精品解析：2025年江苏省盐城市建湖县部分校中考第一次检测数学试卷

二〇二五年第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：的立方根是． 故选：A 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方计算，单项式乘法、合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A，，原式计算错误，不符合题意； B，，原式计算错误，不符合题意； C，，原式计算错误，不符合题意； D，，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 据网络平台数据，截至3月1日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破143亿元，143亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确的确定的值即可． 【详解】解：解：143亿． 故选D． 4. 为了了解某市参加中考的67000名学生的身高情况，抽查了其中1800名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ） A. 1800名学生的身高情况是总体的一个样本 B. 67000名学生的身高情况是总体 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是1800 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行逐项判断即可． 本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，理解总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：A、1800名学生的身高情况是总体的一个样本，正确，故本选项不符合题意； B、67000名学生的身高情况是总体，正确，故本选项不符合题意； C、每名学生的身高情况是总体的一个个体，原说法错误，故本选项符合题意； D、样本容量是1800，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 6. 三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（ ） A. 15 B. 21 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解；设此三角形第三边长为x， ∵三角形的两边长分别是9、17， ∴， ∴， 观察四个选项，此三角形的第三边的长不可能是8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，再由角平分线的定义可得，，从而得到，，进而得到，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，点、在同一象限，则 D. 若，点、在不同象限，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】解：A．若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故 A 错误，不符合题意； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于 0 也可能大于 0 ，故 B 错误，不符合题意； C．若，点在同一象限，则随的增大而减小，所以，故 C 正确，符合题意； D．若，点在不同象限，则，故D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解答关键是明确十位上的数字表示几个十．一个两位数，十位上的数字是y，表示y个十，即，个位上的数字是x，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为． 故答案为：． 10. 在实数范围内分解因式： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因数3，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 11. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有12个， 故答案为：12． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点D，则的周长为 ________． 【答案】18 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 已知是二元一次方程组的解，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为6． 故答案为：6． 14. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向左平移3个单位，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案．正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点， ∵将点向左平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为，即． 故答案为： 15. 如图，是半圆的直径，点是弧上的一点，，则的度数为________度． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 由圆的内接四边形的性质求得，再由圆周角定理得出，由三角形内角和定理进而可直接答案． 【详解】解：∵是半圆的直径， ， ∵， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值，再由均为等腰直角三角形，可得，可证，根据对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值． 由题意得：均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的运算．掌握二次根式的性质、特殊角三角函数值、零指数幂、是解题的关键． 分别计算乘方，零整数指数幂，三角函数值及二次根式的化简，再计算即可． 【详解】解： 18. 求满足不等式组的所有整数解之和． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的整数解，求其和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 所以不等式组的整数解之和为． 19. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 22. 近来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对款聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100． 抽取的对、款聊天机器人的评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有180人对款聊天机器人进行评分，240人对款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数． 【答案】（1） （2）见详解 （3）54 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，统计图，样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）由款评分数据中可知等级“满意”的有 6 份，则“满意”所占的百分比为，由评分统计表中可知，款的“非常满意”所占百分比为，最后由扇形统计图可得出的数据；把款的评分数据从小到大排列找到中间两个数据求其平均值；款数据中出现次数最多的就是众数． （2）比较两款的平均数，中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断． （3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数． 【小问1详解】 解：由题意得，，即， ， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ， 故中位数， 在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数； 故答案为：； 【小问2详解】 解：款聊天机器人更受用户喜爱， 理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人． 23. 已知：如图，为正方形的对角线． （1）在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）连接，设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，在中，可得，再由为的直径，可得，然后根据，可求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为r，则，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即点到的距离为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1）点到地面的距离约为 （2）一辆宽为、高为的货车可利通过门口，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，得到，利用三角函数解答即可； 当货车靠右侧行驶，则车身到用机的距离，作，交于，作，证四边形为矩形，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图， 由题意得：，，， ，，， 四边形为矩形， ， 在中， ， ， 即点到地面的距离约为； 【小问2详解】 一辆宽为、高为的货车可利通过门口． 理由： 当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离，作，交于，作， 又， 四边形为矩形， 在中，，， ， 货车高度 综上，一辆宽为、高为的货车可利通过门口． 26. 问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考： 【解析】 【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； （类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； （延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】（探究发现）解：， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． （类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（探究发现）可得：， ， 解得：； （延伸思考）解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． （1）求该抛物线的表达式； （2）是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解； （2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴可设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 在中，， ∴， ∴或0（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点E的坐标为； ②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则， ∵点，， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 设点E的坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或0（舍去）， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台数据，截至3月1日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破143亿元，143亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为了了解某市参加中考的67000名学生的身高情况，抽查了其中1800名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ） A. 1800名学生的身高情况是总体的一个样本 B. 67000名学生的身高情况是总体 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是1800 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（ ） A. 15 B. 21 C. 8 D. 9 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 10 8. 已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，点、在同一象限，则 D. 若，点、在不同象限，则 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，则这个两位数为______ 10. 在实数范围内分解因式： _____． 11. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点D，则的周长为 ________． 13. 已知是二元一次方程组的解，则的值为________． 14. 在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向左平移3个单位，得到点，则点的坐标为________． 15. 如图，是半圆的直径，点是弧上的一点，，则的度数为________度． 16. 如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 求满足不等式组的所有整数解之和． 19. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 22. 近来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对款聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100． 抽取的对、款聊天机器人的评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有180人对款聊天机器人进行评分，240人对款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数． 23. 已知：如图，为正方形的对角线． （1）在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，求的长． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求点到的距离． 25. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 26. 问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． （1）求该抛物线的表达式； （2）是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $