第3章 3.2.3 离散型随机变量的数学期望-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 [学习目标]　1.通过实例理解离散型随机变量的数学期望的概念,能计算简单离散型随机变量的数学期望.2.理解离散型随机变量的数学期望的性质.3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的数学期望.4.会利用离散型随机变量的数学期望,反映离散型随机变量取值的平均水平,解决一些相关的实际问题. 导语 在射击运动中,射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件. (1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点? (2)如何比较两个选手的射击情况? (3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大?这些问题的解决需要离散型随机变量的知识. 一、离散型随机变量的数学期望 问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理?假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗糖果的单价(元/kg),你能写出X的分布列吗? 提示　=18×+24×+36×=23(元/kg). X的分布列为 X 18 24 36 P 知识梳理 离散型随机变量的数学期望 (1)离散型随机变量的数学期望的概念: 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的数学期望或均值. (2)离散型随机变量的数学期望的意义: 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平. 注意点: (1)数学期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数. (2)离散型随机变量的数学期望E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 例1　某节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,要是三道题目全部猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望. 解　根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”, 则X的可能取值为-4,1,3,6. ∴P(X=-4)=×× =, P(X=1)=××+××+××=, P(X=3)=××+××+××=, P(X=6)=××==. ∴X的分布列为 X -4 1 3 6 P ∴E(X)=(-4)×+1×+3×+6× =. 反思感悟　求随机变量X的数学期望关键是写出分布列,一般分为四步 (1)确定X的可能取值; (2)计算出P(X=k); (3)写出分布列; (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 跟踪训练1　某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望. 解　X的可能取值为1,2,3,4. 则P(X=1)=0.6, P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×1=0.024. 所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 二、两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望 知识梳理 1.两点分布:若X~B(1,p),则E(X)=p. 2.二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=np. 3.超几何分布:若X~H(N,M,n),则E(X)=. 例2　(1)(课本例10)　甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分.用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望. 解　{X=1}的充分必要条件是击中目标， 所以P(X=1)=p. {X=0}是{X=1}的对立事件， 所以P(X=0)=1-P(X=1)=1-p. 于是E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×p+0×(1-p)=p. 因此甲合理的期望是得p分. (2)(课本例11)　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买.设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望. 解　设A表示甲、乙两种保险都不购买，则 P(A)=1-(0.5+0.3)=0.2. 由于各车主购买保险相互独立，根据 题意可知，100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布，即X~B(100，0.2). 所以E(X)=100×0.2=20. (3)(课本例12)　一袋中装有质地、大小均相同的50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数ξ的数学期望. 解　袋中球的总数为50+45+5=100，根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数ξ服从超几何分布，即ξ~H(100，5，20). 因为N=100，M=5，n=20， 所以E(ξ)===1. 例2　为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望; (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和数学期望. 解　(1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 方法一　E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　∵ξ~H(10,4,3),∴E(ξ)==. (2)由题意可知,全市80后打算生三胎的概率为P==,η=0,1,2,3.且η~B. P(η=k)=(k=0,1,2,3), ∴η的分布列为 η 0 1 2 3 P 方法一　E(η)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　E(η)=3×=. 反思感悟　求常见的几种分布的数学期望的关注点 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得数学期望. 跟踪训练2　中医药学是中国古代科学的瑰宝,也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷,得到的数据如表所示: 　　成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在[0,60)内代表对中医药文化了解程度低,成绩在[60,100]内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人,求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率; (2)将频率视为概率,现从该地41~50岁年龄段的市民中随机抽取3人,记X为对中医药文化了解程度高的人数,求X的分布列和数学期望. 解　(1)由表格中的数据可知,成绩在[60,100]的人数为9+6+22+18=55, 所以抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为=. (2)根据表格可知,41~50岁年龄段中,成绩在[0,60)内的人数为2+8+10=20, 成绩在[60,100]内的人数为22+18=40, 则随机抽取1人,这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率P==, 了解程度低的概率为1-P=. 由题意可知X~B,则X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=××=,P(X=1)=××=, P(X=2)=××=,P(X=3)=××=, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=2. 三、数学期望的性质及综合应用 问题2　若X,Y都是一离散型随机变量,且Y=aX+b(其中a,b是常数),那么E(Y)与E(X)有怎样的关系? 提示　X,Y的分布列为 X x1 x2 … xi … xn Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … pi … pn 于是E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b. 知识梳理 离散型随机变量的数学期望的性质: 若Y=aX+b,a,b为常数,则E(Y)=aE(X)+b. 例3　(1)已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　.  答案　 解析　由随机变量分布列的性质,得 +++m+=1,解得m=, ∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 即E(Y)=-2×=. 延伸探究　本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=-,求a的值. 解　E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,所以a=15. (2)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表: 甲公司送餐员送餐单数频数表: 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表: 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 若将频率视为概率,回答下列两个问题: ①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值; ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由. 解　①设乙公司送餐员送餐单数为a, 当a=38时,X=38×6=228,P==; 当a=39时,X=39×6=234,P==; 当a=40时,X=40×6=240,P==; 当a=41时,X=40×6+1×7=247,P==; 当a=42时,X=40×6+2×7=254,P==, 故X的所有可能取值为228,234,240,247,254, 故X的分布列为 X 228 234 240 247 254 P 故E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8(元). ②甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1 =39.7, 则甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8(元), 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元,238.8<241.8, 所以推荐小王去乙公司应聘. 反思感悟　(1)求线性关系的随机变量η=aξ+b的数学期望的方法 ①定义法:先列出η的分布列,再求数学期望. ②性质法:直接套用公式,E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b,求解即可. (2)解答概率模型的三个步骤 ①建模:即把实际问题概率模型化. ②解模:确定分布列,计算随机变量的数学期望. ③回归:利用所得数据,对实际问题作出判断. 跟踪训练3　某商场在开业当天进行有奖促销活动,规定该商场购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会,每次中奖的概率为,每次中奖与否相互不影响,中奖1次可获得50元奖金,中奖2次可获得100元奖金,中奖3次可获得200元奖金. (1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下,甲第一次抽奖就中奖的概率; (2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元,则从数学期望的角度预测该活动是否会超过预算?请说明理由. 解　(1)设“顾客甲获得了100元奖金”为事件A,“甲第一次抽奖就中奖”为事件B, 则P(AB)=×××=,P(A)=××=, 故P(B|A)===. (2)设一名顾客获得的奖金为X元,则X的取值可能为0,50,100,200, 则P(X=0)==,P(X=50)=××=, P(X=100)=××=,P(X=200)=×=, 则E(X)=0×+50×+100×+200×=(元), 于是200E(X)=200× =<15 000,故预测该活动不会超过预算. 1.知识清单: (1)离散型随机变量的数学期望. (2)两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望. (3)离散型随机变量的数学期望的应用,E(aX+b)=aE(X)+b. 2.方法归纳:函数与方程、转化化归、建模思想. 3.常见误区:不会应用数学期望对实际问题作出正确分析. 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)等于(　　) A. B.2 C. D. 答案　A 解析　E(X)=1×+2×+3×=. 2.若随机变量X~B(5,0.8),则E(X)的值为(　　) A.0.8 B.4 C.5 D.3 答案　B 解析　∵X~B(5,0.8),∴E(X)=5×0.8=4. 3.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　X的可能取值有0,1,2, 且P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 则E(X)=0×+1×+2×=. 4.若随机变量Y=aX+3,且E(Y)=,E(X)=-,则a=　　　　.  答案　2 解析　∵E(X)=-,E(Y)=,Y=aX+3, ∴E(Y)=aE(X)+3=-a+3=, 解得a=2. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共18分 1.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的数学期望E(X)等于(　　) A.2 B.2或 C. D.1 答案　C 解析　由随机变量分布列的性质得+=1,即a2+a-2=0, 解得a=-2(舍去)或a=1, ∴E(X)=. 2.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数X的数学期望为(　　) A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6 答案　B 解析　∵途中遇红灯的次数X服从二项分布, 即X~B(3,0.4),∴E(X)=3×0.4=1.2. 3.(多选)已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a=7 B.b=0.4 C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62 答案　ABC 解析　由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3, 解得b=0.4,a=7. ∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1, E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52. 4.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理.根据前四年的销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位:束)的分布列如下表所示,若进这种鲜花500束,则利润的数学期望是(　　) ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元 B.690元 C.754元 D.720元 答案　A 解析　由分布列可以得到需求量的数学期望是 E(ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340.故利润的数学期望是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元). 5.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)等于(　　) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 答案　B 解析　由已知得X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, ∴E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5. 6.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的均值为1,则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意,得比赛一局得分的均值为3×a+1×b+0×c=1,故3a+b=1, 又a,b,c∈[0,1),故3a+b≥2,解得ab≤,当且仅当3a=b,即a=,b=时等号成立. 7.(5分)某人有资金10万元,准备用于投资经营甲、乙两种商品,根据统计资料: 投资甲获利(万元) 2 3 -1 概率 0.4 0.3 0.3 投资乙获利(万元) 1 4 -2 概率 0.6 0.2 0.2 那么他应该选择经营　　　　种商品.  答案　甲 解析　投资甲商品获利的数学期望E甲=2×0.4+3×0.3+(-1)×0.3=1.4, 投资乙商品获利的数学期望E乙=1×0.6+4×0.2+(-2)×0.2=1.因为E甲>E乙,故他应该选择经营甲种商品. 8.(5分)随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次,所得点数X的数学期望是　　　　.  答案　3.5 解析　由题意,X的可能取值为1,2,3,4,5,6, 且P(X=i)=,i=1,2,3,4,5,6, 所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5. 9.(10分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;(4分) (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.(6分) 解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 10.(10分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有一位采用1期付款”的概率P(A);(5分) (2)求η的分布列及数学期望E(η).(5分) 解　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中,至少有一位采用1期付款”知,表示事件“购买该商品的3位顾客中,无人采用1期付款”. P()=(1-0.4)3=0.216, 故P(A)=1-P()=1-0.216=0.784. (2)η的可能取值为200,250,300. P(η=200)=P(ξ=1)=0.4, P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4, P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2, 因此η的分布列为 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). 11.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)等于(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案　D 解析　设A,B两市受台风袭击的概率均为p, 则A市和B市都不受台风袭击的概率为 (1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8 (舍去), P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04, ∴E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. 12.已知实数a,b,c成等差数列,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b c 当a增大时,则下列说法中正确的是(　　) A.E(X)增大 B.E(X)减小 C.E(X)先增大后减小 D.E(X)先减小后增大 答案　B 解析　因为实数a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又由分布列的性质可得a+b+c=1,所以a+c=,b=,所以0≤a≤,所以E(X)=0·a+1×+2c=+2=-2a+,所以当a增大时,E(X)减小. 13.(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表: 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,则(　　) A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,则E(X1)=2.86 C.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E(X2)=2.99 D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车 答案　BD 解析　设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==. 依题意得,X1的分布列为 X1 1 2 3 P E(X1)=1×+2×+3×==2.86, X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P E(X2)=1.8×+2.9×=2.79. 因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 14.(5分)设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=··(k=0,1,2,…,300),则E(X)=　　　　,若Y=2X-1,则E(Y)=　　　　.  答案　100　199 解析　由P(X=k)=··, 可知X~B,∴E(X)=300×=100. E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=200-1=199. 15.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可以为(　　) A. B. C. D. 答案　AB 解析　根据题意知,X的所有可能取值为1,2,3, 且P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p)2, 则E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3, 依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75, 解得p>或p<, 结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈. 结合选项可知A,B正确. 16.(12分)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设,提出要优化传统业态,创新产品和服务方式,培育新业态、新产品、新模式,促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境,强化服务意识,全面提升景区服务质量,准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率为. (1)若一次抽取3个团队,在抽取的3个团队是同类型团队的条件下,求这3个团队全是跟团游团队的概率;(6分) (2)若一次抽取4个团队,设这4个团队中私家游团队的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.(6分) 解　(1)由题意知共有(m+6)个团队, 一次抽取2个团队的情况有种,其中全是私家游团队的情况有种, 故一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率是 ==, 整理得m2+11m-152=0, 解得m=8或m=-19(舍去), 若一次抽取的3个团队,全是私家游团队, 则共有=20(种)情况, 若一次抽取的3个团队,全是跟团游团队, 则共有=56(种)情况, 所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下, 这3个团队全是跟团游团队的概率为=. (2)由题意知,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(ξ=0)===, P(ξ=1)===, P(ξ=2)===, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 <<< 3.2.3　离散型随机变 量的数学期望 1.通过实例理解离散型随机变量的数学期望的概念,能计算简单离散型随机变量的数学期望. 2.理解离散型随机变量的数学期望的性质. 3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的数学期望. 4.会利用离散型随机变量的数学期望,反映离散型随机变量取值的平均水平,解决一些相关的实际问题. 学习目标 在射击运动中,射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件. (1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点? (2)如何比较两个选手的射击情况? (3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大?这些问题的解决需要离散型随机变量的知识. 导 语 一、离散型随机变量的数学期望 二、两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望 课时对点练 三、数学期望的性质及综合应用 随堂演练 内容索引 离散型随机变量的数学期望 一 提示　=18×+24×+36×=23(元/kg). X的分布列为 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理?假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗糖果的单价(元/kg),你能写出X的分布列吗? 问题1 X 18 24 36 P 离散型随机变量的数学期望 (1)离散型随机变量的数学期望的概念: 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)= 为X的数学期望或均值. (2)离散型随机变量的数学期望的意义: 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的 . x1p1+x2p2+…+xnpn X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 平均水平 知识梳理 注 意 点 <<< (1)数学期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数. (2)离散型随机变量的数学期望E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 8 某节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,要是三道题目全部猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望. 例 1 9 根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”, 则X的可能取值为-4,1,3,6. ∴P(X=-4)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=3)=××+××+××=, P(X=6)=××==. ∴X的分布列为 ∴E(X)=(-4)×+1×+3×+6×=. X -4 1 3 6 P 10 (1)确定X的可能取值; (2)计算出P(X=k); (3)写出分布列; (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 求随机变量X的数学期望关键是写出分布列,一般分为四步 反 思 感 悟 11 　某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望. 跟踪训练 1 12 X的可能取值为1,2,3,4. 则P(X=1)=0.6, P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×1=0.024. 所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 13 二 两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望 1.两点分布:若X~B(1,p),则E(X)= . 2.二项分布:若X~B(n,p),则E(X)= . 3.超几何分布:若X~H(N,M,n),则E(X)=____. p np 知识梳理 (1)(课本例10)　甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分.用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望. 例 2 {X=1}的充分必要条件是击中目标， 所以P(X=1)=p. {X=0}是{X=1}的对立事件， 所以P(X=0)=1-P(X=1)=1-p. 于是E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×p+0×(1-p)=p. 因此甲合理的期望是得p分. 16 (2)(课本例11)　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买.设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望. 设A表示甲、乙两种保险都不购买，则 P(A)=1-(0.5+0.3)=0.2. 由于各车主购买保险相互独立，根据题意可知，100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布，即X~B(100，0.2). 所以E(X)=100×0.2=20. 17 (3)(课本例12)　一袋中装有质地、大小均相同的50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数ξ的数学期望. 袋中球的总数为50+45+5=100，根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数ξ服从超几何分布，即ξ~H(100，5，20). 因为N=100，M=5，n=20， 所以E(ξ)===1. 18 为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望; 例 2 19 由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. ∴ξ的分布列为 方法一　E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　∵ξ~H(10,4,3),∴E(ξ)==. ξ 0 1 2 3 P 20 (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和数学期望. 21 由题意可知,全市80后打算生三胎的概率为P==,η=0,1,2,3. 且η~B. P(η=k)=(k=0,1,2,3), ∴η的分布列为 方法一　E(η)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　E(η)=3×=. η 0 1 2 3 P 22 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得数学期望. 求常见的几种分布的数学期望的关注点 反 思 感 悟 23 　中医药学是中国古代科学的瑰宝,也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷,得到的数据如表所示: 跟踪训练 2 规定成绩在[0,60) 内代表对中医药文 化了解程度低,成绩 在[60,100]内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人,求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率; 　　成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 24 由表格中的数据可知,成绩在[60,100]的人数为9+6+22+18=55, 所以抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为=. 　　成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 25 (2)将频率视为概率,现从该地41~50岁年龄段的市民中随机抽取3人,记X为对中医药文化了解程度高的人数,求X的分布列和数学期望. 　　成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 26 根据表格可知,41~50岁年龄段中,成绩在[0,60)内的人数为2+8+10=20, 成绩在[60,100]内的人数为22+18=40, 则随机抽取1人,这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率 P==, 了解程度低的概率为1-P=. 　　成绩 年龄段 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31~40岁 4 8 13 9 6 41~50岁 2 8 10 22 18 27 由题意可知X~B,则X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=××=,P(X=1)=××=, P(X=2)=××=,P(X=3)=××=, 所以随机变量X的分布列为 所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=2. X 0 1 2 3 P 28 数学期望的性质及综合应用 三 若X,Y都是一离散型随机变量,且Y=aX+b(其中a,b是常数),那么E(Y)与E(X)有怎样的关系? 问题2 提示　X,Y的分布列为 于是E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b. X x1 x2 … xi … xn Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … Pi … pn 离散型随机变量的数学期望的性质: 若Y=aX+b,a,b为常数,则E(Y)= . aE(X)+b 知识梳理 (1)已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　.  例 3 X -2 -1 0 1 2 P m 32 由随机变量分布列的性质,得 +++m+=1,解得m=, ∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 即E(Y)=-2×=. 33 本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=-,求a的值. E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,所以a=15. 延伸探究 34 (2)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表: 甲公司送餐员送餐单数频数表: 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 35 乙公司送餐员送餐单数频数表: 若将频率视为概率,回答下列两个问题: ①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值; 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 36 设乙公司送餐员送餐单数为a, 当a=38时,X=38×6=228,P==; 当a=39时,X=39×6=234,P==; 当a=40时,X=40×6=240,P==; 当a=41时,X=40×6+1×7=247,P==; 当a=42时,X=40×6+2×7=254,P==, 故X的所有可能取值为228,234,240,247,254, 37 故X的分布列为 故E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8(元). X 228 234 240 247 254 P 38 ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由. 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 则甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8(元), 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元,238.8<241.8, 所以推荐小王去乙公司应聘. 39 (1)求线性关系的随机变量η=aξ+b的数学期望的方法 ①定义法:先列出η的分布列,再求数学期望. ②性质法:直接套用公式,E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b,求解即可. (2)解答概率模型的三个步骤 ①建模:即把实际问题概率模型化. ②解模:确定分布列,计算随机变量的数学期望. ③回归:利用所得数据,对实际问题作出判断. 反 思 感 悟 40 　某商场在开业当天进行有奖促销活动,规定该商场购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会,每次中奖的概率为,每次中奖与否相互不影响,中奖1次可获得50元奖金,中奖2次可获得100元奖金,中奖3次可获得200元奖金. (1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下,甲第一次抽奖就中奖的概率; 跟踪训练 3 41 设“顾客甲获得了100元奖金”为事件A,“甲第一次抽奖就中奖”为事件B, 则P(AB)=×××=,P(A)=××=, 故P(B|A)===. 42 (2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元,则从数学期望的角度预测该活动是否会超过预算?请说明理由. 设一名顾客获得的奖金为X元,则X的取值可能为0,50,100,200, 则P(X=0)==,P(X=50)=××=, P(X=100)=××=,P(X=200)=×=, 则E(X)=0×+50×+100×+200×=(元), 于是200E(X)=200×=<15 000,故预测该活动不会超过预算. 43 1.知识清单: (1)离散型随机变量的数学期望. (2)两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望. (3)离散型随机变量的数学期望的应用,E(aX+b)=aE(X)+b. 2.方法归纳:函数与方程、转化化归、建模思想. 3.常见误区:不会应用数学期望对实际问题作出正确分析. 课堂小结 随堂演练 四 E(X)=1×+2×+3×=. 1.已知离散型随机变量X的分布列为 则E(X)等于 A. B.2 C. D. X 1 2 3 P 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.若随机变量X~B(5,0.8),则E(X)的值为 A.0.8 B.4 C.5 D.3 ∵X~B(5,0.8),∴E(X)=5×0.8=4. √ 1 2 3 4 3.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)等于 A. B. C. D. √ X的可能取值有0,1,2, 且P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 则E(X)=0×+1×+2×=. 1 2 3 4 ∵E(X)=-,E(Y)=,Y=aX+3, ∴E(Y)=aE(X)+3=-a+3=, 解得a=2. 1 2 3 4 4.若随机变量Y=aX+3,且E(Y)=,E(X)=-,则a=　　　　.  2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)等于 A.2 B.2或 C. D.1 基础巩固 13 14 15 16 √ X 0 1 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由随机变量分布列的性质得+=1,即a2+a-2=0, 解得a=-2(舍去)或a=1, ∴E(X)=. 13 14 15 16 2.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数X的数学期望为 A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6 ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布, 即X~B(3,0.4),∴E(X)=3×0.4=1.2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则 A.a=7 B.b=0.4 C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3, 解得b=0.4,a=7. ∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1, E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理.根据前四年的销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位:束)的分布列如下表所示,若进这种鲜花500束,则利润的数学期望是 A.706元 B.690元 C.754元 D.720元 13 14 15 16 √ ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由分布列可以得到需求量的数学期望是 E(ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340.故利润的数学期望是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元). 13 14 15 16 ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)等于 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 13 14 15 16 √ 由已知得X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, ∴E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的均值为1,则ab的最大值为 A. B. C. D. 由题意,得比赛一局得分的均值为3×a+1×b+0×c=1,故3a+b=1, 又a,b,c∈[0,1),故3a+b≥2,解得ab≤,当且仅当3a=b,即a=,b=时等号成立. 13 14 15 16 √ 7.某人有资金10万元,准备用于投资经营甲、乙两种商品,根据统计资料:   那么他应该选择经营　　　　种商品.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲 投资甲商品获利的数学期望E甲=2×0.4+3×0.3+(-1)×0.3=1.4, 投资乙商品获利的数学期望E乙=1×0.6+4×0.2+(-2)×0.2=1. 因为E甲>E乙,故他应该选择经营甲种商品. 投资甲获利(万元) 2 3 -1 概率 0.4 0.3 0.3 投资乙获利(万元) 1 4 -2 概率 0.6 0.2 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次,所得点数X的数学期望是　　　　.  由题意,X的可能取值为1,2,3,4,5,6, 且P(X=i)=,i=1,2,3,4,5,6, 所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5. 13 14 15 16 3.5 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. 9.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为   E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. X 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有一位采用1期付款”的概率P(A); 13 14 15 16 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 由A表示事件“购买该商品的3位顾客中,至少有一位采用1期付款”知,表示事件“购买该商品的3位顾客中,无人采用1期付款”. P()=(1-0.4)3=0.216, 故P(A)=1-P()=1-0.216=0.784. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求η的分布列及数学期望E(η). 13 14 15 16 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 η的可能取值为200,250,300. P(η=200)=P(ξ=1)=0.4, P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4, P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2, 因此η的分布列为   E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 综合运用 √ 13 14 15 16 设A,B两市受台风袭击的概率均为p, 则A市和B市都不受台风袭击的概率为 (1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8 (舍去), P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04, ∴E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知实数a,b,c成等差数列,随机变量X的分布列为 当a增大时,则下列说法中正确的是 A.E(X)增大 B.E(X)减小 C.E(X)先增大后减小 D.E(X)先减小后增大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 0 1 2 P a b c 因为实数a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又由分布列的性质可得a+b+c=1, 所以a+c=,b=,所以0≤a≤,所以E(X)=0·a+1×+2c=+2=-2a+,所以当a增大时,E(X)减小. 13.(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,则 A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,其首次出现故障发生在保修 期内的概率为 B.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,则 E(X1)=2.86 C.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则 E(X2)=2.99 D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中 一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A, 则P(A)==. 依题意得,X1的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X1 1 2 3 P E(X1)=1×+2×+3×==2.86, X2的分布列为   E(X2)=1.8×+2.9×=2.79. 因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X2 1.8 2.9 P 由P(X=k)=··, 可知X~B,∴E(X)=300×=100. E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=200-1=199. 14.设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=··(k=0,1,2,…,300),则E(X)=　　　　,若Y=2X-1,则 E(Y)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 13 14 15 16 199 15.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可以为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ √ 根据题意知,X的所有可能取值为1,2,3, 且P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p)2, 则E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3, 依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75, 解得p>或p<, 结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈. 结合选项可知A,B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设,提出要优化传统业态,创新产品和服务方式,培育新业态、新产品、新模式,促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境,强化服务意识,全面提升景区服务质量,准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率为. (1)若一次抽取3个团队,在抽取的3个团队是同类型团队的条件下,求这3个团队全是跟团游团队的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知共有(m+6)个团队, 一次抽取2个团队的情况有种,其中全是私家游团队的情况有种, 故一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率是 ==, 整理得m2+11m-152=0, 解得m=8或m=-19(舍去), 若一次抽取的3个团队,全是私家游团队, 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则共有=20(种)情况, 若一次抽取的3个团队,全是跟团游团队, 则共有=56(种)情况, 所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下, 这3个团队全是跟团游团队的概率为=. 13 14 15 16 (2)若一次抽取4个团队,设这4个团队中私家游团队的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(ξ=0)===, P(ξ=1)===, P(ξ=2)===, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故ξ的分布列为 13 14 15 16 ξ 0 1 2 3 4 P 数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=. 第一章 <<< $$