4.2.1 回归直线方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案围绕回归直线方程展开，引导学生理解一元线性回归模型的概念，掌握最小二乘法原理及参数估计方法，通过工人工资与劳动生产率等实例导入，联系相关关系和散点图知识，搭建从概念到应用的学习支架。 资料结合实例抽象数学概念，设计判一判、做一做等分层习题，培养学生的数学抽象和数据分析素养，题型示例注重数学运算能力提升，帮助学生用数学思维思考变量关系，提升自主学习效率和核心素养。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 4．2．1　回归直线方程 (教师独具内容) 课程标准：结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件． 教学重点：1．一元线性回归模型的概念．2．最小二乘法的原理． 教学难点：用最小二乘法估计一元线性回归模型的参数． 核心素养：1．通过学习一元线性回归模型的含义提升数学抽象素养和数据分析素养．2．通过学习参数的最小二乘估计提升数学运算素养． 知识点一　回归直线方程及其相关概念 1．对于相关的随机变量，经过大量的实践和观察，运用统计的方法，找到某种统计规律，这类统计规律，统计学中将其称为回归关系．有关回归关系的计算理论及方法称为回归分析．研究两个变量间的回归关系称为一元回归分析． 2．将一把直尺的一边在散点图的散点间移动，使它从整体上看，各散点与这条边所在直线最接近，然后做出这条直线，这条直线称为回归直线，这条直线的方程称为回归直线方程． 3．在一元回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示．用来预测或解释的变量称为自变量，用x表示．对于线性相关的两个变量，都可用一个线性方程y＝a＋bx来近似刻画它们之间的关系，其中a，b是待定常数． 知识点二　一元线性回归方程与最小二乘法 1．对于线性相关的两个变量的n对样本观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若将自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，其相应自变量(实际观测值)yi与根据y＝a＋bx估计出的对应于xi的纵坐标yi之间的距离记作|ei|，即|yi－(bxi＋a)|＝|ei|，则|ei|越小，表示样本点离直线y＝a＋bx的竖直距离越小，如图所示．特别地，当ei＝0时，表示点(xi，yi)在这条直线上． 我们可以用这n个竖直距离的和|yi－(bxi＋a)|来刻画所有样本预测数据与直线y＝a＋bx的“整体接近程度”． 2．在实际应用中，通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q＝__(yi－bxi－a)2来刻画“整体接近程度”．其中xi，yi(i＝1，2，…，n)是已知的成对样本数据，所以Q由a和b决定，即它是a和b的函数，并且Q越小越好． 3．经计算可知，当a，b的取值为 时，Q取得最小值，其中＝xi，＝yi．因此，将＝＋x称为y关于x的一元线性回归方程．它是根据样本数据求出的回归方程的估计，其中是回归直线在y轴上的截距，(也称为回归系数)是回归直线的斜率． 4．由于平方又叫二乘方，所以将这种使“竖直距离平方和最小”的方法称为最小二乘法． 5．点(，)称为样本中心，并且回归直线一定经过样本中心． 1．一元线性回归模型较好地解释了利用回归直线方程求出的函数值不一定是真实值的缘由．例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等． 2．利用回归直线方程可以进行预测估计总体，但是只有当散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则就毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性，若成线性，再按求回归直线方程的步骤求解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．(　　) (2)回归直线方程＝x＋反映了与x之间的函数关系．(　　) (3)回归直线方程＝x＋必经过点(，)．(　　) (4)由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝x＋至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)工人工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归直线方程为＝50＋80x，则劳动生产率提高1000元时，工资约提高________元． (2)有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品的销售额y的有关数据如下表： 平均气温x(℃) －2 －3 －5 －6 销售额y(万元) 20 23 27 30 根据以上数据，用最小二乘法，求得销售额y与平均气温x之间的回归直线方程＝x＋的系数＝－2．4，则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额约为________万元． 答案　(1)80　(2)34．6 题型　求回归直线方程 　某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下表： 次数(x) 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩(y) 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散点图； (2)求回归直线方程(结果保留三位小数)． 参考公式：＝． [解]　(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． (2)∵＝39．25，＝40．875， x＝12656，xiyi＝13180， ∴＝≈1．041， ＝－≈0．016． ∴回归直线方程为＝1．041x＋0．016． 【感悟提升】 求回归直线方程的步骤 (1)计算，，x＝x＋x＋…＋x， xiyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn； (2)代入公式＝，＝－； (3)写出回归直线方程＝x＋． 【跟踪训练】　某爆款玩具1月到11月的月销售量如下表所示： 月份数x 1 2 3 4 5 6 月销售量y/万个 2．6 3．9 5．7 7．3 7．7 9．9 月份数x 7 8 9 10 11 月销售量y/万个 11 13．8 15 16．1 17 求月销售量y(万个)关于月份数x的回归直线方程． 解　由表中数据可得，＝×(1＋2＋…＋10＋11)＝6， ＝×(2．6＋3．9＋…＋16．1＋17)＝10， xiyi＝825，x＝506， 所以＝＝＝1．5，＝－＝10－1．5×6＝1， 故月销售量y(万个)关于月份数x的回归直线方程为＝1．5x＋1． 1．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归直线方程可能为(　　) A．＝1．5x＋2 B．＝－1．5x＋2 C．＝1．5x－2 D．＝－1．5x－2 答案　B 解析　设其回归直线方程为＝x＋，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以<0，>0，因此，回归直线方程可能为＝－1．5x＋2．故选B． 2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，系数(　　) A．不能小于0 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0 答案　C 解析　当＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0．故选C． 3．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为＝0．85x－85．71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x之间具有正线性相关关系 B．回归直线过点(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58．79 kg 答案　ABC 解析　由于回归直线的斜率为正值，故y与x之间具有正线性相关关系，A正确；由求回归直线方程的过程可知回归直线过点(，)，B正确；根据回归直线斜率的意义易知C正确；由于回归分析得出的是估计值，故D不正确．故选ABC． 4．假设学生在初中的英语成绩和在高一的英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x)和高一英语成绩(y)如下： x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 由此得到的回归直线的斜率约为1．22，则回归直线方程为________． 答案　＝1．22x－14．32 解析　由题意可得＝71，＝72．3，≈1．22，代入＝＋，得≈72．3－1．22×71＝－14．32．故回归直线方程为＝1．22x－14．32． 5．在一次对人体脂肪含量y(%)和年龄x(岁)关系的研究中，得到如下数据： 年龄 23 27 39 41 45 50 脂肪含量 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 28．2 (1)画出散点图，判断x与y是否具有线性相关关系； (2)根据上表提供的数据，求y关于x的回归直线方程(结果保留三位小数)． 解　(1)以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，作散点图如图所示： 从图中可以看出x与y具有线性相关关系． (2)由表中数据，得 ＝＝37．5， ＝ ≈21．683， xiyi＝23×9．5＋27×17．8＋39×21．2＋41×25．9＋45×27．5＋50×28．2＝5235．3， x＝232＋272＋392＋412＋452＋502＝8985． 所以＝ ≈ ≈0．651， ＝－≈21．683－0．651×37．5≈－2．730． 所以所求的回归直线方程为＝0．651x－2．730． 课后课时精练 一、选择题 1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，分别得到以下结论： ①y与x负相关且＝2．347x－6．423； ②y与x负相关且＝－3．476x－5．648； ③y与x正相关且＝5．437x＋8．493； ④y与x正相关且＝－4．326x－4．578． 其中一定不正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析　回归直线方程＝x＋，当>0时，y与x正相关；当<0时，y与x负相关．由此可知①④一定不正确．故选D． 2．已知根据一组观测值(xi，yi)作出散点图后确定变量x，y具有线性相关关系，若对于回归直线方程＝x＋，求得＝0．51，＝61．75，＝38．14，则回归直线方程为(　　) A．＝0．51x＋6．65 B．＝6．65x＋0．51 C．＝0．51x＋42．30 D．＝42．30x＋0．51 答案　A 解析　因为＝0．51，＝－≈6．65，所以＝0．51x＋6．65．故选A． 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则下列结论正确的是(　　) A．>b′，>a′ B．>b′，<a′ C．<b′，>a′ D．<b′，<a′ 答案　C 解析　过(1，0)和(2，2)的直线方程为y′＝2x－2，画出散点图，回归直线的大致位置如图所示．显然，b′>，>a′．故选C． 二、填空题 4．已知x与y之间的几组数据如下表： x 0 1 2 3 y m 3 5．5 7 已求得y关于x的回归直线方程为＝2．2x＋0．7，则m的值为________． 答案　0．5 解析　∵＝＝1．5，＝＝，y关于x的回归直线方程为＝2．2x＋0．7，∴＝2．2×1．5＋0．7，解得m＝0．5．∴m的值为0．5． 5．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y关于总成绩x的回归直线方程为＝0．4x＋6．由此可以估计：若两名学生的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分． 答案　20 解析　设两名学生的总成绩分别为x1，x2，则对应的数学成绩估计为1＝0．4x1＋6，2＝0．4x2＋6，所以|1－2|＝|0．4(x1－x2)|＝0．4×50＝20． 三、解答题 6．某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2017年至2023年农村居民家庭收入y(单位：万元)的数据，其数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 农村居民家庭收入y 3．9 4．3 4．6 5．4 5．8 6．2 6．9 求y关于t的回归直线方程． 解　由表中数据可得，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＝×(3．9＋4．3＋4．6＋5．4＋5．8＋6．2＋6．9)＝5．3， tiyi＝162．4，t＝140， ＝＝＝0．5，＝－＝5．3－0．5×4＝3．3， 故所求回归直线方程为＝0．5t＋3．3． 7．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的数据如下表： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知x＝280，xiyi＝3487． (1)求，； (2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归直线方程(结果保留三位小数)． 解　(1)＝＝6， ＝≈79．857． (2)因为y与x有线性相关关系， 所以＝≈≈4．750， ≈79．857－4．750×6＝51．357． 故回归直线方程为＝4．750x＋51．357． 1．某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有如下数据： 广告支出x(单位：万元) 1 2 3 4 销售收入y(单位：万元) 12 28 42 56 根据以上数据算得yi＝138，xiyi＝418． 求出y关于x的回归直线方程＝x＋，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关． 解　由表中数据，得＝＝2．5，＝＝34．5，x＝30， 所以＝＝＝14．6， ＝－＝34．5－14．6×2．5＝－2， 所以回归直线方程为＝14．6x－2，且变量y与x正相关． 2．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2020年投入沙漠治理经费2亿元，从2021年到2023年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x(亿元)和沙漠治理面积y(万亩)的相关数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 x 2 3 4 5 y 26 39 49 54 求y关于x的回归直线方程． 解　由表中数据可得，＝＝3．5， ＝＝42， xiyi＝635，x＝54， 则＝＝＝9．4，＝－＝42－9．4×3．5＝9．1， 故所求回归直线方程为＝9．4x＋9．1． 11 学科网（北京）股份有限公司 $