章末检测试卷(三) 概率-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第3章 <<< 章末检测试卷(三) 一、单项选择题 1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,则P(3≤X≤5)等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 √ 因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以正态曲线关于直线x=3对称, 又P(X<1)=0.1,所以P(X>5)=0.1, 则P(3≤X≤5)===0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,基本事件总数n=,其中有3张A包含的基本事件个数 m=,所以有3张A的概率P==. 2.从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.已知随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,则D(2ξ)等于 A.3 B.6 C.12 D.24 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2, ∴E(ξ)=8p=2,解得p==, ∴D(ξ)=8××=, ∴D(2ξ)=4D(ξ)=4×=6. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是 A. B. C. D. √ 17 18 19 ∵事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现0次6点向上”, ∴至少出现一次6点向上的概率P=1-=1-=. 5.设随机变量X的分布列如下表所示,则P(|X-3|=1)等于 A. B. C. D. X 1 2 3 4 P m √ 由随机变量分布列的性质知, m=1---=, 则P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶,已知此步枪每次只装3发子弹,若命中目标或子弹打完,则停止练习.新兵第一枪命中靶标的概率为0.7,第二枪命中靶标的概率为0.4,第三枪命中靶标的概率为0.3,则在已知靶标被击中的条件下,士兵开第二枪命中的概率为 A. B. C. D. √ 17 18 19 记事件A为“士兵第一次击中靶标”,B为“士兵第二次击中靶标”,C为“士兵第三次击中靶标”,D为“靶标被击中”,则P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.3×0.4+0.3×0.6×0.3=0.874, P(B)=0.3×0.4=0.12, 所以P(B|D)====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时从中任取3个来使用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球,则第二次取出的球都是新球的概率为 A. B. C. D. 17 18 19 √ 令Ai表示第一次任取3个球使用时,取出i个新球(i=0,1,2,3),B表示“第二次任取的3个球都是新球”, 则有P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==, 根据全概率公式,第二次取到的球都是新球的概率为 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1, 0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=“|a-b|的取值”,则E(ξ)为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于对称轴在y轴左侧,故-<0,故a,b同号, 样本点总数为3×3×7×2=126. ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==, P(ξ=1)==,P(ξ=2)==. 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 17 18 19 二、多项选择题 9.离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 A.E(X)=2 B.E(Y)=4 C.D(X)=2.8 D.D(Y)=14 X 0 1 2 4 5 P q 0.3 0.2 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 由离散型随机变量X的分布列的性质, 得q=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2, 则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1=2, D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.2+(4-2)2×0.2+(5-2)2×0.1=2.8,所以A,C正确; 因为离散型随机变量Y满足Y=2X+1, 所以E(Y)=2E(X)+1=4+1=5,D(Y)=22D(X)=4×2.8=11.2,所以B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球,则下列结论中正确的有 A.从中任取3个球,恰有1个白球的概率是 B.从中有放回地取球6次,每次任取1个球,则取到红球的次数的方差为 C.现从中不放回地取球2次,每次任取1个球,则在第一次取到红球后,第二 次再次取到红球的概率为 D.从中有放回地取球3次,每次任取1个球,则取到两次红球的概率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 恰有1个白球的概率P==,故A正确; 每次任取1个球,取到红球的次数X~B,其方差为6××=, 故B正确; 设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球},则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==,故C错误; 每次取到红球的概率P=,所以有放回地取球3次,每次任取1个球,取到两次红球的概率为=,故D正确. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知X~N(μ,σ2),f(x)=,x∈R,则 A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1 B.函数f(x)的图象关于直线x=μ对称 C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ) D.函数F(x)=P(X>x)在R上是增函数 √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A,曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1,所以A不正确; 选项B,f(x+μ)=, f(μ-x)= 所以f(x+μ)=f(μ-x), 所以函数f(x)的图象关于直线x=μ对称,所以B正确; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项C,因为P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ), 所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ), 所以C正确; 选项D,由正态分布密度曲线可知,当x越大时,P(X>x)越小.即函数F(x)=P(X>x)随x的增大而减小,是减函数,所以D不正确. 17 18 19 三、填空题 12.随着互联网的发展,网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤,假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7,每箱苹果在运输中互不影响,则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为　　　　.  0.42 由题意得,所求概率为 ×0.7×(1-0.7)=0.42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色,每个格子涂一种颜色,记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”,事件B为“3个格子 的颜色均不相同”,则P(B|A)=　　　　.  17 18 19       用4种颜色给3个格子涂色,方法种数为43=64, 若相邻2个格子颜色不同,先在中间的格子中任选1种颜色涂色,两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可, 所以“相邻的2个格子颜色不同”的涂色方法种数为4×32=36, 则P(A)==. 事件AB为“3个格子的颜色均不相同”,则P(AB)==, 由条件概率公式可得P(B|A)==×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.一年之计在于春,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n(n∈N+)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n=　　　　时,有3个坑要补播种 的概率最大,最大概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5或6 17 18 19 对一个坑而言,要补播种的概率 P=+=, 所以补播种坑的数量X服从二项分布B, 则有3个坑要补播种的概率为·=.要使最大, 只需 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得5≤n≤6且n∈N+,故n=5,6, 因为==. 所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 15.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X~N(95,225). (1)试求考试成绩X位于区间[65,125]内的概率; 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵X~N(95,225), ∴μ=95,σ=15. ∵μ-2σ=95-2×15=65, μ+2σ=95+2×15=125, 且P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, ∴P(65≤X≤125)≈0.954 5. (2)若这次考试共有3 000名考生,试估计考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数. 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵μ-σ=95-15=80,μ+σ=95+15=110, 且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, ∴P(80≤X≤110)≈0.682 7, ∴考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数为3 000×0.682 7≈2 048. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动. (1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的所有可能取值为0,1,2, 依题意得P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. ∴X的分布列为 17 18 19 X 0 1 2 P 设“甲、乙都不被选中”为事件C, 则P(C)===. ∴所求概率为P()=1-P(C)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; 17 18 19 女生乙被选中的概率P(B)===; 在男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率 P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.某企业因技术升级,决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后,为了解员工对新绩效方案是否满意,决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查: 一个袋子中装有三个大小相同的小球,其中1个黑球,2个白球,企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球,每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同,则按方式Ⅰ回答问卷,否则按方式Ⅱ回答问卷”. 方式Ⅰ:若第一次摸到的是白球,则在问卷中画“○”,否则画“×”; 方式Ⅱ:若你对新绩效方案满意,则在问卷中画“○”,否则画“×”. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当所有员工完成问卷调查后,统计画○,画×的比例.用频率估计概率,由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满 意度=×100%. (1)若该企业某部门有9名员工,用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数,求X 的数学期望; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 每次摸到白球的概率为,摸到黑球的概率为, 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 P=××=, 由题意可得,该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数X~B, 所以X的数学期望E(X)=9×=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该企业的所有调查问卷中,画“○”与画“×”的比例为4∶5,试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”,事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”,事件C为“在问卷中画○”. 由(1)知P(A)=,P(B)=1-P(A)=,P(A)P(C|A)=P(AC)=×=. 因为P(C)==, 由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B), 则=+P(C|B), 解得P(C|B)==0.4, 故根据调查问卷估计该企业员工对新绩效方案的满意度为40%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.为提升球队的射门技术,某足球队进行一次足球定点射门测试,规定每人最多踢3次,每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分,在B处射进一球得2分,否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过测试,立即停止射门,否则应继续射门,直到踢完三次为止.现有两种射门方案,方案1:先在A处踢一球,以后都在B处踢;方案2:都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为,在B处射门的命中率为. (1)若甲队员选择方案1,求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E(X); 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设甲队员在A处命中的事件为A,在B处命中的事件为Bi(i=1,2,3), 有P(A)=,P(Bi)=, X的所有可能值为0,2,3,4, P(X=0)=P()=P()P()P()=×=, P(X=2)=P(B1)+P(B2)=××+××=, P(X=3)=P(A)=, P(X=4)=P(B1B2)=×=, 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 17 18 19 X 0 2 3 4 P 数学期望E(X)=0×+2×+3×+4×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 17 18 19 设甲队员选择方案1通过测试的概率为P1, 选择方案2通过测试的概率为P2, 由(1)知,P1=P(X=3)+P(X=4)=+=, P2=P(B1B2)+P(B2B3)+P(B1B3)=×+××+××=, 显然P2>P1, 所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如下. 17 18 19 AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 (1)从空气质量指数在[0,50],(50,100]内的20天中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数, 则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为 y= 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是,,,,,,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. ①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元,求X的分布列; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的所有可能取值为0,220,1 480, P(X=0)=P(0≤x≤100)==, P(X=220)=P(100<x≤250)==, P(X=1 480)=P(250<x≤300)==. 则X的分布列为 17 18 19 X 0 220 1 480 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①知E(X)=0×+220×+1 480×=302(元), 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)=9 060(元). 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元,Y的所有可能取值为0,220,1 480, 则P(Y=0)=+=, P(Y=220)=++=, P(Y=1 480)=. 所以E(Y)=0×+220×+1 480×=320(元). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以该企业7月与8月因空气质量造成的经济损失总额为320×(31+31) =19 840(元). 因为19 840+9 060=28 900>28 800, 所以该企业这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 17 18 19 第一章 <<< $$ 章末检测试卷(三)　[时间:120分钟　分值:150分] 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,则P(3≤X≤5)等于(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案　D 解析　因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),所以正态曲线关于直线x=3对称, 又P(X<1)=0.1,所以P(X>5)=0.1, 则P(3≤X≤5)== =0.4. 2.从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,基本事件总数n=,其中有3张A包含的基本事件个数m=,所以有3张A的概率P==. 3.已知随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2,则D(2ξ)等于(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 答案　B 解析　随机变量ξ~B(8,p),且E(ξ)=2, ∴E(ξ)=8p=2,解得p==, ∴D(ξ)=8××=, ∴D(2ξ)=4D(ξ)=4×=6. 4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现0次6点向上”, ∴至少出现一次6点向上的概率P=1-=1-=. 5.设随机变量X的分布列如下表所示,则P(|X-3|=1)等于(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 答案　D 解析　由随机变量分布列的性质知, m=1---=, 则P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=. 6.一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶,已知此步枪每次只装3发子弹,若命中目标或子弹打完,则停止练习.新兵第一枪命中靶标的概率为0.7,第二枪命中靶标的概率为0.4,第三枪命中靶标的概率为0.3,则在已知靶标被击中的条件下,士兵开第二枪命中的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记事件A为“士兵第一次击中靶标”,B为“士兵第二次击中靶标”,C为“士兵第三次击中靶标”,D为“靶标被击中”,则P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.3×0.4+0.3×0.6×0.3=0.874,P(B)=0.3×0.4=0.12, 所以P(B|D)====. 7.盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时从中任取3个来使用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球,则第二次取出的球都是新球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　令Ai表示第一次任取3个球使用时,取出i个新球(i=0,1,2,3),B表示“第二次任取的3个球都是新球”,则有P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,根据全概率公式,第二次取到的球都是新球的概率为 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×+× =. 8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=“|a-b|的取值”,则E(ξ)为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于对称轴在y轴左侧,故-<0,故a,b同号,样本点总数为3×3×7×2=126. ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==, P(ξ=1)==,P(ξ=2)==. 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 4 5 P q 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　　) A.E(X)=2 B.E(Y)=4 C.D(X)=2.8 D.D(Y)=14 答案　AC 解析　由离散型随机变量X的分布列的性质, 得q=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2, 则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1=2, D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.2+(4-2)2×0.2+(5-2)2×0.1=2.8,所以A,C正确; 因为离散型随机变量Y满足Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=4+1=5,D(Y)=22D(X)=4×2.8=11.2,所以B,D错误. 10.已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球,则下列结论中正确的有(　　) A.从中任取3个球,恰有1个白球的概率是 B.从中有放回地取球6次,每次任取1个球,则取到红球的次数的方差为 C.现从中不放回地取球2次,每次任取1个球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为 D.从中有放回地取球3次,每次任取1个球,则取到两次红球的概率为 答案　ABD 解析　恰有1个白球的概率P==,故A正确;每次任取1个球,取到红球的次数X~B,其方差为6××=,故B正确;设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球},则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==,故C错误;每次取到红球的概率P=,所以有放回地取球3次,每次任取1个球,取到两次红球的概率为=,故D正确. 11.已知X~N(μ,σ2),f(x)=,x∈R,则(　　) A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1 B.函数f(x)的图象关于直线x=μ对称 C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ) D.函数F(x)=P(X>x)在R上是增函数 答案　BC 解析　选项A,曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1,所以A不正确; 选项B,f(x+μ)=, f(μ-x)= 所以f(x+μ)=f(μ-x), 所以函数f(x)的图象关于直线x=μ对称,所以B正确; 选项C,因为P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ), 所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ), 所以C正确; 选项D,由正态分布密度曲线可知,当x越大时,P(X>x)越小.即函数F(x)=P(X>x)随x的增大而减小,是减函数,所以D不正确. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.随着互联网的发展,网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤,假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7,每箱苹果在运输中互不影响,则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为　　　　.  答案　0.42 解析　由题意得,所求概率为 ×0.7×(1-0.7)=0.42. 13.从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色,每个格子涂一种颜色,记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”,事件B为“3个格子的颜色均不相同”,则P(B|A)=　　　　.  答案　 解析　用4种颜色给3个格子涂色,方法种数为 43=64, 若相邻2个格子颜色不同,先在中间的格子中任选1种颜色涂色,两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可, 所以“相邻的2个格子颜色不同”的涂色方法种数为4×32=36,则P(A)==. 事件AB为“3个格子的颜色均不相同”,则P(AB)==, 由条件概率公式可得P(B|A)==×=. 14.一年之计在于春,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n(n∈N+)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n=　　　　时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为　　　　.  答案　5或6　 解析　对一个坑而言,要补播种的概率 P=+=, 所以补播种坑的数量X服从二项分布B, 则有3个坑要补播种的概率为·=.要使最大, 只需 解得5≤n≤6且n∈N+,故n=5,6, 因为==. 所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为. 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X~N(95,225). (1)试求考试成绩X位于区间[65,125]内的概率;(6分) (2)若这次考试共有3 000名考生,试估计考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数.(7分) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 解　∵X~N(95,225), ∴μ=95,σ=15. (1)∵μ-2σ=95-2×15=65, μ+2σ=95+2×15=125, 且P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, ∴P(65≤X≤125)≈0.954 5. (2)∵μ-σ=95-15=80,μ+σ=95+15=110, 且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, ∴P(80≤X≤110)≈0.682 7, ∴考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数为3 000×0.682 7≈2 048. 16.(15分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动. (1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(6分) (2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(4分) (3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).(5分) 解　(1)X的所有可能取值为0,1,2, 依题意得P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C, 则P(C)===. ∴所求概率为P()=1-P(C)=1-=. (3)女生乙被选中的概率P(B)===; 在男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率 P(B|A)===. 17.(15分)某企业因技术升级,决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后,为了解员工对新绩效方案是否满意,决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查: 一个袋子中装有三个大小相同的小球,其中1个黑球,2个白球,企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球,每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同,则按方式Ⅰ回答问卷,否则按方式Ⅱ回答问卷”. 方式Ⅰ:若第一次摸到的是白球,则在问卷中画“○”,否则画“×”; 方式Ⅱ:若你对新绩效方案满意,则在问卷中画“○”,否则画“×”. 当所有员工完成问卷调查后,统计画○,画×的比例.用频率估计概率,由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度=×100%. (1)若该企业某部门有9名员工,用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数,求X的数学期望;(7分) (2)若该企业的所有调查问卷中,画“○”与画“×”的比例为4∶5,试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.(8分) 解　(1)每次摸到白球的概率为,摸到黑球的概率为, 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 P=××=, 由题意可得,该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数X~B, 所以X的数学期望E(X)=9×=4. (2)记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”,事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”,事件C为“在问卷中画○”. 由(1)知P(A)=,P(B)=1-P(A)=, P(A)P(C|A)=P(AC)=×=. 因为P(C)==, 由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B), 则=+P(C|B), 解得P(C|B)==0.4, 故根据调查问卷估计该企业员工对新绩效方案的满意度为40%. 18.(17分)为提升球队的射门技术,某足球队进行一次足球定点射门测试,规定每人最多踢3次,每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分,在B处射进一球得2分,否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过测试,立即停止射门,否则应继续射门,直到踢完三次为止.现有两种射门方案,方案1:先在A处踢一球,以后都在B处踢;方案2:都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为,在B处射门的命中率为. (1)若甲队员选择方案1,求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E(X);(9分) (2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.(8分) 解　(1)设甲队员在A处命中的事件为A,在B处命中的事件为Bi(i=1,2,3), 有P(A)=,P(Bi)=, X的所有可能值为0,2,3,4, P(X=0)=P()=P()P()P() =×=, P(X=2)=P(B1)+P( B2) =××+××=, P(X=3)=P(A)=, P(X=4)=P(B1B2)=×=, 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 P 数学期望E(X)=0×+2×+3×+4× =. (2)设甲队员选择方案1通过测试的概率为P1,选择方案2通过测试的概率为P2, 由(1)知,P1=P(X=3)+P(X=4)=+=, P2=P(B1B2)+P(B2B3)+P(B1B3)=×+××+××=,显然P2>P1, 所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大. 19.(17分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如下. AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 (1)从空气质量指数在[0,50],(50,100]内的20天中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;(5分) (2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为 y= 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是,,,,,,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. ①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元,求X的分布列;(5分) ②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由.(7分) 解　(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数,则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=. (2)①X的所有可能取值为0,220,1 480, P(X=0)=P(0≤x≤100)==, P(X=220)=P(100<x≤250)==, P(X=1 480)=P(250<x≤300)==. 则X的分布列为 X 0 220 1 480 P ②由①知E(X)=0×+220×+1 480×=302(元), 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)=9 060(元). 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元,Y的所有可能取值为0,220,1 480, 则P(Y=0)=+=, P(Y=220)=++=, P(Y=1 480)=. 所以E(Y)=0×+220×+1 480× =320(元). 所以该企业7月与8月因空气质量造成的经济损失总额为320×(31+31)=19 840(元). 因为19 840+9 060=28 900>28 800, 所以该企业这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$