第2章 2.3.2 空间向量运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2章 <<< 2.3.2　空间向量运算 的坐标表示 1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算及其坐标表示. 2.能利用空间向量的坐标运算解决一些简单的几何问题. 学习目标 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 导 语 一、空间向量的坐标运算 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 课时对点练 三、夹角和距离的计算 随堂演练 内容索引 空间向量的坐标运算 一 提示　加法、减法、数乘、数量积. 平面向量学习了哪些运算？ 问题1 向量运算 坐标表示 加法 a+b=___________________ 减法 a-b=_________________ 数乘 λa=______________，λ∈R 数量积 a·b=_____________ 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 (x1+x2，y1+y2，z1+z2) (x1-x2，y1-y2，z1-z2) (λx1，λy1，λz1) x1x2+y1y2+z1z2 知识梳理 注 意 点 <<< (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量. 8 (课本例5)　已知a=(-1，-4，8)，b=(3，10，-4)，求a+b，a-b，3a. 例 1 a+b=(-1，-4，8)+(3，10，-4)=(2，6，4). a-b=(-1，-4，8)-(3，10，-4)=(-4，-14，12). 3a=3(-1，-4，8)=(-3，-12，24). 9 在△ABC中，A(2，-5，3)，=(4，1，2)，=(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； 例 1 10 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以=(x-2，y+5，z-3)， =(x1-x，y1-y，z1-z). 因为=(4，1，2)， 所以 所以顶点B的坐标为(6，-4，5). 11 因为=(3，-2，5)， 所以 所以顶点C的坐标为(9，-6，10). 12 (2)求·； 因为=(-7，1，-7)，=(3，-2，5)， 所以·=-21-2-35=-58. 13 (3)若点P在AC上，且=，求点P的坐标. 14 设P(x2，y2，z2)， 则=(x2-2，y2+5，z2-3)， =(9-x2，-6-y2，10-z2)， 由=，得 (x2-2，y2+5，z2-3)=(9-x2，-6-y2，10-z2)， 15 所以 故点P的坐标为. 16 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 空间向量坐标运算的规律 反 思 感 悟 17 已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则a=　 　 　　，b=　　　　 　，a·b=　　. 跟踪训练 1 (1，，) (1，0，) 4 ∵a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)， ∴a=(1，)，b=(1，0，)， ∴a·b=1+0+3=4. 18 二 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b=λa(a≠0，λ∈R) x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R) a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 知识梳理 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明b=λa(a≠0，λ∈R). (2)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，若a∥b，则==成 立的条件是x2y2z2≠0. 注 意 点 <<< 21 已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b. (1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行？ 例 2 22 因为a==(1，1，0)， b==(-1，0，2)， 所以2a-b=(3，2，-2)， 又c=， 所以2a-b=-2c， 所以(2a-b)∥c. 23 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)， 所以ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b)， 所以(ka+b)·(ka-2b)=0， 即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0. 解得k=2或k=-. 24 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. 反 思 感 悟 25 　(1)已知向量a=(-1，2，1)，b=(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为 A.(3，-6，-3) B.(3，-3，-6) C.(3，2，1) D.(3，1，2) 跟踪训练 2 √ 由于a∥b，所以==， 解得x=-6，y=-3，所以b=(3，-6，-3). 26 (2)已知空间三点A(-2，2，1)，B(-1，1，-2)，C(-4，0，2)，若向量3-与+k垂直，则k的值为　　　. ∵A(-2，2，1)，B(-1，1，-2)，C(-4，0，2)， ∴=(1，-1，-3)，=(-2，-2，1)， ∴||=，||=3，·=-2+2-3=-3. ∵向量3-+k垂直， 则(3-)·(+k)=3+(3k-1)·-k=0， 即3×11-3×(3k-1)-9k=36-18k=0，解得k=2. 2 27 夹角和距离的计算 三 类比平面向量的模长公式和平面向量的夹角公式，对于空间向量又是怎样计算向量的模和夹角的呢？ 问题2 提示　计算公式和平面向量中求模和向量夹角的计算公式基本一致. 1.空间向量的模长公式的坐标表示 (1)若a=(x1，y1，z1)，则|a|=. (2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，则P1P2=||=. 2.空间向量夹角公式的坐标表示 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)(a≠0，b≠0)， 则cos〈a，b〉==. 知识梳理 (1)求空间线段的长度即求空间对应向量的模，因此两点间距离的计算转化为向量模的计算. (2)求空间两直线的夹角转化为两向量的夹角.设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|. 注 意 点 <<< 31 (课本例8)　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF； 例 3 32 如图，以D为原点，分别以的方向为标准正交基的基向量的正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)， E，C(0，1，0)，F，G(1，1，). ==. 因为·=×+×+×0=0， 所以⊥，即EF⊥CF. 33 (2)求CE的长； 因为=， 所以||==. 34 (3)求EF与CG所成角的余弦值. 由=及(1)得 ·=×1+×0+×=. 又||==， ||==， 所以cos〈〉===. 因此EF与CG所成角的余弦值为. 35 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1， ∠BCA=90°，棱AA1=2，N为AA1的中点. (1)求BN的长； 例 3 36 如图，以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||==， ∴线段BN的长为. 37 依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴=(1，-1，2)，=(0，1，2)， ∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3. 又||=，||=， ∴cos〈〉==. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 38 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 反 思 感 悟 39 　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2. (1)求BP的长； 跟踪训练 3 40 如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2， ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0). 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=2， ∴P(0，0，2)， ∴BP=||==4. 41 (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 由(1)得，=(2，0，-2=(-2，-3，0)， ∴|cos〈〉|===， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 42 1.知识清单： (1)空间向量的坐标运算. (2)空间向量坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 课堂小结 随堂演练 四 因为==-， 所以=+=(9，1，1). 1 2 3 4 1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=，则点B的坐标应为 A.(-1，3，-3) B.(9，1，1) C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1) √ 1 2 3 4 2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3. √ 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=. 1 2 3 4 3.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是 A.1 B. C. D. √ ∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)， ∴||=3，||=， ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈〉==， 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉=. 1 2 3 4 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　　　. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.若向量a=，b=，则2a-b等于 A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) a=，b=， 则2a-b=2-=. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若=，则点C的坐标是 A. B. C. D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设点C的坐标为(x，y，z)， 则=(x，y，z)， 又=(-3，-2，-4)，=， 所以x=-，y=-，z=-， 所以C. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.设x，y∈R，向量a=，b=，c=，且a⊥c，b∥c，则等于 A.2 B. C.3 D.4 13 14 15 16 √ 因为b∥c，所以存在λ∈R，使得b=λc， 所以 所以b=(1，-2，1)， 因为a⊥c，所以2x-4+2=0，解得x=1， 所以a=(1，1，1)， 所以a+b=(2，-1，2)， 所以|a+b|==3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)，=(5，1，-7)， ·=10-3-7=0，所以BC⊥AC， 而||=，||=5， 所以△ABC是直角三角形. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意a+b=(-1，-2，-3)=-a， 故(a+b)·c=-a·c=7， 得a·c=-7， 而|a|==， 所以cos〈a，c〉==-， 所以〈a，c〉=120°. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是 A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)， 所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确； 因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn， 则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)， 即故B正确； 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为m+n=(1，-2，5+x)， 所以由|m+n|===，解得x=-5，故C错误； 当x=时，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos〈m，n〉===，故D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若A(m+1，n-1，3)，B(2m，n，m-2n)，C(m+3，n-3，9)三点共线，则m+n的值为　　　　. 因为=(m-1，1，m-2n-3)，=(2，-2，6)， 由题意得∥==， 所以m=0，n=0，所以m+n=0. 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知向量a=(5，3，1)，b=，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　 　　. 13 14 15 16 ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0， 即3t-<0， 所以t<. 当a与b的夹角为180°时，a·b<0， 此时存在λ<0，使a=λb， 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即(5，3，1)=λ， 所以 综上可得，t<且t≠-. 故t的取值范围是∪. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)若|a|=，且a与，都垂直，求向量a的坐标； 13 14 15 16 =(-2，-1，3)，=(1，-3，2). 设a=(x，y，z)， 因为|a|=，且a与都垂直， 所以 解得 所以a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若∥，且||=2，求点P的坐标. 13 14 15 16 因为∥=λ(λ∈R). 因为=(3，-2，-1)，所以=(3λ，-2λ，-λ). 又因为||=2， 所以=2，解得λ=±2. 所以=(6，-4，-2)或=(-6，4，2). 设点P的坐标为(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-2，z1-3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 解得 故所求点P的坐标为(6，-2，1)或(-6，6，5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.求AC与PB所成角的余弦值. 13 14 15 16 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)， E， 则=(，1，0)，=(，0，-2). 设AC与PB的夹角为θ， 则cos θ===. 所以AC与PB所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2=5+， 所以当t=时，|AB|2取得最小值为， 所以A，B两点间的距离的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间的距离的最小值为 A. B. C. D. 综合运用 √ 13 14 15 16 12.(多选)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v=(-4，-1，8)的方向取点Q，使PQ=18，则点Q的坐标为 A.(-1，-2，3) B.(9，4，-13) C.(-7，0，19) D.(1，-2，-3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x0，y0，z0)，则=λv， 即(x0-1，y0-2，z0-3)=λ(-4，-1，8). 由PQ=18，得=18， 解得λ=±2， 所以(x0-1，y0-2，z0-3)=±2(-4，-1，8)， 所以 即点Q的坐标为(-7，0，19)或(9，4，-13). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A，B，C.则△ABC的面积为　　　　，△ABC中AB边上的高为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3 由已知得==， ∴==， ==2， ·=1×2+×0+2×=-14， cos〈〉===， sin〈〉==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴S△ABC=sin〈〉=××2×=3， 设AB边上的高为CD， 则CD==3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是　　　　，若D1E⊥EC，则AE=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)， 设E(1，m，0)，0≤m≤2， 则=(1，m，-1)，=(-1，0，-1)， ∴·=-1+0+1=0，即D1E⊥A1D， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴直线D1E与A1D所成角的大小是. ∵=(-1，2-m，0)， D1E⊥EC， ∴·=-1+m(2-m)+0=0， 解得m=1，∴AE=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，且满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ 如图，以A为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，1)， C1(1，1，1)， 因为P是底面ABCD(含边界)上一动点， 设P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)， 则=(x，y，-1)，=(1，1，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A1P⊥AC1， 所以·=x+y-1=0，所以y=1-x， 所以||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+， 所以当x=时，||2取得最小值， 此时线段A1P的长度为， 当x=0或x=1时，||2取得最大值2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时线段A1P的长度为， 所以线段A1P长度的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知A(0，0，0)， B1(，1，2)，C(0，2，0)， B(，1，0)，M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(，1，2)，=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||=2，||=，·=2m-1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos〈〉| ===， 解得m=-，这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 2.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算及其坐标表示.2.能利用空间向量的坐标运算解决一些简单的几何问题. 导语 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 一、空间向量的坐标运算 问题1　平面向量学习了哪些运算？ 提示　加法、减法、数乘、数量积. 知识梳理 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 减法 a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) 数乘 λa=(λx1，λy1，λz1)，λ∈R 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量. 例1　(课本例5)　已知a=(-1，-4，8)，b=(3，10，-4)，求a+b，a-b，3a. 解　a+b=(-1，-4，8)+(3，10，-4)=(2，6，4). a-b=(-1，-4，8)-(3，10，-4)=(-4，-14，12). 3a=3(-1，-4，8)=(-3，-12，24). 例1　在△ABC中，A(2，-5，3)，=(4，1，2)， =(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且=，求点P的坐标. 解　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以=(x-2，y+5，z-3)， =(x1-x，y1-y，z1-z). 因为=(4，1，2)， 所以解得 所以顶点B的坐标为(6，-4，5). 因为=(3，-2，5)， 所以解得 所以顶点C的坐标为(9，-6，10). (2)因为=(-7，1，-7)，=(3，-2，5)， 所以·=-21-2-35=-58. (3)设P(x2，y2，z2)， 则=(x2-2，y2+5，z2-3)， =(9-x2，-6-y2，10-z2)， 由=，得 (x2-2，y2+5，z2-3)=(9-x2，-6-y2，10-z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 反思感悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 跟踪训练1　已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则a=　　　　　，b=　　　　　，a·b=　　　　.  答案　(1，，)　 (1，0，)　4 解析　∵a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)， ∴a=(1，，)，b=(1，0，)， ∴a·b=1+0+3=4. 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b=λa(a≠0，λ∈R) x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R) a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明b=λa(a≠0，λ∈R). (2)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，若a∥b，则==成立的条件是x2y2z2≠0. 例2　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b. (1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行？ (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 解　(1)因为a==(1，1，0)， b==(-1，0，2)， 所以2a-b=(3，2，-2)， 又c=， 所以2a-b=-2c， 所以(2a-b)∥c. (2)因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)， 所以ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b)， 所以(ka+b)·(ka-2b)=0， 即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0. 解得k=2或k=-. 反思感悟　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. 跟踪训练2　(1)已知向量a=(-1，2，1)，b=(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为(　　) A.(3，-6，-3) B.(3，-3，-6) C.(3，2，1) D.(3，1，2) 答案　A 解析　由于a∥b，所以==， 解得x=-6，y=-3，所以b=(3，-6，-3). (2)已知空间三点A(-2，2，1)，B(-1，1，-2)，C(-4，0，2)，若向量3-与+k垂直，则k的值为　　　　　.  答案　2 解析　∵A(-2，2，1)，B(-1，1，-2)，C(-4，0，2)， ∴=(1，-1，-3)，=(-2，-2，1)， ∴||=，||=3，·=-2+2-3=-3. ∵向量3-与+k垂直， 则(3-)·(+k)=3+(3k-1)·-k=0， 即3×11-3×(3k-1)-9k=36-18k=0，解得k=2. 三、夹角和距离的计算 问题2　类比平面向量的模长公式和平面向量的夹角公式，对于空间向量又是怎样计算向量的模和夹角的呢？ 提示　计算公式和平面向量中求模和向量夹角的计算公式基本一致. 知识梳理 1.空间向量的模长公式的坐标表示 (1)若a=(x1，y1，z1)，则|a|=. (2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，则P1P2=||=. 2.空间向量夹角公式的坐标表示 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)(a≠0，b≠0)， 则cos〈a，b〉= =. 注意点： (1)求空间线段的长度即求空间对应向量的模，因此两点间距离的计算转化为向量模的计算. (2)求空间两直线的夹角转化为两向量的夹角.设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|. 例3　(课本例8)　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长； (3)求EF与CG所成角的余弦值. 解　如图，以D为原点，分别以，，的方向为标准正交基的基向量的正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G(1，1，). (1)=，=. 因为·=×+×+×0=0， 所以⊥，即EF⊥CF. (2)因为=， 所以||==. (3)由=及(1)得 ·=×1+×0+×=. 又||==， ||==， 所以cos〈，〉===. 因此EF与CG所成角的余弦值为. 例3　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N为AA1的中点. (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 解　如图，以C为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系. (1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||==， ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴=(1，-1，2)，=(0，1，2)， ∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3. 又||=，||=， ∴cos〈，〉==. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. 反思感悟　利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 跟踪训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解　(1)如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2， ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0). 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=2， ∴P(0，0，2)， ∴BP=|| ==4. (2)由(1)得，=(2，0，-2)，=(-2，-3，0)， ∴|cos〈，〉|===， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 1.知识清单： (1)空间向量的坐标运算. (2)空间向量坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=，则点B的坐标应为(　　) A.(-1，3，-3) B.(9，1，1) C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1) 答案　B 解析　因为==-， 所以=+=(9，1，1). 2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3. 3.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 答案　D 解析　依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=. 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　　　.  答案　 解析　∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)， ∴||=3，||=， ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈，〉==， 又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若向量a=，b=，则2a-b等于(　　) A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) 答案　C 解析　a=，b=， 则2a-b=2-=. 2.已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若=，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设点C的坐标为(x，y，z)， 则=(x，y，z)， 又=(-3，-2，-4)，=， 所以x=-，y=-，z=-， 所以C. 3.设x，y∈R，向量a=，b=，c=，且a⊥c，b∥c，则等于(　　) A.2 B. C.3 D.4 答案　C 解析　因为b∥c，所以存在λ∈R，使得b=λc， 所以，解得 所以b=(1，-2，1)， 因为a⊥c，所以2x-4+2=0，解得x=1， 所以a=(1，1，1)， 所以a+b=(2，-1，2)， 所以|a+b|==3. 4.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)，=(5，1，-7)， ·=10-3-7=0，所以BC⊥AC， 而||=，||=5， 所以△ABC是直角三角形. 5.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　由题意a+b=(-1，-2，-3)=-a， 故(a+b)·c=-a·c=7， 得a·c=-7， 而|a|==， 所以cos〈a，c〉==-， 所以〈a，c〉=120°. 6.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 答案　ABD 解析　因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确；因为m+n=(1，-2，5+x)， 所以由|m+n|===，解得x=-5，故C错误；当x=时，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos〈m，n〉===，故D正确. 7.(5分)若A(m+1，n-1，3)，B(2m，n，m-2n)，C(m+3，n-3，9)三点共线，则m+n的值为　　　　.  答案　0 解析　因为=(m-1，1，m-2n-3)，=(2，-2，6)， 由题意得∥，所以==， 所以m=0，n=0，所以m+n=0. 8.(5分)已知向量a=(5，3，1)，b=，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　.  答案　∪ 解析　由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0， 即3t-<0， 所以t<. 当a与b的夹角为180°时，a·b<0， 此时存在λ<0，使a=λb， 即(5，3，1)=λ， 所以解得 综上可得，t<且t≠-. 故t的取值范围是∪. 9.(10分)已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)若|a|=，且a与，都垂直，求向量a的坐标；(5分) (2)若∥，且||=2，求点P的坐标.(5分) 解　(1)=(-2，-1，3)，=(1，-3，2). 设a=(x，y，z)， 因为|a|=，且a与，都垂直， 所以 解得或 所以a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1). (2)因为∥，所以可设=λ(λ∈R). 因为=(3，-2，-1)，所以=(3λ，-2λ，-λ). 又因为||=2， 所以=2，解得λ=±2. 所以=(6，-4，-2)或=(-6，4，2). 设点P的坐标为(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-2，z1-3)， 所以或 解得或 故所求点P的坐标为(6，-2，1)或(-6，6，5). 10.(11分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.求AC与PB所成角的余弦值. 解　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E， 则=(，1，0)，=(，0，-2). 设AC与PB的夹角为θ， 则cos θ===. 所以AC与PB所成角的余弦值为. 11.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2 =5t2-2t+2=5+， 所以当t=时，|AB|2取得最小值为， 所以A，B两点间的距离的最小值为. 12.(多选)从点P(1，2，3)出发，沿着向量v=(-4，-1，8)的方向取点Q，使PQ=18，则点Q的坐标为(　　) A.(-1，-2，3) B.(9，4，-13) C.(-7，0，19) D.(1，-2，-3) 答案　BC 解析　设Q(x0，y0，z0)，则=λv， 即(x0-1，y0-2，z0-3)=λ(-4，-1，8). 由PQ=18，得=18， 解得λ=±2， 所以(x0-1，y0-2，z0-3)=±2(-4，-1，8)， 所以或 即点Q的坐标为(-7，0，19)或(9，4，-13). 13.(5分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A，B，C.则△ABC的面积为　　　　，△ABC中AB边上的高为　　　　.  答案　3　3 解析　由已知得=，=， ∴==， ==2， ·=1×2+×0+2×=-14， cos〈，〉== =， sin〈，〉==. ∴S△ABC=sin〈，〉=××2×=3， 设AB边上的高为CD， 则CD==3. 14.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是　　　　，若D1E⊥EC，则AE=　　　　.  答案　　1 解析　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)， C(0，2，0)， 设E(1，m，0)，0≤m≤2， 则=(1，m，-1)，=(-1，0，-1)， ∴·=-1+0+1=0，即D1E⊥A1D， ∴直线D1E与A1D所成角的大小是. ∵=(-1，2-m，0)， D1E⊥EC， ∴·=-1+m(2-m)+0=0， 解得m=1，∴AE=1. 15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，且满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，以A为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，1)， C1(1，1，1)， 因为P是底面ABCD(含边界)上一动点， 设P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)， 则=(x，y，-1)，=(1，1，1)， 因为A1P⊥AC1， 所以·=x+y-1=0，所以y=1-x， 所以||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1 =2x2-2x+2=2+， 所以当x=时，||2取得最小值， 此时线段A1P的长度为， 当x=0或x=1时，||2取得最大值2， 此时线段A1P的长度为， 所以线段A1P长度的取值范围是. 16.(12分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解　如图，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知A(0，0，0)， B1(，1，2)，C(0，2，0)， B(，1，0)，M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(，1，2)，=， 所以||=2，||=， ·=2m-1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos 〈，〉|===， 解得m=-，这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$