第4章 4.2.1 回归直线方程 4.2.2 一元线性回归模型的应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第4章 <<< 4.2.1　回归直线方程　 4.2.2　一元线性回归 模型的应用 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义. 2.了解最小二乘法原理，会求一元线性回归方程，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 3.掌握建立线性回归模型的步骤，并会将非线性回归模型转化为线性回归模型解决实际问题. 学习目标 通过前面的学习我们已经知道，根据成对数据的散点图和相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等，那么当两个变量线性相关时，我们如何利用成对数据建立统计模型进行预测？ 导 语 一、最小二乘法和一元线性回归方程 二、利用回归直线方程对总体进行估计 课时对点练 三、非线性回归模型 随堂演练 内容索引 最小二乘法和一元线性回归方程 一 1.回归直线方程 在散点图中，找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系.这条直线称为回归直线，这条直线的方程称为回归直线方程. 2.因变量：在一元回归分析中， 的变量称为因变量，用y表示. 被预测或被解释 知识梳理 3.自变量：用来 的变量称为自变量，用x表示. 对于线性相关的两个变量，都可用一个线性方程y＝a＋bx来近似刻画它们之间的关系. 预测或解释因变量 截距 注 意 点 <<< 9 (课本例1)　某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 例 1 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； 10 散点图如图所示. 11 (2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程(回归系数保留三位小数). 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 12 在图中，散点大致分布在一条直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画它们之间的关系. 因为=×(88+76+73+66+63)=73.2， =×(78+65+71+64+61)=67.8， =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054， 13 =882+762+732+662+632=27 174， 所以= ≈0.625， =-≈67.8-0.625×73.2=22.050. 因此y关于x的回归直线方程为=22.050+0.625x. 14 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图； 例 1 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 15 散点图如图所示.   样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系. 16 (2)求销售额y关于广告支出费用x的回归直线方程. x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 17 i 1 2 3 4 5 xi 2 4 5 6 8 yi 30 40 60 50 70 xiyi 60 160 300 300 560   4 16 25 36 64   列出下表，并用科学计算器进行有关计算. 18 19 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系. 求回归直线方程的一般步骤 反 思 感 悟 20 求回归直线方程的一般步骤 反 思 感 悟 21 　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： (1)请画出上表数据的散点图； 跟踪训练 1 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 22 散点图如图所示. 样本点分布在一条直线附近，则y与x具有线性相关关系. 23 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 24 25 26 二 利用回归直线方程对总体进行估计 (课本例3)　一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如下： 例 2 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 62 68 75 81 89 零件个数x 60 70 80 90 100 加工时间y/min 95 102 108 115 122 (1)y与x之间是否线性相关？ 28 ==55， ==91.7. =38 500， =87 777， =55 950. 于是r= = ≈0.999 8， 因此y与x之间线性相关，且高度正相关. 29 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 62 68 75 81 89 零件个数x 60 70 80 90 100 加工时间y/min 95 102 108 115 122 (2)如果y与x之间线性相关，求回归直线方程. 30 设所求的回归直线方程为=x+，则 = = ≈0.668， =-=91.7-0.668×55=54.96， 即所求的回归直线方程为=0.668x+54.96. 31 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 62 68 75 81 89 零件个数x 60 70 80 90 100 加工时间y/min 95 102 108 115 122 (3)据此估计加工110个零件所用的时间. 当x=110时，y的估计值=0.668×110+54.96=128.44. 因此，估计加工110个零件所用的时间为128.44 min. 32 偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科平均分的差叫某科偏差(实际成绩－平均分＝偏差).在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 例 2 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5 33 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程； 参考数据和参考公式： 34 由题意可得， 35 由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为ω－91.5. 而数学偏差为128－120＝8， 所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分. (2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩. 36 (1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图. (2)求回归直线方程，注意运算的正确性. (3)根据回归直线方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差. 反 思 感 悟 37 　某私立学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如表： 跟踪训练 2 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明； 38 39 40 因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系. 41 (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数. 42 由此预测当年份序号为7时，该校的招生人数为2.8千人. 43 非线性回归模型 三 解决非线性回归问题的方法及步骤： (1)确定变量：确定自变量x，因变量y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)做比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程. 知识梳理 (课本例4)　实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据，如表所示，试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(回归系数保留三位小数). 例 3 时间x/min 60 80 100 120 转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 时间x/min 140 150 160 170 转化率y/% 31.11 38.85 47.25 55.05 46 根据收集的数据作散点图. 观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系.根据已有的数学知识，可以认为样本点分布在指数型曲线y=c1的附近，其中c1和c2是待定参数. 时间x/min 60 80 100 120 转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 时间x/min 140 150 160 170 转化率y/% 31.11 38.85 47.25 55.05 47 为估计参数c1和c2，在y=c1的两端取对数，得到ln y=ln c1+c2x. 再令z=ln y，a=ln c1，b=c2，则得到直线方程 z=bx+a. 将表中的数据进行代换，得到的数据如下表(结果保留三位小数). x 60 80 100 120 z(=ln y) 1.813 2.302 2.709 3.041 x 140 150 160 170 z(=ln y) 3.438 3.660 3.855 4.008 48 图是根据表中数据作出的散点图. 从图中可以看出，变换后的样本 点分布在一条直线的附近，说明 z和x之间具有线性相关关系，因 此可以用线性回归方程来拟合. 对表中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为=0.020x+0.686. 再利用y=ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为 =e0.686·e0.020x≈1.986e0.020x. 49 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝ln x. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋ dln x，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x的回归方程类型(给出判 断即可，不必说明理由)； 例 3 50 根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型. 51 (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果保留小数点后两位)； 参考数据： 52 记w＝ln x.则y＝c＋dln x即y＝c＋dw， 53 54 (3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜亩产量约为多少. 即大棚蔬菜亩产量约为3.16千斤. 55 (1)指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. (2)对数函数型y＝bln x＋a：设μ＝ln x，原方程可化为y＝bμ＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 常见非线性回归问题的处理方法 反 思 感 悟 56 (3)幂函数型y＝axn(n为常数，a，x，y均取正值)：两边取常用对数lg y＝lg(axn)，即lg y＝nlg x＋lg a， 常见非线性回归问题的处理方法 反 思 感 悟 57 　某公司对某产品做市场调研，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天销售量y(单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图. 跟踪训练 3 58 (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，不必说明理由) 根据散点图知y＝c＋k·x－1更适合作为y关于x的回归方程. 59 (2)根据(1)的判断结果，试建立y关于x的回归方程； 60 61 (3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据(2)的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润.(每月按30天计算，计算结果保留两位小数) 62 ∴每月的利润为30×1.5＝45.00(万元)， ∴预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元. 63 1.知识清单： (1)一元线性回归方程. (2)利用最小二乘法求回归直线方程. (3)利用回归直线方程进行预测. (4)非线性回归方程. 2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解回归直线方程致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加3个单位 C.y平均减少1.2个单位 D.y平均减少3个单位 √ 1 2 3 4 2.已知变量x，y之间具有线性关系，其散点图如图所示，则其回归直线方程可能为 √ 3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据成对数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方 程为 ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有线性相关关系，且为正相关 B.回归直线过点 C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg 1 2 3 4 √ 4.天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x(单位：万人)与天府绿道周边商家经济收入y(单位：万元)之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程 ＝12.6x＋0.6，现对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如表： 则表中a的值为________. 88 x 2 3 3.5 4.5 7 y 26 38 43 60 a 1 2 3 4 样本平均数满足回归直线方程， 1 2 3 4 解得a＝88. 课时对点练 五 由散点图可知，此曲线类似对数型函数曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合， 而选项A，B，D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是 A.y＝a·xb B.y＝a·ebx C.y＝a＋bln x D.y＝ 基础巩固 13 14 15 16 √ ∴回归直线必过点(1.5,4). 2.已知x与y之间的一组数据： 若y与x线性相关，则y与x的回归直线 必过 A.点(2,2) B.点(1.5,0) C.点(1,2) D.点(1.5,4) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有正线性相关关系， 故 方案一中，没剔除点3，线性相关程度弱些； 方案二中，剔除点3，线性相关程度强些， 故相关系数0<r1<r2<1. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系， 设其回归直线方程为 若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩为 A.99 B.101 C.103 D.105 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)下列说法中错误的是 A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.对于回归直线方程 ＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位 C.回归直线 D.设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y 之间的线性相关程度越强 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A，C显然正确； B项，对于回归直线方程 ＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，因此B项不正确； D项，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越弱，因此D项不正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.94 8.利用一组成对数据(1,3)，(2,5)，(4,6)，(5,8)进行线性回归分析，所得回归直线的斜率为1.1，则当x＝8时，预测y的值为________. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下： 13 14 15 16 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)画出散点图； 散点图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩x来预测期末考试成绩y(精确到0.1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.某企业研发了一款产品，根据产品成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：万件)相对应的一组数据为(52,5)，(50,6)，(48,7)，(45,8)，(44,10)，(43,12). (1)根据相关系数r(结果保留两位小数)，判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系，当|r|∈[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性，否则没有很强的线性相关性；(参考数据： ≈5.83) 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)建立y关于x的回归直线方程，并估计当产品的月销售量为86 875件时，该产品的售价为多少？ 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当产品的月销售量为86 875件时，该产品的售价为46元/件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.若两个变量x，y是线性相关的，且成对数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的样本中心为(3,2.5)，则这n对成对数据算得的回归直线方程不可能是 综合运用 √ 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若 ＝152，则x等于 A.9 B.8 C.－7 D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 2 3 4 5 6 y 20 30 50 60 70 故当 ＝152时，152＝t＋26，解得t＝126，即126＝2x2－4x，解得x＝9或x＝－7(舍去). x 2 3 4 5 6 y 20 30 50 60 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区.已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表： √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 投放量x(吨) 2 3 4 5 6 产量y(吨) 31 42 52 64 73 √ 所以回归直线过点(4,52.4). 故选项C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 投放量x(吨) 2 3 4 5 6 产量y(吨) 31 42 52 64 73 14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价/元 4 5 6 7 8 9 销量/件 90 84 83 80 75 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 满足4x＋y－106>0的点有(6,83)，(7,80)，(8,75)，共3个， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 15.已知x与y之间的几组数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画. ①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的回归直线方程； 16.中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 水温y/℃ 85 79 74 71 65 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7， ≈0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得出x与z的关系，如表： 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7， ≈0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y＝kcx＋20， 得y－20＝kcx， 两边取对数得，ln(y－20)＝ln k＋xln c， 利用①的结论得ln c＝－0.1，ln k＝4.2， ∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7. (2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7， ≈0.6. ∴该品种绿茶用85 ℃的水泡制4.8 min后饮用，口感最佳. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< 4.一元线性回归方程 我们将＝＋x称为y关于x的一元线性回归方程，它是根据样本数据求出的回归方程的估计，其中是回归直线在y轴上的 ，(也称为回归系数)是回归直线的斜率. 其中 (1)回归直线一定经过样本中心(，). (2)回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的随机误差. (3)回归直线方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分. ＝5，＝50，x＝145，xiyi＝1 380  x 于是可得，＝＝＝6.5， ＝－＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5. (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出回归直线方程＝＋x. (2)请根据下表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝＋x. 因为xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ＝＝9， ＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， 所以＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故回归直线方程为＝0.7x－2.3. iyi＝324，＝1 256， 回归直线方程为＝x＋， 其中 故回归直线方程为＝x＋. ＝[20＋15＋13＋3＋2＋(－5)＋(－10)＋(－18)]×＝， ＝[6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋＋＋]×＝， ＝＝＝， 所以＝－＝－×＝， 所以ω－91.5＝×8＋，解得ω＝94， 参考数据：(yi－)2＝1.26，≈3.55. 参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 由题意知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(0.8＋1＋1.3＋1.7＋2.2)＝1.4， 2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， (yi－)＝(－2)×(－0.6)＋(－1)×(－0.4)＋0×(－0.1)＋1×0.3＋2×0.8＝3.5， 所以r＝＝＝≈≈0.986， 参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝x＋ 参考数据：(yi－)2＝1.26，≈3.55. 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. ＝－＝1.4－0.35×3＝0.35， 所以y关于x的回归直线方程为＝0.35x＋0.35. ＝＝＝0.35， 当x＝7时，＝0.35×7＋0.35＝2.8， 参考公式：y关于x的回归直线方程＝x＋中，＝， ＝－. i i i iyi iyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 ＝＝＝5.12，＝＝＝2.6， ＝＝≈3.26， ＝－＝5.12－3.26×2.6≈－3.36， 所以＝3.26w－3.36，即＝3.26ln x－3.36. 当x＝e2时，＝3.26ln e2－3.36＝3.16. 令原方程变为y′＝nx′＋lg a，然后按线 性回归模型求出n，lg a. iyi iyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中z＝，≈0.45，≈2.19. 参考公式：回归直线方程＝x＋， 其中＝＝，＝－. 令z＝，则y＝c＋k·z， 则＝＝＝5， ＝－·＝－5，则＝－5＋， 即y关于x的回归方程为＝－5＋. 一天利润为T＝y·(x－0.20)＝(x－0.2)＝6－5≤6－10≈1.5 (当且仅当x＝，即x≈0.45时取等号). 1.设一个回归直线方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时 由回归直线斜率知，变量x增加一个单位时，＝3＋1.2(x＋1)＝3＋ 1.2x＋1.2，y平均增加1.2个单位. 根据散点图可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，所以x与y负相关，<0；又散点图中的点经过y轴正半轴，所以>0.故选项B符合题意. A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 (，) 当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.     则＝＝12.6×4＋0.6， ＝＝4，  ＝x＋ ∵＝＝1.5，＝＝4， 3.研究两个变量x，y的相关关系，得到了7个数据，作出其散点图如图所示，对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点3对应的数据，根据剩下的数据得到回归直线方程＝2x＋2，相关系数为r2，则 A.1<0，2<0，－1<r1<r2<0 B.1>0，2>0，－1<r2<r1<0 C.1>0，2>0,0<r2<r1<1 D.1>0，2>0,0<r1<r2<1 1>0，2>0.  ＝x＋，已知i＝400，i＝1 580，＝－1， 因为i＝400，故＝＝20；因为i＝1 580，故＝＝79， 故点(20,79)在回归直线上，即79＝20－1，得＝4，即＝4x－1， 当x＝26时，代入计算得到＝103. 5.根据如下一组成对数据，得到回归直线方程＝x＋，则 A.>0，<0 B.>0，>0 C.<0，>0 D.<0，<0 ∵＝＝5.5，＝＝0.25， 又iyi－6＝－23.75，－62＝17.5， ∴＝－≈－1.36<0， ＝0.25－(－1.36)×5.5＝7.73>0.   ＝x＋必过点(，)   因为＝＝2，＝＝2.6， 所以2.6＝0.83×2＋，所以＝0.94. 7.如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计 公式计算，y与x之间的回归直线方程为＝0.83x＋ ，则＝________. 将(3,5.5)代入，得＝2.2， 则当x＝8时，＝8×1.1＋2.2＝11. 由已知数据可知，＝＝3，＝＝5.5， 设回归直线方程为＝1.1x＋， 计算得：iyi＝36 220，＝34 400. 附：＝，＝－. ＝－＝61－0.68×56＝22.92， 所以回归直线方程为＝0.7x＋22.9. 由已知计算得＝56，＝61， 则＝＝≈0.68. 参考公式：相关系数r＝， 回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－. ＝＝＝8， ＝＝， (xi－)(yi－)＝－15－6－1＋0－6－16＝－44， ＝＝47，＝＝8， 因为|r|≈0.94∈，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系. 则相关系数为r＝＝≈－ ≈－0.94， 参考公式：相关系数r＝， 回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－. ＝8＋×47＝. ＝＝＝－， 设y关于x的回归直线方程为＝x＋， 因为86 875件为8.687 5万件，即＝8.687 5， 所以由＝－x＋＝8.687 5，得x＝46， 则y关于x的回归直线方程为＝－x＋， A.＝0.5x＋1 B.＝0.6x＋0.7 C.＝0.2x＋1.9 D.＝x－1.5 因为0.2×3＋1.9＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.2x＋1.9上，故C有可能； 因为3－1.5＝1.5≠2.5，即点(3,2.5)不在回归直线＝x－1.5上，故D不可能. 因为0.5×3＋1＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.5x＋1上，故A有可能； 因为0.6×3＋0.7＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.6x＋0.7上，故B有可能； 12.已知变量y与x(x>0)的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为＝2x2－4x＋.   令t＝2x2－4x，则＝t＋， 故由表中数据可得t取0,6,16,30,48，故＝＝20， ＝＝46，故46＝20＋，解得＝26，   由表中的数据，得到回归直线方程为＝10.6x＋，则下列结论正确的是 A.＝9 B.产量y与投放量x正相关 C.回归直线＝10.6x＋过点(4,52.4) D.当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8 代入回归直线方程＝10.6x＋，解得＝10，故选项A错误； 当x＝8时，＝10.6×8＋10＝94.8，故选项D错误. 由回归直线方程＝10.6x＋，知产量y与投放量x正相关，故选项B正确； 由表可知，＝＝4，＝＝52.4， 由表中数据，求得回归直线方程为＝－4x＋，若在这些成对数据中任取 一点，则它在回归直线右上方的概率为________. 所以＝＋4＝106，即＝－4x＋106， 所以在这些成对数据中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为. 因为＝×(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.5， ＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， 假设根据上表数据所得回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的回归直线方程为＝′x＋′，则以下结论正确的是 A.>′，>′ B.>′，<′ C.<′，>′ D.<′，<′ 因为＝＝，＝＝， 所以＝＝，＝－＝－， 故′＝＝2＞，′＝－2＜. 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 设回归直线方程为＝x＋， 由题意，得＝＝2， ＝＝4， ∴(xi－)(zi－)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1， (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10， 则＝＝＝－0.1， ＝－＝4＋0.1×2＝4.2， 则z关于x的回归直线方程为＝－0.1x＋4.2. 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 由(1)得，＝66.7×0.9x＋20， 令＝60，得x≈log0.90.6≈4.8. $$ 4．2.1　回归直线方程　4．2.2　一元线性回归模型的应用 [学习目标]　1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义.2.了解最小二乘法原理，会求一元线性回归方程，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.3.掌握建立线性回归模型的步骤，并会将非线性回归模型转化为线性回归模型解决实际问题． 导语 通过前面的学习我们已经知道，根据成对数据的散点图和相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等，那么当两个变量线性相关时，我们如何利用成对数据建立统计模型进行预测？ 一、最小二乘法和一元线性回归方程 知识梳理 1．回归直线方程 在散点图中，找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系．这条直线称为回归直线，这条直线的方程称为回归直线方程． 2．因变量：在一元回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示． 3．自变量：用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示． 对于线性相关的两个变量，都可用一个线性方程y＝a＋bx来近似刻画它们之间的关系． 4．一元线性回归方程 我们将＝＋x称为y关于x的一元线性回归方程，它是根据样本数据求出的回归方程的估计，其中是回归直线在y轴上的截距，(也称为回归系数)是回归直线的斜率． 其中 注意点： (1)回归直线一定经过样本中心(，)． (2)回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的随机误差． (3)回归直线方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分． 例1　(课本例1)　某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程(回归系数保留三位小数). 解　(1)散点图如图所示. (2)在图中，散点大致分布在一条直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画它们之间的关系. 因为=×(88+76+73+66+63)=73.2， =×(78+65+71+64+61)=67.8， =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054， =882+762+732+662+632=27 174， 所以= ≈0.625， =-≈67.8-0.625×73.2=22.050. 因此y关于x的回归直线方程为=22.050+0.625x. 例1　某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程(回归系数保留三位小数). 解　(1)散点图如图所示. (2)在图中，散点大致分布在一条直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画它们之间的关系. 因为=×(88+76+73+66+63)=73.2， =×(78+65+71+64+61)=67.8， =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054， =882+762+732+662+632=27 174， 所以= ≈0.625， =-≈67.8-0.625×73.2=22.050. 因此y关于x的回归直线方程为=22.050+0.625x. 例1　某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求销售额y关于广告支出费用x的回归直线方程． 解　(1)散点图如图所示． 样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系． (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算． i 1 2 3 4 5 xi 2 4 5 6 8 yi 30 40 60 50 70 xiyi 60 160 300 300 560 x 4 16 25 36 64 ＝5，＝50，x＝145，xiyi＝1 380 于是可得，＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5. 反思感悟　求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出回归直线方程＝＋x. 跟踪训练1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝＋x. 解　(1)散点图如图所示． 样本点分布在一条直线附近，则y与x具有线性相关关系． (2)因为xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ＝＝9， ＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， 所以＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故回归直线方程为＝0.7x－2.3. 二、利用回归直线方程对总体进行估计 例2　(课本例3)　一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如下： 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间 y/min 62 68 75 81 89 零件个数x 60 70 80 90 100 加工时间 y/min 95 102 108 115 122 (1)y与x之间是否线性相关？ (2)如果y与x之间线性相关，求回归直线方程. (3)据此估计加工110个零件所用的时间. 解　(1)= =55， = =91.7. =38 500，=87 777，=55 950. 于是r= = ≈0.999 8， 因此y与x之间线性相关，且高度正相关. (2)设所求的回归直线方程为=x+，则 == ≈0.668， =-=91.7-0.668×55=54.96， 即所求的回归直线方程为=0.668x+54.96. (3)当x=110时，y的估计值=0.668×110+54.96=128.44. 因此，估计加工110个零件所用的时间为128.44 min. 例2　偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科平均分的差叫某科偏差(实际成绩－平均分＝偏差)．在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程； (2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩． 参考数据和参考公式： iyi＝324，＝1 256， 回归直线方程为＝x＋， 其中 解　(1)由题意可得， ＝[20＋15＋13＋3＋2＋(－5)＋(－10)＋(－18)]×＝， ＝[6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋＋＋]×＝， ＝＝＝， 所以＝－＝－×＝， 故回归直线方程为＝x＋. (2)由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为ω－91.5. 而数学偏差为128－120＝8， 所以ω－91.5＝×8＋，解得ω＝94， 所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． 反思感悟　(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图． (2)求回归直线方程，注意运算的正确性． (3)根据回归直线方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差． 跟踪训练2　某私立学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：(yi－)2＝1.26，≈3.55. 参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. (1)证明　由题意知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(0.8＋1＋1.3＋1.7＋2.2)＝1.4， 2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， (yi－)＝(－2)×(－0.6)＋(－1)×(－0.4)＋0×(－0.1)＋1×0.3＋2×0.8＝3.5， 所以r＝ ＝＝≈≈0.986， 因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)解　＝＝＝0.35， ＝－＝1.4－0.35×3＝0.35， 所以y关于x的回归直线方程为＝0.35x＋0.35. 当x＝7时，＝0.35×7＋0.35＝2.8， 由此预测当年份序号为7时，该校的招生人数为2.8千人． 三、非线性回归模型 知识梳理 解决非线性回归问题的方法及步骤： (1)确定变量：确定自变量x，因变量y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)做比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程． 例3　(课本例4)　实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据，如表所示，试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(回归系数保留三位小数). 时间x/min 60 80 100 120 转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 时间x/min 140 150 160 170 转化率y/% 31.11 38.85 47.25 55.05 解　根据收集的数据作散点图. 观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系.根据已有的数学知识，可以认为样本点分布在指数型曲线y=c1的附近，其中c1和c2是待定参数. 为估计参数c1和c2，在y=c1的两端取对数，得到ln y=ln c1+c2x. 再令z=ln y，a=ln c1，b=c2，则得到直线方程 z=bx+a. 将表中的数据进行代换，得到的数据如下表(结果保留三位小数). x 60 80 100 120 z(=ln y) 1.813 2.302 2.709 3.041 x 140 150 160 170 z(=ln y) 3.438 3.660 3.855 4.008 图是根据表中数据作出的散点图. 从图中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，说明z和x之间具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来拟合. 对表中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为=0.020x+0.686. 再利用y=ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为 =e0.686·e0.020x≈1.986e0.020x. 例3　某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝ln x. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果保留小数点后两位)； (3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜亩产量约为多少． 参考数据： i i i iyi iyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 参考公式：y关于x的回归直线方程＝x＋中，＝，＝－. 解　(1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型． (2)记w＝ln x．则y＝c＋dln x即y＝c＋dw， ＝＝＝5.12，＝＝＝2.6， ＝＝≈3.26， ＝－＝5.12－3.26×2.6≈－3.36， 所以＝3.26w－3.36，即＝3.26ln x－3.36. (3)当x＝e2时，＝3.26ln e2－3.36＝3.16. 即大棚蔬菜亩产量约为3.16千斤． 反思感悟　常见非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. (2)对数函数型y＝bln x＋a：设μ＝ln x，原方程可化为y＝bμ＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)幂函数型y＝axn(n为常数，a，x，y均取正值)：两边取常用对数lg y＝lg(axn)，即lg y＝nlg x＋lg a， 令原方程变为y′＝nx′＋lg a，然后按线性回归模型求出n，lg a. 跟踪训练3　某公司对某产品做市场调研，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天销售量y(单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图. iyi iyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中z＝，≈0.45，≈2.19. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，试建立y关于x的回归方程； (3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据(2)的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．(每月按30天计算，计算结果保留两位小数) 参考公式：回归直线方程＝x＋，其中＝＝，＝－. 解　(1)根据散点图知y＝c＋k·x－1更适合作为y关于x的回归方程． (2)令z＝，则y＝c＋k·z， 则＝＝＝5， ＝－·＝－5，则＝－5＋， 即y关于x的回归方程为＝－5＋. (3)一天利润为T＝y·(x－0.20)＝(x－0.2)＝6－5 ≤6－10≈1.5 (当且仅当x＝，即x≈0.45时取等号)． ∴每月的利润为30×1.5＝45.00(万元)， ∴预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元． 1．知识清单： (1)一元线性回归方程． (2)利用最小二乘法求回归直线方程． (3)利用回归直线方程进行预测． (4)非线性回归方程． 2．方法归纳：数形结合、转化化归． 3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解回归直线方程致误． 1．设一个回归直线方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(　　) A．y平均增加1.2个单位 B．y平均增加3个单位 C．y平均减少1.2个单位 D．y平均减少3个单位 答案　A 解析　由回归直线斜率知，变量x增加一个单位时，＝3＋1.2(x＋1)＝3＋1.2x＋1.2，y平均增加1.2个单位． 2. 已知变量x，y之间具有线性关系，其散点图如图所示，则其回归直线方程可能为(　　) A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 答案　B 解析　根据散点图可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，所以x与y负相关，<0；又散点图中的点经过y轴正半轴，所以>0.故选项B符合题意． 3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据成对数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　) A．y与x具有线性相关关系，且为正相关 B．回归直线过点(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg 答案　D 解析　当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 4．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x(单位：万人)与天府绿道周边商家经济收入y(单位：万元)之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程＝12.6x＋0.6，现对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如表： x 2 3 3.5 4.5 7 y 26 38 43 60 a 则表中a的值为________． 答案　88 解析　样本平均数满足回归直线方程， ＝＝4， 则＝＝12.6×4＋0.6， 解得a＝88. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　) A．y＝a·xb B．y＝a·ebx C．y＝a＋bln x D．y＝ 答案　C 解析　由散点图可知，此曲线类似对数型函数曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合， 而选项A，B，D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图． 2．已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线＝x＋必过(　　) A．点(2,2) B．点(1.5,0) C．点(1,2) D．点(1.5,4) 答案　D 解析　∵＝＝1.5， ＝＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)． 3．研究两个变量x，y的相关关系，得到了7个数据，作出其散点图如图所示，对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点3对应的数据，根据剩下的数据得到回归直线方程＝2x＋2，相关系数为r2，则(　　) A.1<0，2<0，－1<r1<r2<0 B.1>0，2>0，－1<r2<r1<0 C.1>0，2>0,0<r2<r1<1 D.1>0，2>0,0<r1<r2<1 答案　D 解析　根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有正线性相关关系，故1>0，2>0.方案一中，没剔除点3，线性相关程度弱些；方案二中，剔除点3，线性相关程度强些，故相关系数0<r1<r2<1. 4．为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝400，i＝1 580，＝－1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩为(　　) A．99 B．101 C．103 D．105 答案　C 解析　因为i＝400，故＝＝20；因为i＝1 580，故＝＝79， 故点(20,79)在回归直线上，即79＝20－1，得＝4，即＝4x－1， 当x＝26时，代入计算得到＝103. 5．根据如下一组成对数据，得到回归直线方程＝x＋，则(　　) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 A.>0，<0 B.>0，>0 C.<0，>0 D.<0，<0 答案　A 解析　∵＝＝5.5， ＝＝0.25， 又iyi－6＝－23.75，－62＝17.5， ∴＝－≈－1.36<0， ＝0.25－(－1.36)×5.5＝7.73>0. 6．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B．对于回归直线方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位 C．回归直线＝x＋必过点(，) D．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越强 答案　BD 解析　A，C显然正确； B项，对于回归直线方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，因此B项不正确； D项，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越弱，因此D项不正确． 7.(5分)如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的回归直线方程为＝0.83x＋，则＝________. 答案　0.94 解析　因为＝＝2， ＝＝2.6， 所以2.6＝0.83×2＋，所以＝0.94. 8．(5分)利用一组成对数据(1,3)，(2,5)，(4,6)，(5,8)进行线性回归分析，所得回归直线的斜率为1.1，则当x＝8时，预测y的值为________． 答案　11 解析　由已知数据可知，＝＝3，＝＝5.5， 设回归直线方程为＝1.1x＋， 将(3,5.5)代入，得＝2.2， 则当x＝8时，＝8×1.1＋2.2＝11. 9．(10分)某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下： 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 计算得：iyi＝36 220，＝34 400. (1)画出散点图；(4分) (2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩x来预测期末考试成绩y(精确到0.1)．(6分) 附：＝，＝－. 解　(1)散点图如图所示． (2)由已知计算得＝56，＝61， 则＝＝ ≈0.68. ＝－＝61－0.68×56＝22.92， 所以回归直线方程为＝0.7x＋22.9. 10．(11分)某企业研发了一款产品，根据产品成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：万件)相对应的一组数据为(52,5)，(50,6)，(48,7)，(45,8)，(44,10)，(43,12)． (1)根据相关系数r(结果保留两位小数)，判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系，当|r|∈[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性，否则没有很强的线性相关性；(参考数据：≈5.83)(6分) (2)建立y关于x的回归直线方程，并估计当产品的月销售量为86 875件时，该产品的售价为多少？(5分) 参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解　(1)＝＝47，＝＝8， (xi－)(yi－)＝－15－6－1＋0－6－16＝－44， ＝＝＝8， ＝＝， 则相关系数为r＝＝≈－≈－0.94， 因为|r|≈0.94∈，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)设y关于x的回归直线方程为＝x＋， ＝＝＝－， ＝8＋×47＝. 则y关于x的回归直线方程为＝－x＋， 因为86 875件为8.687 5万件，即＝8.687 5， 所以由＝－x＋＝8.687 5，得x＝46， 故当产品的月销售量为86 875件时，该产品的售价为46元/件． 11．若两个变量x，y是线性相关的，且成对数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的样本中心为(3,2.5)，则这n对成对数据算得的回归直线方程不可能是(　　) A.＝0.5x＋1 B.＝0.6x＋0.7 C.＝0.2x＋1.9 D.＝x－1.5 答案　D 解析　因为0.5×3＋1＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.5x＋1上，故A有可能； 因为0.6×3＋0.7＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.6x＋0.7上，故B有可能； 因为0.2×3＋1.9＝2.5，即点(3,2.5)在回归直线＝0.2x＋1.9上，故C有可能； 因为3－1.5＝1.5≠2.5，即点(3,2.5)不在回归直线＝x－1.5上，故D不可能． 12．已知变量y与x(x>0)的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为＝2x2－4x＋. x 2 3 4 5 6 y 20 30 50 60 70 若＝152，则x等于(　　) A．9 B．8 C．－7 D．6 答案　A 解析　令t＝2x2－4x，则＝t＋， 故由表中数据可得t取0,6,16,30,48，故＝＝20， ＝＝46，故46＝20＋，解得＝26， 故当＝152时，152＝t＋26，解得t＝126，即126＝2x2－4x，解得x＝9或x＝－7(舍去)． 13．(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表： 投放量x(吨) 2 3 4 5 6 产量y(吨) 31 42 52 64 73 由表中的数据，得到回归直线方程为＝10.6x＋，则下列结论正确的是(　　) A.＝9 B．产量y与投放量x正相关 C．回归直线＝10.6x＋过点(4,52.4) D．当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8 答案　BC 解析　由回归直线方程＝10.6x＋，知产量y与投放量x正相关，故选项B正确； 由表可知，＝＝4， ＝＝52.4， 所以回归直线过点(4,52.4)． 故选项C正确； 代入回归直线方程＝10.6x＋，解得＝10，故选项A错误； 当x＝8时，＝10.6×8＋10＝94.8，故选项D错误． 14．(5分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价/元 4 5 6 7 8 9 销量/件 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得回归直线方程为＝－4x＋，若在这些成对数据中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为________． 答案　 解析　因为＝×(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.5， ＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， 所以＝＋4＝106，即＝－4x＋106， 满足4x＋y－106>0的点有(6,83)，(7,80)，(8,75)，共3个， 所以在这些成对数据中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为. 15．已知x与y之间的几组数据如表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的回归直线方程为＝′x＋′，则以下结论正确的是(　　) A.>′，>′ B.>′，<′ C.<′，>′ D.<′，<′ 答案　C 解析　因为＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－， 故′＝＝2＞，′＝－2＜. 16．(12分)中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃)． 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 水温y/℃ 85 79 74 71 65 (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画． ①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的回归直线方程；(5分) ②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c.(4分) (2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？(3分) 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6. 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 解　(1)①由已知得出x与z的关系，如表： 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设回归直线方程为＝x＋， 由题意，得＝＝2， ＝＝4， ∴(xi－)(zi－)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1， (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10， 则＝＝＝－0.1， ＝－＝4＋0.1×2＝4.2， 则z关于x的回归直线方程为＝－0.1x＋4.2. ②由y＝kcx＋20， 得y－20＝kcx， 两边取对数得，ln(y－20)＝ln k＋xln c， 利用①的结论得ln c＝－0.1，ln k＝4.2， ∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7. (2)由(1)得，＝66.7×0.9x＋20， 令＝60，得x≈log0.90.6≈4.8. ∴该品种绿茶用85 ℃的水泡制4.8 min后饮用，口感最佳． 学科网（北京）股份有限公司 $$