4.2.2 一元线性回归模型的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案聚焦一元线性回归模型的应用，涵盖线性回归方程的求解与预测，以及非线性回归通过变量替换转化为线性问题的方法。以实际问题（如零件加工时间、票房预测）导入，衔接线性相关与最小二乘法知识，通过步骤化流程（散点图判断、最小二乘法计算、变量替换转化）搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 导学案特色在于结合大量现实案例（如细菌繁殖、二手车售价），引导学生用数学眼光观察数据关系，通过逻辑推理推导回归方程培养数学思维，用数据处理和预测表达现实问题。题型分层设计（基础例题、跟踪训练、综合精练），助力学生逐步掌握，便于教师教学评估，提升学习效率与数学建模素养。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 4．2．2　一元线性回归模型的应用 (教师独具内容) 课程标准：1．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．2．用回归直线方程进行估计和预测． 教学重点：求回归直线方程及利用回归直线方程进行预测． 教学难点：利用非线性回归方程解决实际问题． 核心素养：1．通过利用回归直线方程进行预测培养逻辑推理素养和数学运算素养．2．通过利用非线性回归方程解决实际问题培养数学建模素养． 知识点一　一元线性回归模型的应用 运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤： (1)确定研究对象，明确哪个是自变量，哪个是因变量； (2)依据散点图或计算其相关系数，判断变量间的线性相关性； (3)若线性相关，则运用最小二乘法建立一元线性回归方程； (4)根据建立的一元线性回归方程进行预测． 知识点二　非线性回归 两个变量之间的回归关系大多数是非线性的，其中有的可先做适当的变量替换，使两个新变量成线性回归，再运用最小二乘法求出新变量的线性回归方程，最后还原到原来的变量，即可得到所要求的一元非线性回归方程．这类问题通常称为化曲线为直线的回归问题． 对非线性回归问题进行回归分析的方法 1．若问题中已给出了回归公式，可以将变量进行换元，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题转化为线性回归问题解决． 2．若问题中没有给出回归公式，则需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等)的图象作比较，选择一种与这些散点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题转化为线性回归问题解决，其具体步骤如下： (1)作散点图确定曲线模型 因为曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，粗略估计使用哪个函数拟合． (2)非线性转化为线性 先通过适当变换化非线性关系为线性关系： ①指数型y＝cax(a>0，且a≠1，c>0，a，c为常数) 两边取自然对数ln y＝ln (cax)， 即ln y＝ln c＋xln a， 令原方程变为y′＝ln c＋x′ln a， 然后按线性回归模型求出ln a，ln c． ②对数型y＝a＋bln x(a，b为常数，且b≠0，x>0) 令原方程变为y′＝a＋bx′， 然后按线性回归模型求出a，b． ③幂函数型y＝axn(a为常数，a，x，y均取正值) 两边取常用对数lg y＝lg (axn)， 即lg y＝nlg x＋lg a， 令原方程变为y′＝nx′＋lg a， 然后按线性回归模型求出n，lg a． ④y＝bx2＋a型(a，b为常数，且b≠0) 令原方程变为y′＝bx′＋a， 然后按线性回归模型求出a，b． ⑤y＝a＋型(a，b为常数，且b≠0，x≠0) 令原方程变为y′＝a＋bx′， 然后按线性回归模型求出a，b． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知变量x的值，可由回归直线方程＝x＋得到变量y的精确值．(　　) (2)非线性回归方程有时可以通过变量替换后，借助求回归直线方程的过程确定．(　　) 答案　(1)×　(2)√ 2．做一做 (1)设有一个回归直线方程＝2－2．5x，当变量x每增加1个单位长度时，变量y(　　) A．平均增加2．5个单位长度 B．平均增加2个单位长度 C．平均减少2．5个单位长度 D．平均减少2个单位长度 (2)用y＝cekx来描述两个变量之间的关系时，为了求出非线性回归方程，设z＝ln y，经计算得到回归直线方程＝0．3x＋4，则c＝________，k＝________． 答案　(1)C　(2)e4　0．3 题型一　利用回归直线方程进行估计或预测 　某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间y(小时) 2．5 3 4 4．5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y关于x的回归直线方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多长时间？ 注：＝，＝－． [解]　(1)散点图如图． (2)从散点图可以发现，y与x之间具有线性相关关系． 由表中数据，得xiyi＝52．5， ＝3．5，＝3．5，x＝54， 所以＝＝0．7． 所以＝－＝1．05． 所以＝0．7x＋1．05． 回归直线如图所示． (3)将x＝10代入回归直线方程，得＝0．7×10＋1．05＝8．05(小时)， 所以预测加工10个零件需要8．05小时． 【感悟提升】 利用回归直线方程进行估计或预测的一般步骤 (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； (2)如果散点在一条直线附近，则用公式求出，，并写出回归直线方程； (3)根据回归直线方程进行估计或预测． 注意：只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能利用回归直线方程进行估计或预测．如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计或预测的结果也是不可信的． 【跟踪训练】 1.某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表所示： x 30 40 50 60 y 4．5 4 3 2．5 (1)若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程； (3)根据(2)中求出的回归直线方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入． 参考公式：＝，＝－． 解　(1)由表中数据，易知y随x的增大而减小，故y与x之间是负相关． (2)由表中数据，可得＝45，＝3．5， xiyi＝595，x＝8600， 则＝＝ ＝－0．07，＝3．5＋0．07×45＝6．65， 所以所求回归直线方程为＝－0．07x＋6．65． (3)根据(2)中的回归直线方程，知若票价为x元，则渴望观影人数约为(－0．07x＋6．65)万人， 可预测票房收入z＝x(－0．07x＋6．65)＝－0．07x2＋6．65x， 易得，当x＝47．5时，z取得最大值， 即票价定为47．5元时，能获得最大票房收入． 题型二　非线性回归方程 　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x w xiyi wiyi 46．6 563 6．8 17662．28 371．52 211355．4 30736 表中wi＝，＝wi． (1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ ． [解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝，先建立y关于w的回归直线方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6．8＝100．6， 所以y关于w的回归直线方程为＝100．6＋68w， 因此y关于x的回归方程为＝100．6＋68． (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100．6＋68＝576．6， 年利润z的预报值＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0．2(100．6＋68)－x＝－x＋13．6＋20．12． 所以当＝＝6．8，即x＝46．24时，取得最大值． 故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大． 【感悟提升】 求非线性回归方程的步骤 (1)根据原始数据作出散点图； (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数； (3)作恰当变换，将其转化成一次函数，求回归直线方程； (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程． 【跟踪训练】 2.为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1)根据数据，作出两个变量的散点图； (2)试求细菌繁殖个数与时间(天数)的回归方程(结果保留两位小数)． 解　(1)由表中数据作散点图如图所示． (2)由散点图看出样本点分布在一个指数型函数y＝c1ec2x的图象的周围，其中c1和c2是待定系数． 于是令z＝ln y，则z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)，因此变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋a的周围，因此可以用线性回归模型来拟合z与x的关系，则变换后的样本数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 z 1．79 2．48 3．22 3．89 4．55 5．25 由表中数据得到＝≈0．69，＝－≈1．12． 所以z关于x的回归直线方程为＝0．69x＋1．12． 因此细菌繁殖个数关于时间(天数)的回归方程为＝e0．69x＋1．12． 1．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设u＝ln y，v＝(x－4)2，利用最小二乘法得到u关于v的回归直线方程为＝－0．5v＋2，则的最大值是(　　) A．e B．e2 C．ln 2 D．2ln 2 答案　B 解析　将u＝ln y，v＝(x－4)2代入回归直线方程＝－0．5v＋2，得＝e－0．5(x－4)2＋2．当x＝4时，＝e－0．5×(4－4)2＋2＝e2，即的最大值为e2．故选B． 2．已知某一家旗舰店近五年“五一”期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y(万元) 50 60 70 80 100 若y关于t的线性回归方程为＝12t＋，则根据回归方程预测该店2025年“五一”期间的成交额是(　　) A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 答案　C 解析　由表中数据可得＝＝3，＝＝72，将(3，72)代入＝12t＋，可得＝72－12×3＝36，故＝12t＋36，当t＝6时，＝12×6＋36＝108万元．故选C． 3．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm，170 cm和182 cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm． 答案　185 解析　因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为y(单位：cm)，父亲的身高为x(单位：cm)，根据数据列表： x 173 170 176 y 170 176 182 由表中数据，得＝＝173， ＝＝176， xiyi＝91362，x＝89805， 所以＝＝1，＝－＝3． 于是儿子身高与父亲身高的回归直线方程为＝x＋3． 当x＝182时，＝185． 故预测该老师孙子的身高为185 cm． 4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算xi＝11，yi＝13，x＝21，则实数b的值为________． 答案　 解析　令t＝x2，则非线性回归方程变为回归直线方程＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入＝bt－，得＝b×－，解得b＝． 5．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，得到如图所示的散点图及一些统计量的值． xiyi xivi x 100．54 4 62 1．54 2535 50．12 140 3．47 表中vi＝lg yi，＝vi． (1)根据散点图判断：在推广期内，y＝a＋bx与y＝cdx(c，d为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果求y关于x的回归直线方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－． 解　(1)根据散点图判断，y＝cdx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型． (2)因为y＝cdx，两边取常用对数，得 lg y＝lg (cdx)＝lg c＋xlg d． 设lg y＝v，所以v＝lg c＋xlg d． 因为＝4，＝1．54，x＝140，xivi＝50．12， 所以lg d＝＝＝0．25， 把点(4，1．54)代入v＝lg c＋xlg d， 得lg c＝0．54， 所以＝0．54＋0．25x， 则lg ＝0．54＋0．25x． 所以y关于x的回归方程为＝100.54＋0.25x， 把x＝8代入上式，得＝100.54＋0.25×8≈347， 故活动推出第8天使用扫码支付的人次约为3470． 课后课时精练 一、选择题 1．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 答案　D 解析　由散点图可知，成对数据构成的点分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln x．故选D． 2．已知变量y关于x的非线性回归方程为＝ex-0.5，其一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 若x＝5，则预测y的值可能为(　　) A．e5 B．e C．e7 D．e 答案　D 解析　将式子两边取对数， 得到ln ＝x－0．5，令＝ln ，得到＝x－0．5， 列出x，z的取值对应的表格如下： x 1 2 3 4 z 1 3 4 6 则＝＝2．5，＝＝3．5， ∵(，)满足＝x－0．5， ∴3．5＝×2．5－0．5，解得＝1．6， ∴＝1．6x－0．5，∴＝e1.6x-0.5， 当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e． 3．用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到回归直线方程z＝0．3x＋4，则c＝(　　) A．0．3 B．4 C．e0.3 D．e4 答案　D 解析　由z＝ln y，得y＝ez．由z＝0．3x＋4，得y＝ez＝e0.3x+4＝e4·e0.3x，所以c＝e4．故选D． 4．(多选)某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如下表所示，根据表中提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为＝0．7x＋0．35，则下列结论中正确的是(　　) x 3 4 5 6 y 2．5 t 4 4．5 A．回归直线一定过点(4．5，3．5) B．t的取值必定是3．15 C．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0．7吨 D．当A产品的产量为7吨时，相应的生产能耗为5．25吨 答案　ACD 解析　＝×(3＋4＋5＋6)＝4．5，则＝0．7×4．5＋0．35＝3．5，所以回归直线一定过点(4．5，3．5)，故A正确；因为＝×(2．5＋t＋4＋4．5)＝3．5，所以t＝3，故B错误；A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0．7吨，故C正确；因为＝0．7×7＋0．35＝5．25，故D正确． 二、填空题 5．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，数据如下表： 月平均气温x(℃) 17 13 8 2 月销售量y(件) 24 33 40 55 由表中数据算出回归直线方程＝x＋中的≈－2．气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________． 答案　46 解析　由表格得(，)为(10，38)，又(，)在回归直线＝x＋上，且≈－2，得38≈－2×10＋，≈58，所以＝－2x＋58，当x＝6时，＝－2×6＋58＝46． 6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现成对数据构成的点集中于某一条指数曲线y＝ebx+a的周围．令z＝ln y求得回归直线方程为＝0．25x－2．58，则该模型的非线性回归方程为________． 答案　＝e0.25x-2.58 解析　因为＝0．25x－2．58，z＝ln y，所以＝e0.25x-2.58． 7．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：万辆)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据作了初步处理，得到年销售量y与年宣传费x具有近似关系＝＋以及一些统计量的值如下：xi＝372．8，yi＝4504， ＝54．4， ＝76．2．已经求得近似关系中的系数＝68，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费x＝100(万元)时，年销售量y＝________(万辆)． 答案　780．6 解析　由＝－得＝100．6，∴＝68＋100．6，当x＝100时，＝780．6，∴预测年销售量为780．6万辆． 三、解答题 8．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15．0 25．8 30．0 36．6 44．4 y 39．4 42．9 42．9 43．1 49．2 (1)结合数据作出散点图； (2)求y与x之间的回归直线方程(结果保留两位小数)，对于基本苗数56．7估计有效穗． 解　(1)散点图如下： (2)由图看出，样本点分布在一条直线的附近，有比较强的线性相关关系，因此可以用回归直线刻画它们之间的关系． 设回归直线方程为＝x＋，因为＝30．36，＝43．5， x＝5101．56，＝1320．66，xiyi＝6746．76． 所以＝≈0．29， ＝－≈43．5－0．29×30．36≈34．70． 故所求的回归直线方程为＝0．29x＋34．70． 当x＝56．7时，＝0．29×56．7＋34．70＝51．143． 故对于基本苗数56．7，估计成熟期有效穗为51．143． 9．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i＝1，2，…，10)的数据，得到散点图如图所示： (1)利用散点图判断：y＝a＋bx和y＝cxd(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)? (2)对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi．得到相关统计量的值如下表： uivi ui vi u 30．5 15 15 46．5 根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程； (3)已知企业年利润z(单位：千万元)与x，y的关系为z＝y－x(其中e＝2．71828…)，根据(2)的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－． 解　(1)由散点图，知选择y＝cxd作为回归方程类型更适合． (2)对y＝cxd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du． 由表中数据，得＝＝1．5， ＝＝， 所以ln c＝－＝1．5－×1．5＝1， 所以c＝e， 所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为＝e·x． (3)由(2)知，(x)＝27x－x， 所以′(x)＝9x－1， 令′(x)＝9x－1＝0，得x＝27， 且当x∈(0，27)时，′(x)>0，(x)单调递增； 当x∈(27，＋∞)时，′(x)<0，(x)单调递减． 所以当x＝27时，取得最大值，且最大值为(27)＝54千万元． 故要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入27千万元研发费用． 1．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表： 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y/万件 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据污损不清，经查证yi＝9．32，t＝140，tiyi＝40．17，＝0．55． (1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t之间有很强的线性相关关系； (2)求y关于t的回归直线方程(结果中保留两位小数)； (3)公司经营期间的广告宣传费(单位：万元)xi＝(i＝1，2，…)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由(毛利润＝销售金额－广告宣传费)． 参考公式及数据：≈2．65，≈1．41，相关系数r＝，当|r|>0．8时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归直线方程是＝t＋，其中＝，＝－． 解　(1)由题意，得＝4，t－72＝28，tiyi－7＝tiyi－yi＝40．17－4×9．32＝2．89． ∴r＝≈≈0．99， ∵|r|＝0．99>0．8， ∴销售量y与月份代码t之间有很强的线性相关关系． (2)∵＝≈1．33，＝＝≈0．10，∴＝－≈1．33－0．10×4＝0．93， ∴y关于t的回归直线方程为＝0．10t＋0．93． (3)当t＝8时，＝0．10×8＋0．93＝1．73， 而10×1．73－≈17．3－2×1．41＝14．48， ∴第8个月的毛利润约为14．48万元． 又14．48<15， ∴第8个月的毛利润不能突破15万元． 2．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据： 使用年数x 2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6．4 4．4 3 z＝ln y 3．00 2．48 2．08 1．86 1．48 1．10 z关于x的折线图，如图所示． (1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少(，保留两位小数)? 参考公式：＝，＝－， r＝． 参考数据：xiyi＝187．4，xizi＝47．64， x＝139，≈4．18，≈13．96，≈1．53，ln 1．46≈0．38． 解　(1)由题意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4．5， ＝×(3＋2．48＋2．08＋1．86＋1．48＋1．10)＝2， 又xizi＝47．64，≈4．18， ≈1．53， ∴r≈＝－≈－0．99， ∴z与x的相关系数大约为－0．99，说明z与x的线性相关程度很高． (2)＝＝－≈－0．36， ∴＝－≈2＋0．36×4．5＝3．62， ∴z关于x的回归直线方程是＝－0．36x＋3．62， 又z＝ln y， ∴y关于x的回归方程是＝e-0.36x+3.62． 令x＝9，得＝e-0.36×9+3.62＝e0.38， ∵ln 1．46≈0．38，∴≈1．46， 即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1．46万元． 18 学科网（北京）股份有限公司 $