时，两种销售方式的月利润总和达到最大，最大利润为7300元；② 的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． （1）根据门店的月销量单位：件)与门店的售价单位：元件，满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式； （2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，两种销售方式月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润； ②根据题意，可以得到两种销售方式月利润差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：设 ，由表格信息可得：， 解得， 与 的函数关系式为（）； 【小问2详解】 解：设门店销售利润为元，网络销售利润为元，由题意得： ， ①设两种销售方式的月利润总和为元，根据题意， 得 ， ， 当时，最大，最大值为7300元， 答：当 为19时，两种销售方式的月利润总和达到最大，最大利润为7300元； ② 理由：设门店销售的月利润与网络销售的月利润的差为元， 令，则， 解得，， 当时，的值不小于800， 又， 门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元时， 的取值范围是． 26. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，菱形的顶点 的坐标为，点 在反比例函数的图象上，连接 ，过点 作交 轴于点 ，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线 的解析式； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由 的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线 的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线 的解析式 （3）先求直线 解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 【小问1详解】 解： 的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解： 四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线 的解析式为， 过，， ， 解得， 直线 解析式为：； 【小问3详解】 解：设直线 的解析式为， 过， ， 解得， 直线 解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 27. 如图，是 的直径，点 在 上，点 在的延长线上，且，弦 交于点 ，且，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵是 的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是 的半径， ∴ 是 的切线． （2） 证明：如图，连接 ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，则可得到，然后根据等边对等角得到．即可得到，证明结论； （2）连接 ，即可得到，然后根据同角或等角的补角相等得到，再得到，即可证明，根据对应边成比例解题即可； （3）根据，即可得到，然后推导，，根据对应边成比解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ，． ∵， ∴． ∴． ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交 轴于点，为 轴上一动点，连接 ． （1）求抛物线的表达式； （2）当点 在线段上时，连接 ， ，过点 作交直线 于点 ． ①直接写出面积的最大值及此时点 的坐标； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移个单位长度， 是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点 的坐标； （3）将线段绕点 顺时针旋转 得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）①面积的最大值为，此时点 的坐标为；②点 的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②当时，在中，，用解直角三角形的方法求出点H的坐标，即可求解；当点在y轴右侧时，同理可解； （3）由题意可分：当点M在线段上时，当点M在点A的左侧时，然后分别画出函数图象，根据旋转的性质及二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：①由题意知，点、、， 设直线 的表达式为： ， ∴，解得：， ∴直线 的表达式为：， 同理可得直线 的表达式为：， 连接 ， ∵，则面积面积， 则直线的表达式为：， 联立直线和直线 的表达式得：， 解得：， 则点， 则， 故面积的最大值为，此时，则点； ②由可知：是等腰直角三角形，即， ∴该抛物线沿射线 方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当时，如图： 当点P在y轴左侧时， 设 交x轴于点H，过点H作于点N， 在中，，，， 则设，则， 则，则， 则， 则点， ∴， 设直线的表达式为：， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）， 即点； 当点在y轴右侧时， 同理可得直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点； 【小问3详解】 解：由题意可分：当点M在线段上时，且与点O重合，将线段绕点 顺时针旋转 得到线段，此时点与点B重合，符合题意； 当点M不与点O重合时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴当时，线段与抛物线只有一个公共点； 当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： ∴， ∴， 解得：（正根舍去）， 当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示： 由旋转可知：，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线只有一个公共点； 综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $