第3章 3.2.2 第1课时 两点分布和二项分布-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

3.2.2　几个常用的分布 第1课时　两点分布和二项分布 [学习目标]　1.理解n次独立重复试验的概念.2.掌握两点分布和二项分布.3.能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 导语 某学生走在大街上看见路旁有一群人,他挤进去看见一块木牌上写着:只需投掷二十次,便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖),他一阵窃喜:数学老师刚讲过,投硬币时,正面朝上和正面朝下为等可能事件,概率均为,20×不就是10吗?这简直是必然事件嘛!于是走上前去,将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢?通过学习本节课的内容我们就可以知道了. 一、两点分布 知识梳理 两点分布的概念 如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),则称随机变量X服从两点分布,记作X~B(1,p). 例1　(1)(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X= D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X 答案　BCD 解析　只有A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布. (2)　(课本例3)　设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求P(X=0)的值. 解　由题意知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P 1-p p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以p=2(1-p)，解得p=，1-p=. 因此P(X=0)=. (2)袋内有10个白球,5个红球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列. 解　由题设可知X服从两点分布. P(X=0)==, P(X=1)=1-P(X=0)=. ∴X的分布列为 X 0 1 P 反思感悟　两点分布的关注点 (1)判断方法: ①看取值:随机变量只取两个值0和1. ②验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. (2)特别情况:有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,可以利用两点分布来研究. 跟踪训练1　已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 解　由题意知,X服从两点分布, P(X=0)==, 所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 二、n次独立重复试验 问题1　观察下面试验有什么共同的特点? (1)抛掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5; (2)某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7,现有气球10个; (3)某篮球队员罚球命中率为0.8,罚球6次. 提示　(1)相同条件下的试验:5次、10次、6次. (2)每次试验相互独立. (3)每次试验只有两种可能的结果:发生或不发生. (4)每次试验发生的概率相同,为p;不发生的概率也相同,为1-p. 知识梳理 1.伯努利试验 一个所有可能结果只有两种的随机试验,称为伯努利试验. 2.n次独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且各次试验的结果相互独立,那么称这样的试验为n重伯努利试验,它也是一种n次独立重复试验. 注意点: 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的,所以第i次试验的结果不受前i-1次结果的影响.(其中i=1,2,…,n) 例2　判断下列试验是不是n次独立重复试验. (1)依次抛掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中. 解　(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n次独立重复试验. (2)某人射击且击中目标的概率是稳定的,因此是n次独立重复试验. 反思感悟　n次独立重复试验的判断依据 (1)要看试验是不是在相同条件下可以重复进行. (2)每次试验相互独立,互不影响. (3)每次试验都只有两种结果,即事件发生、事件不发生. 跟踪训练2　(多选)下列不是n次独立重复试验的是(　　) A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同条件下,甲射击10次,5次击中目标 答案　ABC 解析　A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;D是n次独立重复试验. 三、二项分布 问题2　连续抛掷一枚图钉3次,且每次针尖向上的概率为p,针尖向下的概率为q,则仅出现1次针尖向上的概率是多少? 提示　连续抛掷一枚图钉3次,就是做3次独立重复试验,用Ai表示“第i次掷得针尖向上”事件(i=1,2,3),用B1表示“仅出现一次针尖向上”事件,则B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p. 问题3　类似地,连续抛掷一枚图钉3次,出现k(k=0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少?有什么规律? 提示　用Ai表示事件“第i次掷得针尖向上”(i=1,2,3), 用Bk表示事件“出现k次针尖向上”(k=0,1,2,3), P(B0)=P()=q3=p0q3, P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3q2p=p1q2, P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)=3qp2=p2q1, P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0, 规律:P(Bk)=pkq3-k(k=0,1,2,3). 知识梳理 二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A出现的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则X的分布列为:P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n,其中q=1-p. 注意到pkqn-k正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项,故称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),其中n,p为参数,p为事件发生的概率. 注意点: (1)在X~B(n,p)中,n表示试验次数,p表示事件发生的概率. (2)由二项式定理可知,二项分布的所有概率和为1. (3)两点分布与二项分布之间的关系: 两点分布是特殊的二项分布,即X~B(n,p)中,当n=1时,二项分布便是两点分布,也就是说二项分布是两点分布的一般形式. 例3　(课本例4)　10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次.求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率. 解　记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q. 方法一　设B=“3次抽检，恰好有2个次品”，Ai=“第i次抽到次品”(i=1，2，3)，则=“第i次抽到正品”(i=1，2，3). 因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个，即A1A2，A1A3，A2A3.这三个事件是互斥的，并且A1，A2，A3之间都是相互独立的.由概率加法公式有 P(B)=P(A1A2∪A1A3∪A2A3) =P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3) =P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3) =p2q+p2q+p2q=3p2q =3××=0.189. 方法二　用X表示抽检次数，则X是一个随机变量.设事件A为“抽检到次品”.事件A在3次试验中发生2次，共有种情形，由试验的独立性可知，事件A在其中的2次发生时，其余的(3-2)次则不发生，其概率为p2q3-2.故事件A恰好发生2次的概率为 P(X=2)=p2q3-2=3p2q=3×× =0.189. 例3　甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设甲、乙每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,知射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P()=1-=. (2)记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B2, 则P(A2)=×=, P(B2)=××=, 由于甲、乙射击相互独立, 故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=. 反思感悟　(1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能应用该公式. ②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 跟踪训练3　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的游戏,其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”,双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙在游戏时出示三种手势是等可能的. (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; (2)若玩家甲、乙共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列. 解　(1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布),共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共3个. 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=. (2)由题意知,X=0,1,2,3,X~B. 所以P(X=0)=×=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=×=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1.知识清单: (1)两点分布. (2)n次独立重复试验的概念及特征. (3)二项分布的概念、表示. 2.方法归纳:数学建模. 3.常见误区:二项分布的判断错误. 1.若随机变量X~B,则P(X=2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为随机变量X~B, 则P(X=2)==. 2.某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行,参赛选手需要全部参加完五场公开比赛,其中五场中有四场获胜,就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是,则这名选手能参加决赛的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可知五场中获胜的场次 X~B, 所求选手能参加决赛的概率P=··+··=. 3.在4次独立重复试验中,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件A在一次试验中发生的概率为p, 由题意得1-p0(1-p)4=, 所以1-p=,p=. 4.从次品率为0.1的一批产品中任取4件,恰有2件次品的概率为　　　　.  答案　0.048 6 解析　P=×0.12×(1-0.1)2=0.048 6. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分 1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　P=××=. 2.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍,一次试验只有成功与失败两种结果,用ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ=1)等于(　　) A.0 B. C. D. 答案　C 解析　由题意知,{ξ=0}表示“一次试验失败”,{ξ=1}表示“一次试验成功”. 设一次试验失败率为p,则成功率为2p, 所以p+2p=1,解得p=, 所以P(ξ=1)=. 3.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为(　　) A.× B. C.× D.×× 答案　A 解析　由题意知前3次取出的均为黑球,第4次取出的为白球.故其概率为×. 4.(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法错误的有(　　) A.每次出现正面向上的概率为0.5 B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25 C.出现n次正面向上的概率为0.510 D.出现n次正面向上的概率为0.5n 答案　BD 解析　随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次, 对于A,每次出现正面向上的概率为0.5,故A正确; 对于B,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率也为0.5,故B错误; 对于C,出现n次正面向上的概率为×0.5n×0.510-n=0.510,故C正确,D错误. 5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮, 有两天出现大潮概率为××=, 有三天出现大潮概率为×=, 所以至少有两天出现大潮的概率为+=. 6.(多选)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,若该射手射击四次命中次数为ξ,每次命中的概率为p,则(　　) A.ξ~B(4,p) B.P(ξ≥1)= C.p=或p= D.p= 答案　ABD 解析　设此射手射击四次命中次数为ξ,每次命中的概率为p, 所以ξ~B(4,p). 依题意可知,P(ξ≥1)=, 所以1-P(ξ=0)=1-(1-p)4=, 所以(1-p)4=, 所以p=或p=(舍去). 7.(5分)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)=　　　　.  答案　0.8 解析　∵Y=3X-2,当Y=-2时,X=0, ∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.8. 8.(5分)若将一枚质地均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　.  答案　 解析　正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次, 所求概率P=++=. 9.(10分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各棵大树是否成活互不影响. (1)求至少有1棵成活的概率;(5分) (2)求两种大树各成活1棵的概率.(5分) 解　设Ak表示第k棵甲种大树成活,k=1,2,Bi表示第i棵乙种大树成活,i=1,2, 则A1,A2,B1,B2相互独立, 且P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=. (1)至少有1棵成活的概率为 1-P()=1-P()P()P()P() =1-=. (2)用C表示事件“两种大树各成活1棵”,由独立重复试验的概率公式知,所求概率为P(C)=×××××=×=. 10.(10分)甲、乙两队参加某次知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且每个人答对与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列;(5分) (2)设C表示事件“甲得2分,乙得1分”,求P(C).(5分) 解　(1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3, 且P(ξ=0)=×=, P(ξ=1)=××=, P(ξ=2)=××=, P(ξ=3)=×=, ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)甲得2分,乙得1分,两事件是相互独立的, 由上表可知,甲得2分,其概率P(ξ=2)=, 乙得1分,用B表示事件“乙得1分”,其概率P(B)=××+××+××=. 根据相互独立事件的概率公式得 P(C)=×=. 11.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1) 答案　A 解析　由题意知p(1-p)3≤p2(1-p)2, 解得p≥0.4,又0<p<1,故0.4≤p<1. 12.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知P(ξ=0)=(1-p)2=1-=, ∴p=或p=(舍去), 则P(η≥2)=p3+p2(1-p)1=+=. 13.(多选)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论正确的是(　　) A.这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B.这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C.这5个家庭中,不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D.这5个家庭中,4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率为 答案　ACD 解析　由题意得小汽车的普及率为75%=. 对于A选项,这5个家庭均拥有小汽车的概率为=,故A选项正确; 对于B选项,这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为××=,故B选项不正确; 对于C选项,这5个家庭中,不超过2个家庭拥有小汽车的概率为×+×+×==,故C选项正确; 对于D选项,这5个家庭中,4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率为××+=,故D选项正确. 14.(5分)某人抛掷一枚硬币,出现正反面向上的概率都是,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N+),则S4=2的概率为　　　　.  答案　 解析　S4=2,即4次中有3次正面向上、1次反面向上,则所求概率P=××=. 15.某综艺节目中有一个盲拧魔方游戏,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况,某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查,得到的情况如表所示: 用时/秒 [5,10] (10,15] (15,20] (20,25] 人数 20 33 31 16 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率,每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试,其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　根据题意得,1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为=,设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ, 则ξ~B, 其中P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,20, 当k≥1时,由 得 化简得 解得≤k≤,又k∈N,所以k=4,所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 16.(12分)为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别,研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β,并收集统计了β的亩产量,所得数据如图所示.已知传统粮食α的平均亩产量约为760公斤. (1)通过计算比较传统粮食α与新型粮食β的平均亩产量的大小关系;(5分) (2)以频率估计概率,若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β,记亩产量不低于785公斤的土地块数为X,求X的分布列.(7分) 解　(1)依题意知,新型粮食β的平均亩产量为750×0.05+760×0.1+770×0.2+780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=782(公斤); 因为782>760,故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量. (2)任取1块土地,新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为,故X~B, 故P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第3章 <<< 两点分布和二项分布 1.理解n次独立重复试验的概念. 2.掌握两点分布和二项分布. 3.能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 学习目标 某学生走在大街上看见路旁有一群人,他挤进去看见一块木牌上写着:只需投掷二十次,便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖),他一阵窃喜:数学老师刚讲过,投硬币时,正面朝上和正面朝下为等可能事件,概率均为,20×不就是10吗?这简直是必然事件嘛!于是走上前去,将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢?通过学习本节课的内容我们就可以知道了. 导 语 一、两点分布 二、n次独立重复试验 课时对点练 三、二项分布 随堂演练 内容索引 两点分布 一 两点分布的概念 如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)= ,p∈ (0,1),则称随机变量X服从两点分布,记作 . 1-p X~B(1,p) 知识梳理 (1)(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是 A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X= D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X 例 1 √ √ √ 只有A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布. 7 (2)(课本例3)　设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求P(X=0)的值. 由题意知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P 1-p p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以p=2(1-p)，解得p=，1-p=. 因此P(X=0)=. 8 (2)袋内有10个白球,5个红球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列. 9 由题设可知X服从两点分布. P(X=0)==, P(X=1)=1-P(X=0)=. ∴X的分布列为 X 0 1 P 10 (1)判断方法: ①看取值:随机变量只取两个值0和1. ②验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. (2)特别情况:有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,可以利用两点分布来研究. 两点分布的关注点 反 思 感 悟 11 　已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 跟踪训练 1 由题意知,X服从两点分布, P(X=0)==, 所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 12 二 n次独立重复试验 观察下面试验有什么共同的特点? (1)抛掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5; (2)某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7,现有气球10个; (3)某篮球队员罚球命中率为0.8,罚球6次. 问题1 提示　(1)相同条件下的试验:5次、10次、6次. (2)每次试验相互独立. (3)每次试验只有两种可能的结果:发生或不发生. (4)每次试验发生的概率相同,为p;不发生的概率也相同,为1-p. 1.伯努利试验 一个所有可能结果只有两种的随机试验,称为伯努利试验. 2.n次独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且各次试验的结果 ,那么称这样的试验为n重伯努利试验,它也是一种n次独立重复试验. 相互独立 知识梳理 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的,所以第i次试验的结果不受前i-1次结果的影响.(其中i=1,2,…,n) 注 意 点 <<< 16 判断下列试验是不是n次独立重复试验. (1)依次抛掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 例 2 由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n次独立重复试验. 17 (2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中. 某人射击且击中目标的概率是稳定的,因此是n次独立重复试验. 18 (1)要看试验是不是在相同条件下可以重复进行. (2)每次试验相互独立,互不影响. (3)每次试验都只有两种结果,即事件发生、事件不发生. n次独立重复试验的判断依据 反 思 感 悟 19 　 (多选)下列不是n次独立重复试验的是 A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射 中目标” D.在相同条件下,甲射击10次,5次击中目标 跟踪训练 2 √ A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件; B是相互独立事件; D是n次独立重复试验. √ √ 20 二项分布 三 连续抛掷一枚图钉3次,且每次针尖向上的概率为p,针尖向下的概率为q,则仅出现1次针尖向上的概率是多少? 问题2 提示　连续抛掷一枚图钉3次,就是做3次独立重复试验,用Ai表示“第i次掷得针尖向上”事件(i=1,2,3),用B1表示“仅出现一次针尖向上”事件,则B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p. 类似地,连续抛掷一枚图钉3次,出现k(k=0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少?有什么规律? 问题3 提示　用Ai表示事件“第i次掷得针尖向上”(i=1,2,3), 用Bk表示事件“出现k次针尖向上”(k=0,1,2,3), P(B0)=P()=q3=p0q3, P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3q2p=p1q2, P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)=3qp2=p2q1, P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0, 规律:P(Bk)=pkq3-k(k=0,1,2,3). 二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A出现的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则X的分布列为:P(X=k)=_______,k=0,1,…,n,其中q=1-p. 注意到pkqn-k正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项,故称随机变量X服从二项分布,记作 ,其中n,p为参数,p为事件发生的概率. pkqn-k X~B(n,p) 知识梳理 (1)在X~B(n,p)中,n表示试验次数,p表示事件发生的概率. (2)由二项式定理可知,二项分布的所有概率和为1. (3)两点分布与二项分布之间的关系: 两点分布是特殊的二项分布,即X~B(n,p)中,当n=1时,二项分布便是两点分布,也就是说二项分布是两点分布的一般形式. 注 意 点 <<< 25 (课本例4)　10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次.求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率. 例 3 26 记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q. 方法一　设B=“3次抽检，恰好有2个次品”，Ai=“第i次抽到次品”(i=1，2，3)，则=“第i次抽到正品”(i=1，2，3). 因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个，即A1A2，A1A3，A2A3.这三个事件是互斥的，并且A1，A2，A3之间都是相互独立的.由概率加法公式有 P(B)=P(A1A2∪A1A3∪A2A3) =P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3) 27 =P(A1)P(A2)P()+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3) =p2q+p2q+p2q=3p2q =3××=0.189. 方法二　用X表示抽检次数，则X是一个随机变量.设事件A为“抽检到次品”.事件A在3次试验中发生2次，共有种情形，由试验的独立性可知，事件A在其中的2次发生时，其余的(3-2)次则不发生，其概率为p2q3-2.故事件A恰好发生2次的概率为 P(X=2)=p2q3-2=3p2q=3××=0.189. 28 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设甲、乙每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; 例 3 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,知射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P()=1-=. 29 (2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B2, 则P(A2)=×=, P(B2)=××=, 由于甲、乙射击相互独立, 故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=. 30 (1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能应用该公式. ②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 反 思 感 悟 31 　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的游戏,其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”,双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙在游戏时出示三种手势是等可能的. (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; 跟踪训练 3 32 玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布),共9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共3个. 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=. 33 (2)若玩家甲、乙共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列. 34 由题意知,X=0,1,2,3,X~B. 所以P(X=0)=×=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=×=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 35 1.知识清单: (1)两点分布. (2)n次独立重复试验的概念及特征. (3)二项分布的概念、表示. 2.方法归纳:数学建模. 3.常见误区:二项分布的判断错误. 课堂小结 随堂演练 四 因为随机变量X~B, 则P(X=2)==. 1.若随机变量X~B,则P(X=2)等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 1 2 3 4 2.某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行,参赛选手需要全部参加完五场公开比赛,其中五场中有四场获胜,就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是,则这名选手能参加决赛的概率是 A. B. C. D. 由题意可知五场中获胜的场次 X~B, 所求选手能参加决赛的概率P=··+··=. √ 设事件A在一次试验中发生的概率为p, 由题意得1-p0(1-p)4=, 所以1-p=,p=. 1 2 3 4 3.在4次独立重复试验中,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 A. B. C. D. √ P=×0.12×(1-0.1)2=0.048 6. 1 2 3 4 4.从次品率为0.1的一批产品中任取4件,恰有2件次品的概率为　　　　.  0.048 6 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是 A. B. C. D. P=××=. 基础巩固 13 14 15 16 √ 2.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍,一次试验只有成功与失败两种结果,用ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ=1)等于 A.0 B. C. D. 由题意知,{ξ=0}表示“一次试验失败”,{ξ=1}表示“一次试验成功”. 设一次试验失败率为p,则成功率为2p, 所以p+2p=1,解得p=, 所以P(ξ=1)=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为 A.× B. C.× D.×× 由题意知前3次取出的均为黑球,第4次取出的为白球. 故其概率为×. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法错误的有 A.每次出现正面向上的概率为0.5 B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25 C.出现n次正面向上的概率为0.510 D.出现n次正面向上的概率为0.5n 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次, 对于A,每次出现正面向上的概率为0.5,故A正确; 对于B,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率也为0.5,故B错误; 对于C,出现n次正面向上的概率为×0.5n×0.510-n=0.510,故C正确,D错误. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为 A. B. C. D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮, 有两天出现大潮概率为××=, 有三天出现大潮概率为×=, 所以至少有两天出现大潮的概率为+=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,若该射手射击四次命中次数为ξ,每次命中的概率为p,则 A.ξ~B(4,p) B.P(ξ≥1)= C.p=或p= D.p= 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设此射手射击四次命中次数为ξ,每次命中的概率为p, 所以ξ~B(4,p). 依题意可知,P(ξ≥1)=, 所以1-P(ξ=0)=1-(1-p)4=, 所以(1-p)4=, 所以p=或p=(舍去). 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y= -2)=　　　　.  ∵Y=3X-2,当Y=-2时,X=0, ∴P(Y=-2)=P(X=0)=0.8. 13 14 15 16 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.若将一枚质地均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　.  正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次, 所求概率P=++=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各棵大树是否成活互不影响. (1)求至少有1棵成活的概率; 13 14 15 16 设Ak表示第k棵甲种大树成活,k=1,2,Bi表示第i棵乙种大树成活,i=1,2, 则A1,A2,B1,B2相互独立, 且P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=. 至少有1棵成活的概率为 1-P()=1-P()P()P()P()=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求两种大树各成活1棵的概率. 13 14 15 16 用C表示事件“两种大树各成活1棵”,由独立重复试验的概率公式知,所求概率为P(C)=×××××=×=. 10.甲、乙两队参加某次知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且每个人答对与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3, 且P(ξ=0)=×=, P(ξ=1)=××=, P(ξ=2)=××=, P(ξ=3)=×=, ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设C表示事件“甲得2分,乙得1分”,求P(C). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲得2分,乙得1分,两事件是相互独立的, 由右表可知,甲得2分,其概率P(ξ=2)=, 乙得1分,用B表示事件“乙得1分”,其概率P(B)=××+××+××=. 根据相互独立事件的概率公式得 P(C)=×=. ξ 0 1 2 3 P 由题意知p(1-p)3≤p2(1-p)2, 解得p≥0.4,又0<p<1,故0.4≤p<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1) 综合运用 √ 13 14 15 16 12.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为 A. B. C. D. 易知P(ξ=0)=(1-p)2=1-=, ∴p=或p=(舍去), 则P(η≥2)=p3+p2(1-p)1=+=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)某城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论正确的是 A.这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B.这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C.这5个家庭中,不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D.这5个家庭中,4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意得小汽车的普及率为75%=. 对于A选项,这5个家庭均拥有小汽车的概率为=,故A选项正确; 对于B选项,这5个家庭中,恰有3个家庭拥有小汽车的概率为× ×=,故B选项不正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C选项,这5个家庭中,不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 ×+×+×==,故C选项正确; 对于D选项,这5个家庭中,4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率 为××+=,故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S4=2,即4次中有3次正面向上、1次反面向上, 则所求概率P=××=. 14.某人抛掷一枚硬币,出现正反面向上的概率都是,构造数列{an},使得 an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N+),则S4=2的概 率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某综艺节目中有一个盲拧魔方游戏,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况,某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查,得到的情况如表所示: 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率,每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试,其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是 A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 用时/秒 [5,10] (10,15] (15,20] (20,25] 人数 20 33 31 16 √ 根据题意得,1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为=, 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ, 则ξ~B, 其中P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,20, 当k≥1时,由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得 化简得 解得≤k≤,又k∈N,所以k=4, 所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别,研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β,并收集统计了β的亩产量,所得数据如图所示.已知传统粮食 α的平均亩产量约为760公斤. (1)通过计算比较传统粮食α 与新型粮食β的平均亩产量 的大小关系; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意知,新型粮食β的平均亩产量为750×0.05+760×0.1+770×0.2+ 780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=782(公斤); 因为782>760,故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量. 13 14 15 16 (2)以频率估计概率,若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β,记亩产量不低于785公斤的土地块数为X,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 任取1块土地,新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为, 故X~B, 故P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=4)==, 故X的分布列为 13 14 15 16 X 0 1 2 3 4 P 第一章 <<< $$