精品解析：天津市蓟州区擂鼓台中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

擂中2024-2025学年高二第二学期第一次 数学试题 一、单选题： 1. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数求瞬时速度即可 【详解】∵， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】选项A. ,故选项A不正确. 选项B. ,故选项B不正确. 选项C. ,故选项C不正确. 选项D. ,故选项D正确. 故选：D 3. 若，则等于 A. B. C. D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【详解】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念． 解：==，故选A． 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在等式两边求导，令，可求得的值，可得出的表达式，代值计算可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，解得，所以，， 因此，. 故选：A. 6. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域为, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 7. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得在上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 9. 直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，根据切线所过的点可求，从而可求直线的倾斜角. 【详解】，设切点为，切线的倾斜角为， 则且，故， 故，故， 故选：B 二、填空题： 10. 已知函数在处的导数，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数导数，再代入求值即得. 【详解】由，得 ， ，得 故答案为：1 11. 函数在处有极值10，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数 ∴， 又∵函数，当时有极值10， ∴，∴或 当时，有不等的实根满足题意； 当时，有两个相等的实根，不满足题意； ∴ 【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 12. 若函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，函数的导数在R上恒大于等于零即可，，分离参数即可. 【详解】因为函数在R上无极值点，故函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，又，所以. 【点睛】本题主要考查了函数单调性，极值，函数的导数，属于中档题. 13. 如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是________. 【答案】##-0.5 【解析】 分析】利用导数求函数单调区间，由最大值得值，结合单调性可求最小值. 【详解】，则， 令，得或. 当时，，则为增函数； 当时，，则为减函数. ∴当时，取得最大值为a，得， 又，. ∴在上，的最小值为. 故答案为：. 14. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，将方程有解问题转化为函数有零点问题，进而利用导数研究函数的单调性和极值，找到使函数有零点的的范围 【详解】设，则. ①若，则，为上的增函数. ∵时， ∴有且只有一个零点，即此时方程有解. ②若，令，得，即在上为增函数； 令，得，即在上为减函数. 要使函数有零点，需，即，解得. ∴时，有零点，即此时方程有解. 综上所述，. 故答案为 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，然后数形结合求解． 15. 已知，则下列正确的为_________. ①曲线在处的切线平行于轴 ②的单调递减区间为 ③的极小值为 ④方程没有实数解 【答案】①③ 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程，检验①；结合导数与单调性及极值关系可检验②③；结合函数性质即可检验④． 【详解】因为且，对函数求导得， 所以，， 所以曲线在处的切线斜率，即切线平行于轴，①正确； 令，得，令，得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，， 所以当时，函数取得极小值为，②错误，③正确； 当时，，当时，，且，故的图象与直线有一个交点， 所有方程有一个实数解，从而④错误． 故答案为：①③． 三、解答题： 16. 已知函数，曲线在点处切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间，并求的极大值. 【答案】（1） （2）函数在单调递增；函数在单调递减；极大值为 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得实数的值； （2）利用导数的单调性和极值知识即可求解. 【小问1详解】 ， 曲线在点处的切线方程为， ，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， . 由解得，或，此时函数在单调递增； 由解得，此时函数在单调递减. 故当时，函数取得极大值，极大值为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，求证即可求证； （2）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可； （3）计算平面的法向量，再计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 则，则， 又平面，故平面； 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）可知，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 所以， 则二面角的余弦值为. 18. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3). 【解析】 【详解】试题分析： （1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值； （2），则，分类讨论可得： ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，函数在上单调递增； （3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零” 结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：. 试题解析： （1）的定义域为， 当时，，， 3 — 0 + 极小 所以的极小值是，没有极大值； （2）， ， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，上， 所以，函数在上单调递增； （3）“对内任意一个，都有成立”等价于 “函数在上的最小值大于零” 由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以，解得； ②当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为可得， 因为，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以最小值为，由可得，所以； ④当，即时，可得最小值为， 因为，，所以， 故，恒成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 擂中2024-2025学年高二第二学期第一次 数学试题 一、单选题： 1. 一质点做直线运动，若它所经过路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则等于 A. B. C. D. 以上都不是 4. 若曲线在点处切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调增区间为（ ） A B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 10. 已知函数在处的导数，则a的值为________． 11. 函数在处有极值10，则的值为________． 12. 若函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________. 13. 如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是________. 14. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是__________． 15. 已知，则下列正确的为_________. ①曲线在处的切线平行于轴 ②的单调递减区间为 ③的极小值为 ④方程没有实数解 三、解答题： 16. 已知函数，曲线在点处切线方程为. （1）求实数值； （2）求的单调区间，并求的极大值. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 18. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$