第3章 3.2.2 第2课时 超几何分布-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　超几何分布 学习目标　1.理解超几何分布的概念及特征.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.3.理解超几何分布与二项分布的关系. 导语 为促进各学校的共同发展,学校之间派部分老师相互交流.已知一学校派出16名一级教师,4名高级教师组成一队伍去相互交流学习,现在需要从这20人中任意选取3人去甲学校,设X表示其中高级教师的人数.则X的可能取值有哪些?你能求出当X=2时对应的概率吗?这里的X的概率分布有怎样的规律? 一、超几何分布的概念 问题　已知在10件产品中有4件次品,分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,试写出X的分布列. 提示　若采用有放回抽样,则X服从二项分布,即X~B(3,0.4),其分布列为P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k,k=0,1,2,3. 若采用不放回抽样,{X=k}表示“取出的3件产品中恰有k件次品”,k=0,1,2,3,这意味着,从4件次品中取出k件,再从6件正品中取出3-k件,共有种取法,故X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3. 知识梳理 超几何分布 一般地,设有N件产品,其中有M件次品.从中任取n件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么 P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.(*) 其中M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)}, r=min{n,M},n,M,N∈N+. 公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0. 若随机变量X的分布列具有(*)式的形式,则称分布列 X m m+1 … r P … 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n). 注意点: (1)需明确X~H(N,M,n)中各参数的含义,N表示总体中的个体总数,M表示不合格品总数,n表示抽取的样本容量,k表示抽取的样本中不合格品数. (2)超几何分布的特点: ①不放回抽样. ②考察对象分两类. ③实质是古典概型. 例1　下列问题中,哪些属于超几何分布问题?说明理由. (1)抛掷三枚骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列; (2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记为X,求X的分布列; (3)盒子中有3个红球,4个黄球,5个蓝球,任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列; (4)某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数记为X,求X的分布列; (5)现有100台平板电脑未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X,求X的分布列. 解　(1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是n次独立重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取的n件样本中某类样本被抽取的件数,是超几何分布. (5)中没有给出不合格产品数,无法计算X的分布列,所以不属于超几何分布问题. 反思感悟　判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 跟踪训练1　一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,则X是否服从超几何分布,请说明理由? 解　不服从超几何分布. 因为随机变量X是否服从超几何分布,关键是看随机变量X的分布列是否由P(X=k)=确定,对应的N,M,n是多少. 本题随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 不妨探讨“X=4”与“X=5”两种情况: “X=4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”,其概率P(X=4)=; “X=5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”,其概率P(X=5)=. 显然仅从“X=4”与“X=5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X=k)=确定的,所以随机变量X不服从超几何分布. 二、超几何分布的应用 例2　(课本例9)　某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率(精确到0.000 1). 解　从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果.用X表示抽到的红球数，则X~H(18，8，3)，并且 P(得一等奖)=P(X=3)== ≈0.068 6. P(得二等奖)=P(X=2)== ≈0.343 1. P(得三等奖)=P(X=1)== ≈0.441 2. 因此，得一等奖的概率约为0.068 6，得二等奖的概率约为0.343 1，得三等奖的概率约为0.441 2. 例2　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛,用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解　依题意,随机变量X服从超几何分布, 所以P(X=k)=(k=0,1,2,3,4), 所以P(X=0)==, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 反思感悟　超几何分布的求解步骤 (1)辨模型:结合实际情景分析所求分布列的问题是否由明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. 跟踪训练2　10件工艺品中有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,求抽得二等品的件数X的分布列. 解　X的可能取值为0,1,2,3. 由题意知X服从超几何分布, 所以P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 三、二项分布与超几何分布的区别与联系 例3　在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品. (1)若从10件产品中任意抽取1件,设取到一等品的件数为ξ,求ξ的分布列; (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件.每次抽取后都放回,设取到一等品的件数为η,求η的分布列; (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件.每次抽取后都不放回,设取到一等品的件数为X,求X的分布列. 解　(1)若只抽取1件,则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况,故X的取值只有0和1两种情况,服从两点分布, P(ξ=1)=, 则P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=1-=. 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P (2)若每次抽取后都放回,则每次抽到一等品的概率均为,3次抽取可以看成3次独立重复试验, 因此η~B,所以 P(η=0)==, P(η=1)==, P(η=2)==, P(η=3)==. 因此随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P (3)若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件,因此一等品的件数X服从参数10,3,3的超几何分布, 即X~H(10,3,3), 所以从10件产品中任取3件,其中恰有m件一等品的概率为P(X=m)=,m=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 反思感悟　在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似转化成二项分布 跟踪训练3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如表: 分组区间(单位:克) [490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在(495,510]克的产品为一等品,其余为二等品. (1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率; (2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列. 解　(1)样本中一共有3+4+7+5+1=20(件)产品,包装质量在(495,510]克的产品有4+7+5=16(件),故从该流水线任取一件产品为一等品的概率P==. (2)依题意,X的可能取值为0,1,2, P(X=2)==,P(X=1)==, P(X=0)==. 故X的分布列为 X 0 1 2 P (3)依题意,Y~B,则Y的可能取值为0,1,2. P(Y=2)==, P(Y=1)=××=, P(Y=0)==. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 1.知识清单: (1)超几何分布的概念. (2)超几何分布的应用. (3)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳:公式法、间接法. 3.常见误区:混淆二项分布与超几何分布导致出错. 1.(多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有(　　) A.在10件产品中有3件次品,依次不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X 答案　ABD 解析　依据超几何分布模型定义可知,A,B,D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布. 2.盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设取出红球的个数为X,易知X服从超几何分布.∴P(X=2)==. 3.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为(　　) A.1- B. C.1- D. 答案　AD 解析　从12个产品中任意抽取4个,样本点总数为; 其中恰好有1个二等品的样本点有个, ∴恰好有1个二等品的概率P=; 也可由对立事件计算可得P=1-. 4.一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球,每次拿一个,共拿三次,记拿到黄色球的个数为X. (1)若取球过程是无放回的,则事件{X=2}发生的概率为　　　　;  (2)若取球过程是有放回的,则事件{X=2}发生的概率为　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)当无放回取球时,6个球任取三个,有种不同的取法,其中黄球个数为2的取法有种,故P(X=2)==. (2)当有放回取球时,每次取到黄球的概率都是=,取到黄球的次数X服从二项分布,故P(X=2)=×=. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分 1.一个袋中有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个大小相同的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量,其中服从超几何分布的变量是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 答案　D 解析　由超几何分布的概念知D符合. 2.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同,若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数,则X服从超几何分布,其参数为(　　) A.N=9,M=4,n=4 B.N=9,M=5,n=5 C.N=13,M=4,n=4 D.N=14,M=5,n=5 答案　A 解析　根据超几何分布的定义知 N=9,M=4,n=4. 3.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记X为2张中的中奖数,则P(X=2)==. 4.设袋中有8个红球,4个白球,若从袋中任取4个球,则其中至多3个红球的概率为(　　) A. B. C.1- D.1- 答案　D 解析　从袋中任取4个球,其中红球的个数X服从参数为N=12,M=8,n=4的超几何分布,故至多3个红球的概率P(X≤3)=1-P(X=4)=1-. 5.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本有(　　) A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 答案　C 解析　设语文课本有n本,则数学课本有(7-n)本(2≤n<7),则2本都是语文课本的概率是 =. 所以n2-n-12=0, 解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.即语文课本有4本. 6.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,则概率是的事件为(　　) A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 答案　C 解析　令{X=k}表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”(k=1,2,3,4), 则P(X=k)=. 所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=. 故“恰有2个是好的”的概率是. 7.(5分)某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动,这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机,记X为选取的年龄低于30岁的人数,则P(X=1)=　　　　.  答案　 解析　易知P(X=1)==. 8.(5分)莫高窟坐落在甘肃的敦煌,每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟,在这8个洞窟中莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被誉为非常值得参观的洞窟.某游客为了节省时间需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观,所有选择中至少包含2个非常值得参观的洞窟的概率是　　　　.  答案　 解析　已知8个开放洞窟中有3个非常值得参观,随机选择4个进行参观,至少包含2个非常值得参观的洞窟包括2个和3个两种情况. 则所求概率P==. 9.(10分)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题,且每道题完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.记所抽取的3道题中,甲答对的题数为X,求X的分布列. 解　由题意得X的可能取值为1,2,3, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为 X 1 2 3 P 10.(12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生;B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(6分) (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列.(6分) 解　(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6人, 代表队中的学生全从B中学抽取(A中学没有学生入选代表队)的概率为=, 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)根据题意,知X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P 11. 《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知,10个数中,1,3,5,7,9是阳数,2,4,6,8,10是阴数, 若任取3个数中有2个阳数, 则P===, 若任取3个数中有3个阳数, 则P===, 故这3个数中至少有2个阳数的概率 P=+=. 12.(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列说法中正确的是(　　) A.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分,则X服从超几何分布 B.若X表示取出的黑球的个数,则X服从超几何分布 C.若X表示取出白球的个数,则P(X=2)= D.若X表示取出黑球的个数,则P(X≥3)= 答案　ABD 解析　A,B均根据超几何分布的定义可得,故A,B正确;C中,P(X=2)==,故C错误;D中,P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=,故D正确. 13.(5分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=　　　　　　.  答案　1 解析　由题意可得,P(ξ=2) ==, 化简得(m+n)2+7(m+n)-60=0, 得m+n=5(m+n=-12舍去). 又取出的两个球为一红一黄的概率 P===, 解得m=3,故n=2. 所以m-n=1. 14.(5分)现有a个白球、b个黑球(其外观、大小完全一致),从中不放回地摸出k个球,用X(a,b,k)表示摸出的白球个数,则使得P(X(4,6,k)≥2)≥的k的最小值为　　　　.  答案　6 解析　依题意,若k=1,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,1)≥2)=0, 若k=2,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,2)≥2)==<, 若k=3,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,3)≥2)==<, 若k=4,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,4)≥2)==<, 若k=5,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,5)≥2)==<, 若k=6,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,6)≥2)==>, 所以k的最小值为6. 15.(5分)50张彩票中只有2张中奖,从中任取n张,要使这n张彩票至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为　　　　.  答案　15 解析　用X表示中奖的彩票数,则P(X≥1)=+>0.5,解得n≥15. 16.(12分)高三某班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同,现依次从中摸出5个球.规定摸到4个红球,1个白球的就中一等奖. (1)若摸出后放回,求中一等奖的概率;(4分) (2)若摸出后不放回, ①求中一等奖的概率;(4分) ②若至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.(4分) 解　(1)若摸出后放回,设摸到白球的个数为ξ,则ξ~B,中一等奖即事件{ξ=1},所以P(ξ=1)==. (2)若以30个球为一批产品,其中红球为不合格产品,随机抽取5个球,X表示取到的红球数,则X服从超几何分布H(30,10,5), ①由公式得,P(X=4)==, 所以中一等奖的概率为. ②X的可能取值为0,1,2,3,4,5,根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++=, 故中奖的概率约为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第3章 <<< 超几何分布 1.理解超几何分布的概念及特征. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 3.理解超几何分布与二项分布的关系. 学习目标 为促进各学校的共同发展,学校之间派部分老师相互交流.已知一学校派出16名一级教师,4名高级教师组成一队伍去相互交流学习,现在需要从这20人中任意选取3人去甲学校,设X表示其中高级教师的人数.则X的可能取值有哪些?你能求出当X=2时对应的概率吗?这里的X的概率分布有怎样的规律? 导 语 一、超几何分布的概念 二、超几何分布的应用 课时对点练 三、二项分布与超几何分布的区别与联系 随堂演练 内容索引 超几何分布的概念 一 提示　若采用有放回抽样,则X服从二项分布,即X~B(3,0.4),其分布列为P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k,k=0,1,2,3. 若采用不放回抽样,{X=k}表示“取出的3件产品中恰有k件次品”,k=0,1,2, 3,这意味着,从4件次品中取出k件,再从6件正品中取出3-k件, 共有种取法,故X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3. 已知在10件产品中有4件次品,分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,试写出X的分布列. 问题 超几何分布 一般地,设有N件产品,其中有M件次品.从中任取n件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么 P(X=k)=_________,k=m,m+1,m+2,…,r. (*) 其中M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)}, r=min{n,M},n,M,N∈N+. 公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0. 知识梳理 若随机变量X的分布列具有(*)式的形式,则称分布列 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作 . X~H(N,M,n) X m m+1 … r P … 注 意 点 <<< (1)需明确X~H(N,M,n)中各参数的含义,N表示总体中的个体总数,M表示不合格品总数,n表示抽取的样本容量,k表示抽取的样本中不合格品数. (2)超几何分布的特点: ①不放回抽样. ②考察对象分两类. ③实质是古典概型. 9 下列问题中,哪些属于超几何分布问题?说明理由. (1)抛掷三枚骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列; (2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记为X,求X的分布列; (3)盒子中有3个红球,4个黄球,5个蓝球,任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列; (4)某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数记为X,求X的分布列; (5)现有100台平板电脑未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X,求X的分布列. 例 1 10 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是n次独立重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取的n件样本中某类样本被抽取的件数,是超几何分布. (5)中没有给出不合格产品数,无法计算X的分布列,所以不属于超几何分布问题. 11 (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 反 思 感 悟 12 　一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,则X是否服从超几何分布,请说明理由? 跟踪训练 1 13 不服从超几何分布. 因为随机变量X是否服从超几何分布,关键是看随机变量X的分布列是 否由P(X=k)=确定,对应的N,M,n是多少. 本题随机变量X的可能取值为3,4,5,6. 不妨探讨“X=4”与“X=5”两种情况: 14 “X=4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2 个”,其概率P(X=4)=; “X=5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的 2个”,其概率P(X=5)=. 显然仅从“X=4”与“X=5”两种情况就可看出随机变量X的分布不 是由P(X=k)=确定的,所以随机变量X不服从超几何分布. 15 二 超几何分布的应用 (课本例9)　某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率(精确到0.000 1). 例 2 17 从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果.用X表示抽到的红球数，则X~H(18，8，3)，并且 P(得一等奖)=P(X=3)==≈0.068 6. P(得二等奖)=P(X=2)==≈0.343 1. P(得三等奖)=P(X=1)==≈0.441 2. 因此，得一等奖的概率约为0.068 6，得二等奖的概率约为0.343 1，得三等奖的概率约为0.441 2. 18 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛,用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 例 2 19 依题意,随机变量X服从超几何分布, 所以P(X=k)=(k=0,1,2,3,4), 所以P(X=0)==, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 20 (1)辨模型:结合实际情景分析所求分布列的问题是否由明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以 利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. 超几何分布的求解步骤 反 思 感 悟 21 　10件工艺品中有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,求抽得二等品的件数X的分布列. 跟踪训练 2 22 X的可能取值为0,1,2,3. 由题意知X服从超几何分布, 所以P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 23 二项分布与超几何分布的区别与联系 三 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品. (1)若从10件产品中任意抽取1件,设取到一等品的件数为ξ,求ξ的分布列; 例 3 若只抽取1件,则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况,故X的取值只有0和1两种情况,服从两点分布, P(ξ=1)=, 则P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=1-=. 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 25 (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件.每次抽取后都放回,设取到一等品的件数为η,求η的分布列; 26 若每次抽取后都放回,则每次抽到一等品的概率均为,3次抽取可以看成3次独立重复试验, 因此η~B,所以 P(η=0)==, P(η=1)==, P(η=2)==, P(η=3)==. 因此随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 27 (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件.每次抽取后都不放回,设取到一等品的件数为X,求X的分布列. 28 若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件,因此一等品的件数X服从参数10,3,3的超几何分布, 即X~H(10,3,3), 所以从10件产品中任取3件,其中恰有m件一等品的概率为P(X=m)= ,m=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 29 在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 反 思 感 悟 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球), X服从二项分布; ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球), X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似转化成二项分布 30 　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如表: 跟踪训练 3 分组区间(单位:克) [490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在(495,510]克的产品为一等品,其余为二等品. (1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率; 样本中一共有3+4+7+5+1=20(件)产品,包装质量在(495,510]克的产品有4+7+5=16(件),故从该流水线任取一件产品为一等品的概率P==. 31 分组区间(单位:克) [490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515] 产品件数 3 4 7 5 1 (2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列; 依题意,X的可能取值为0,1,2, P(X=2)==,P(X=1)==, P(X=0)==. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 32 分组区间(单位:克) [490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515] 产品件数 3 4 7 5 1 (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列. 33 依题意,Y~B,则Y的可能取值为0,1,2. P(Y=2)==, P(Y=1)=××=, P(Y=0)==. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 34 1.知识清单: (1)超几何分布的概念. (2)超几何分布的应用. (3)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳:公式法、间接法. 3.常见误区:混淆二项分布与超几何分布导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有 A.在10件产品中有3件次品,依次不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲 型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为 随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X 1 2 3 4 √ √ √ 依据超几何分布模型定义可知,A,B,D中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是 A. B. C. D. 设取出红球的个数为X,易知X服从超几何分布.∴P(X=2)==. √ 1 2 3 4 3.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为 A.1- B. C.1- D. √ √ 从12个产品中任意抽取4个,样本点总数为; 其中恰好有1个二等品的样本点有个, ∴恰好有1个二等品的概率P=; 也可由对立事件计算可得P=1-. 1 2 3 4 当无放回取球时,6个球任取三个,有种不同的取法,其中黄球个数为2的取法有种,故P(X=2)==. 1 2 3 4 4.一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球,每次拿一个,共拿三次,记拿到黄色球的个数为X. (1)若取球过程是无放回的,则事件{X=2}发生的概率为　　　;  当有放回取球时,每次取到黄球的概率都是=,取到黄球的次数X服从二项分布,故P(X=2)=×=. 1 2 3 4 (2)若取球过程是有放回的,则事件{X=2}发生的概率为　　　　.  课时对点练 五 由超几何分布的概念知D符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.一个袋中有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个大小相同的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量,其中服从超几何分布的变量是 A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同,若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数,则X服从超几何分布,其参数为 A.N=9,M=4,n=4 B.N=9,M=5,n=5 C.N=13,M=4,n=4 D.N=14,M=5,n=5 根据超几何分布的定义知 N=9,M=4,n=4. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是 A. B. C. D. 记X为2张中的中奖数,则P(X=2)==. 13 14 15 16 √ 4.设袋中有8个红球,4个白球,若从袋中任取4个球,则其中至多3个红球的概率为 A. B. C.1- D.1- 从袋中任取4个球,其中红球的个数X服从参数为N=12,M=8,n=4的超几何分布,故至多3个红球的概率P(X≤3)=1-P(X=4)=1-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本有 A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 设语文课本有n本,则数学课本有(7-n)本(2≤n<7), 则2本都是语文课本的概率是=. 所以n2-n-12=0, 解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.即语文课本有4本. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,则概率是的事件为 A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令{X=k}表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”(k=1,2,3,4), 则P(X=k)=. 所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=. 故“恰有2个是好的”的概率是. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动,这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机, 记X为选取的年龄低于30岁的人数,则P(X=1)=　　　　.  易知P(X=1)==. 13 14 15 16 8.莫高窟坐落在甘肃的敦煌,每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟,在这8个洞窟中莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被誉为非常值得参观的洞窟.某游客为了节省时间需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观,所有选择中至少 包含2个非常值得参观的洞窟的概率是　　　　.  已知8个开放洞窟中有3个非常值得参观,随机选择4个进行参观,至少包含2个非常值得参观的洞窟包括2个和3个两种情况. 则所求概率P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题,且每道题完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.记所抽取的3道题中,甲答对的题数为X,求X的分布列. 13 14 15 16 由题意得X的可能取值为1,2,3, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 1 2 3 P 10.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生;B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知,参加集训的男生、女生各有6人, 代表队中的学生全从B中学抽取(A中学没有学生入选代表队)的概率 为=, 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意,知X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若 从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳 数的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合运用 √ 13 14 15 16 由题意可知,10个数中,1,3,5,7,9是阳数,2,4,6,8,10是阴数, 若任取3个数中有2个阳数, 则P===, 若任取3个数中有3个阳数, 则P===, 故这3个数中至少有2个阳数的概率 P=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列说法中正确的是 A.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分, 则X服从超几何分布 B.若X表示取出的黑球的个数,则X服从超几何分布 C.若X表示取出白球的个数,则P(X=2)= D.若X表示取出黑球的个数,则P(X≥3)= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A,B均根据超几何分布的定义可得,故A,B正确; C中,P(X=2)==,故C错误; D中,P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由题意可得,P(ξ=2)==, 化简得(m+n)2+7(m+n)-60=0, 得m+n=5(m+n=-12舍去). 又取出的两个球为一红一黄的概率 P===, 解得m=3,故n=2. 所以m-n=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.现有a个白球、b个黑球(其外观、大小完全一致),从中不放回地摸出k个球,用X(a,b,k)表示摸出的白球个数,则使得P(X(4,6,k)≥2)≥的k的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 13 14 15 16 依题意,若k=1,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,1)≥2)=0, 若k=2,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,2)≥2)==<, 若k=3,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,3)≥2)==<, 若k=4,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,4)≥2)==<, 若k=5,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,5)≥2)==<, 若k=6,则P(X(4,6,k)≥2)=P(X(4,6,6)≥2)==>, 所以k的最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.50张彩票中只有2张中奖,从中任取n张,要使这n张彩票至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为　　　　.  用X表示中奖的彩票数,则P(X≥1)=+>0.5,解得n≥15. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 16.高三某班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同,现依次从中摸出5个球.规定摸到4个红球,1个白球的就中一等奖. (1)若摸出后放回,求中一等奖的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若摸出后放回,设摸到白球的个数为ξ,则ξ~B,中一等奖即事件{ξ=1},所以P(ξ=1)==. 13 14 15 16 (2)若摸出后不放回, ①求中一等奖的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若以30个球为一批产品,其中红球为不合格产品,随机抽取5个球,X表示取到的红球数,则X服从超几何分布H(30,10,5), 由公式得,P(X=4)==, 所以中一等奖的概率为. 13 14 15 16 ②若至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X的可能取值为0,1,2,3,4,5,根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++=, 故中奖的概率约为. 13 14 15 16 第一章 <<< $$