第三章 概率（单元测试卷）高二数学湘教版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·期中）在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 4．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 5．（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 8．（25-26高二下·重庆·期中）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若，，，则事件与事件独立 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量服从正态分布，若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东东莞·模拟预测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 13．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中男生的人数，则________． 14．（25-26高二下·上海松江·期中）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·上海松江·期中）申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 16．（16分）（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 17．(15分）（2026高三·全国·专题练习）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 19．（17分）（24-25高二下·广东中山·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 概率（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B D b A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为.……5分 （2）解：事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立....................13分 16．（15分） 【详解】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)，所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 .……5分 （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ，……13分 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以.．.....................15分 17．(15分） 【详解】设智能客服的回答被采纳的概率为， 由全概率公式可得， 智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，……4分 则，得到， ，， ，……10分 ， 故， 得到的分布列为： 0 1 2 3 ..................15分 18．（17分） 18．（17分）（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 【详解】（1）设A=“第1次取出白球”，B=“第2次取出红球”，则第1次取出白球且第2次取出红球为事件AB， ∴，， ∴， ∴在第1次取出白球的条件下，第2次取出红球的概率为……7分 （2）设C=“从乙箱中取出1个白球” =“从甲箱中取出2个白球”， =“从甲箱中取出1白1红两球”， =“从甲箱中取出2个红球”， 则，且，，两两互斥， 根据题意，，，， 且，，， 由全概率公式，得 ， 则， ∴已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为.....................17分 19．（17分） 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得， ……7分 （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为.....................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 概率 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 2．（25-26高二下·浙江·期中）在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次摸到白球后，还剩2个白球，2个黑球和1个红球， 所以第二次仍摸到白球的概率是. 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布关于对称，因此， 又，所以, 所以. 4．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 5．（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 6．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出事件和事件的基本事件个数，利用条件概率公式即可求解. 【详解】事件为“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，所有满足条件的基本事件为：共个. 事件要求“两次抽到的数字之和为偶数”，和为偶数需要两个数字同奇偶，结合的条件， 满足要求的基本事件只有共个. 因此 . 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 8．（25-26高二下·重庆·期中）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若，，，则事件与事件独立 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【详解】对A：随机变量，则，故A正确； 对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确； 对C：随机变量的方差，则，故C错误； 对D：随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 10．（2026·广东东莞·模拟预测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为，所以乙未命中的概率为， 所以，故A正确； 对于B，表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为甲每次命中率均为，所以， ，故B错误； 对于C，表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况： 第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为； 第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为； 第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中， 其概率为； 所以，故C正确； 对于D，的可能取值为， ，由C选项可知， ，， 所以，故D正确. 11．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 13．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中男生的人数，则________． 【答案】2 【详解】的所有可能值为， ， 所以. 14．（25-26高二下·上海松江·期中）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 【答案】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所 以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·上海松江·期中）申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)由，得事件与事件相互独立 【分析】（1）将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，结合百分位数的计算方法，即可求解； （2）根据题设中的统计数据分别求得和，根据相互独立事件的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为.……5分 （2）解：事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立....................13分 16．（16分）（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 【答案】(1)36种 (2)分布列见解析，1 【详解】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)，所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 .……5分 （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ，……13分 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以.．.....................15分 17．(15分）（2026高三·全国·专题练习）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 【答案】 0 1 2 3 ， 【分析】根据二项分布可求的分布列，再利用期望和方差公式可求的期望、方差. 【详解】设智能客服的回答被采纳的概率为， 由全概率公式可得， 智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，……4分 则，得到， ，， ，……10分 ， 故， 得到的分布列为： 0 1 2 3 ..................15分 18．（17分）（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可 （2）先对从甲箱中取出的两球的颜色分类，再由全概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】（1）设A=“第1次取出白球”，B=“第2次取出红球”，则第1次取出白球且第2次取出红球为事件AB， ∴，， ∴， ∴在第1次取出白球的条件下，第2次取出红球的概率为……7分 （2）设C=“从乙箱中取出1个白球” =“从甲箱中取出2个白球”， =“从甲箱中取出1白1红两球”， =“从甲箱中取出2个红球”， 则，且，，两两互斥， 根据题意，，，， 且，，， 由全概率公式，得 ， 则， ∴已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为.....................17分 19．（17分）（24-25高二下·广东中山·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.8186 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）由条件概率得到，证明出结论； （3）由（2）得，利用对立事件求概率即可. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得， ……7分 （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为.....................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $