第2章 2.2 第2课时 空间向量的数量积-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.能够运用数量积解决空间中的夹角、距离及垂直问题. 导语 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的数量积 问题1　类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 提示　由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面内，类比平面向量夹角的定义，我们把平移后两向量的夹角称为空间向量a，b的夹角. 问题2　类比平面向量数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 提示　a·b=|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 知识梳理 1.空间向量的夹角 (1)定义：如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点O，作=a，=b，则∠AOB称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作〈a，b〉. (2)取值范围：[0，π]. ①当〈a，b〉=时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉=0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. 2.空间向量的数量积 (1)定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 特别地，a·a=|a|2，|a|=，a·b=0⇔a⊥b. (2)对于两个非零向量a，b，由a·b=|a||b|·cos〈a，b〉得cos〈a，b〉=. (3)空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 注意点： (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量. (2)零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. 例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)·=· =||·||·cos〈，〉 =×1×1×cos 60°=， 所以·=. (2)·=·=||·||·cos〈，〉=×1×1×cos 0°=， 所以·=. (3)·=·=||·||·cos〈，〉=×1×1×cos 120°=-， 所以·=-. 反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判断夹角的大小，才能使a·b计算准确. 跟踪训练1　(1)如图，空间四面体ABCD的每条棱都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵=，∴·=·=×1×1×cos 60°=. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，=2a-2b，=b-c，则·=　　　　.  答案　-1 解析　由题意得，a·b=b·c=c·a =12×cos =， 则·=2(a-b)·(b-c)=2(a·b-a·c-b2+b·c)=2×=-1. 二、投影向量与投影 知识梳理 1.投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得=a，=b，〈a，b〉=α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模||=|||cos α|称为投影长.  取方向上的单位向量e来度量投影向量，类比平面向量，可得=(||cos α)e，我们称||cos α为在方向上的投影. 2.数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  注意点： (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模. 例2　(1)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，PA=2，PB=2.若方向上的单位向量为e，则在向量方向上的投影向量为　　　　.  答案　-2e 解析　∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，BC⊂平面PBC，BC⊥PB， ∴BC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， 故在方向上的投影向量为=-2e. (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影为　　　　.  答案　1 解析　∵a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6， ∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×=2， ∴2a-b在a方向上的投影为==1. 反思感悟　(1)求投影向量时首先确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算. (2)a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉=. 跟踪训练2　(1)已知|a|=3，|b|=5，a·b=-12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为　　　　.  答案　-e 解析　由于cos〈a，b〉==-=-， 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e=3×·e=-e. (2)已知|b|=3，a在b方向上的投影为，则a·b=　　　　.  答案　 解析　∵a在b方向上的投影为， ∴|a|cos〈a，b〉=， ∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=3×=. 三、空间向量数量积的性质及应用 知识梳理 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=cos θ.  (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a，b同向时，a·b=； 当a，b反向时，a·b=-. (4)a·a=|a|2或|a|=. (5)|a·b|≤. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 例3　(课本例4)　如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=4，AD=2，AA1=2. (1)求||； (2)求与所成角θ的余弦值. 解　设=a，=b，=c，则 |a|=4，|b|=2，|c|=2， =++=a+b+c， =-=b-a. (1)因为||2=(a+b+c)·(a+b+c) =(a+b)·(a+b)+2(a+b)·c+c·c =a·a+2a·b+b·b+2a·c+2b·c+c·c =|a|2+0+|b|2+0+0+|c|2 =42+22+22=24， 所以||=2. (2)因为||2=(b-a)·(b-a) =|b|2-2b·a+|a|2 =22+42=20， 所以||=2. 因为·=(a+b+c)·(b-a) =|b|2-|a|2+c·b-c·a=22-42=-12， 所以与所成角θ的余弦值为 cos θ===-. 例3　如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB=∠A1AD=120°，求： (1)AC1的长； (2)直线BD1与AC所成角的余弦值. 解　(1)||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·， 由已知得||2=4，||2=||2=1， 〈，〉=〈，〉=120°，〈，〉=90°， ∴·=2×1×cos 120°=-1， 同理·=-1，·=0， ∴=2， ∴AC1的长为. (2)∵=+-，=+， ∴||2=||2+||2+||2+2·-2·-2·=1+4+1+2×(-1)-0-2×(-1)=6， ||2=||2+2·+||2=2， ∴||=，||=. ∵·=(+-)·(+)= ·+·+·+--·=-1-1+0+1-1-0=-2， ∴cos〈·〉===-. ∴直线BD1与AC所成角的余弦值为. 反思感悟　(1)用数量积求两点间距离的步骤 ①将两点间的连线用向量表示. ②用其他向量表示此向量. ③用公式a·a=|a|2，求|a|. (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉=，求出〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 跟踪训练3　已知在空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明　如图所示，连接ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ， 又设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|. 又=+) = =(a+b+c)，=-=c-b. ∴·=(a+b+c)·(c-b) =(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c) =(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2) =0. ∴⊥，即OG⊥BC. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量、投影. (2)空间向量的数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 1.在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　由题意，可得=， 所以〈，〉=〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°. 2.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(a-2b)·a等于(　　) A.12 B.8 C.4 D.14 答案　D 解析　(a-2b)·a=a2-2b·a=|a|2-2|a|·|b|cos 120°=4-2×2×5×=14. 3.已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，|a-b|=，则cos〈a，b〉=　　　　.  答案　 解析　因为|a-b|=，所以(a-b)2=7， 所以a·b=， 又a·b=|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉=. 4. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则||=　　　　　.  答案　12 解析　=++， ==+++2(·+·+·)， 因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥BC，·=0，·=0， 所以=36+36+36+2×6×6×cos 60°=144，则||=12. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2.(多选)下列命题中，正确的有(　　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2b=b2a 答案　ABC 解析　ABC正确；D不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同. 3.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·等于(　　) A.1 B.-1 C. D.- 答案　A 解析　由题意可知，=+， ∴·=·(+)=·+·=2×2×cos 60°+2×1×cos 120°=1. 4.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-，则两直线的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　B 解析　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ==-，所以θ=120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°. 5. 如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A. B. C.1 D. 答案　D 解析　∵=++， ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2· =1+1+1-=3-. 故||=. 6.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且a与2b-a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　B 解析　由a与2b-a互相垂直，得a·(2b-a)=0，即2a·b=|a|2=4，解得a·b=2， ∴cos〈a，b〉===， 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=45°. 7.(5分)已知向量a，b，|a|=6，|b|=8，〈a，b〉=120°，则a在b方向上的投影向量为　　　　，b在a方向上的投影向量为　　　　.  答案　-b　-a 解析　与向量a，b同方向的单位向量分别为，. 根据投影向量的定义，得a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉==-b，b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·==-a. 8.(5分)已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=　　　　.  答案　60° 解析　由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0， (a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2，所以a·b=|b|2，代入上面两个式子中的任意一个， 得|a|=|b|， 所以cos〈a，b〉===， 所以〈a，b〉=60°. 9.(10分)如图，在空间四边形OACB中，OB=OC，AB=AC，求证：OA⊥BC. 证明　因为OB=OC，AB=AC，OA=OA， 所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC=∠AOB. 又·=·(-)=·-·=||·||cos∠AOC-||·||cos∠AOB=0， 所以⊥，即OA⊥BC. 10.(12分)如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点.求下列向量的数量积： (1)·；(3分)(2)·；(3分) (3)·；(3分)(4)·.(3分) 解　(1)在空间四边形ABCD中，==a，且〈，〉=60°， ∴·=a2cos 60°=a2. (2)=a，=a，〈，〉=60°， ∴·=a2cos 60°=a2. (3)=a，||=a， 又∥，〈，〉=π， ∴·=a2cos π=-a2. (4)∵=a，=a，∥， ∴〈，〉=〈，〉=60°. ∴·=a2cos 60°=a2. 11.已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于(　　) A. B.5 C.6 D. 答案　A 解析　(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=1+1+4-2cos 60°=5， ∴|a-b+2c|=. 12. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　由题意知，DA⊥DC，=-，=+， 故·=(-)·(+)=+·-·-·=1， ==， ==， cos〈，〉===， 所以异面直线PA与BD所成角的余弦值为. 13.(5分)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　.  答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·=·=·=0， 且=，故·(++) =++)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=. 14.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是　　　　.  答案　[0，1] 解析　依题意，设=λ，λ∈[0，1]，·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1××=1-λ，又λ∈[0，1]，因此·的取值范围是[0，1]. 15. 如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 答案　D 解析　·=·(+)=+·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·=0， ∴·=||2=1， 则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1. 16.(11分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AC=，∠ACD=90°，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD的夹角为60°，求此时B，D之间的距离. 解　∵∠ACD=90°， ∴·=0，·=0. ∵AB与CD的夹角为60°， ∴〈，〉=60°或〈，〉=120°. ∵=++， ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=22+()2+22+0+2×2×2×cos〈，〉+0=10+8cos〈，〉. 当〈，〉=60°时，||2=10+8cos〈，〉=10+8×cos 60°=14， 即||=； 当〈，〉=120°时， ||2=10+8cos〈，〉=10+8×cos 120°=6， 即||=. 综上，B，D之间的距离为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第2章 <<< 空间向量的数量积 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能够运用数量积解决空间中的夹角、距离及垂直问题. 学习目标 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同 一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 导 语 一、空间向量的数量积 二、投影向量与投影 课时对点练 三、空间向量数量积的性质及应用 随堂演练 内容索引 空间向量的数量积 一 提示　由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面内，类比平面向量夹角的定义，我们把平移后两向量的夹角称为空间向量a，b的夹角. 类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 问题1 类比平面向量数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 问题2 提示　a·b=|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 1.空间向量的夹角 (1)定义：如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点O，作=a，=b，则∠AOB称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作 . (2)取值范围： . ①当〈a，b〉=时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉=0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. 〈a，b〉 [0，π] 知识梳理 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ，λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=_________ 2.空间向量的数量积 (1)定义a·b= 为a与b的数量积. 特别地，a·a=|a|2，|a|=，a·b=0⇔a⊥b. (2)对于两个非零向量a，b，由a·b=|a||b|·cos〈a，b〉得cos〈a，b〉=. (3)空间向量的数量积的运算律 |a||b|cos〈a，b〉 λ(a·b) a·b+a·c 注 意 点 <<< (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量. (2)零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. 10 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和 对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点， 计算： (1)·； 例 1 (1)·=·=||·||·cos〈〉 =×1×1×cos 60°=， 所以·=. 11 (2)·； ·=·=||·||·cos〈〉 =×1×1×cos 0°=， 所以·=. 12 (3)·. ·=·=||·||·cos〈〉 =×1×1×cos 120°=-， 所以·=-. 13 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判断夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反 思 感 悟 14 　(1)如图，空间四面体ABCD的每条 棱都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的 中点，则·等于 A. B. C. D. 跟踪训练 1 √ ∵=，∴·=·=×1×1×cos 60°=. 15 (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，=2a-2b，=b-c，则·=　　　　. 由题意得，a·b=b·c=c·a=12×cos =， 则·=2(a-b)·(b-c)=2(a·b-a·c-b2+b·c)=2×=-1. -1 16 二 投影向量与投影 1.投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平 面内，可得=a，=b，〈a，b〉=α.过点B作 BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上 的投影向量，投影向量的模||=__________称为投影长. 取方向上的单位向量e来度量投影向量，类比平面向量，可得=(||cos α)e，我们称||cos α为在方向上的投影. |||cos α| 知识梳理 2.数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影 的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影 的乘积. |b|cos α |a|cos α (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模. 注 意 点 <<< 20 (1)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，PA=2，PB=2.若方向上的单位向量为e，则在向量方向上的投影向量为　　　　. 例 2 -2e 21 ∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，BC⊂平面PBC，BC⊥PB， ∴BC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， 故=-2e. 22 (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影为　　　　. ∵a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6， ∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×=2， ∴2a-b在a方向上的投影为==1. 1 23 (1)求投影向量时首先确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算. (2)a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉=. 反 思 感 悟 24 　(1)已知|a|=3，|b|=5，a·b=-12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为　　　　. 跟踪训练 2 -e 由于cos〈a，b〉==-=-， 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e=3×·e=-e. 25 (2)已知|b|=3，a在b方向上的投影为，则a·b=　　　. ∵a在b方向上的投影为， ∴|a|cos〈a，b〉=， ∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=3×=. 26 空间向量数量积的性质及应用 三 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=________. (2)a⊥b⇔ . (3)当a，b同向时，a·b=_______； 当a，b反向时，a·b=________. (4)a·a= 或|a|=______. (5)|a·b|≤_______. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. a·b=0 cos θ - |a|2 知识梳理 (课本例4)　如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=4，AD=2，AA1=2. (1)求||； 例 3 29 设=a，=b，=c，则 |a|=4，|b|=2，|c|=2， =++=a+b+c， =-=b-a. 因为||2=(a+b+c)·(a+b+c) =(a+b)·(a+b)+2(a+b)·c+c·c =a·a+2a·b+b·b+2a·c+2b·c+c·c 30 =|a|2+0+|b|2+0+0+|c|2 =42+22+22=24， 所以||=2. 31 (2)求与所成角θ的余弦值. 32 因为||2=(b-a)·(b-a) =|b|2-2b·a+|a|2 =22+42=20， 所以||=2. 因为·=(a+b+c)·(b-a) =|b|2-|a|2+c·b-c·a=22-42=-12， 所以所成角θ的余弦值为 cos θ===-. 33 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 底面是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB =∠A1AD=120°，求： (1)AC1的长； 例 3 34 ||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·， 由已知得||2=4，||2=||2=1， 〈〉=〈〉=120°，〈〉=90°， ∴·=2×1×cos 120°=-1， 同理·=-1，·=0， ∴=2， ∴AC1的长为. 35 (2)直线BD1与AC所成角的余弦值. 36 ∵=+-=+， ∴||2=||2+||2+||2+2·-2·-2· =1+4+1+2×(-1)-0-2×(-1)=6， ||2=||2+2·+||2=2， ∴||=，||=. ∵·=(+-)·(+) = ·+·+·+--·=-1-1+0+1-1-0=-2， 37 ∴cos〈·〉===-. ∴直线BD1与AC所成角的余弦值为. 38 (1)用数量积求两点间距离的步骤 ①将两点间的连线用向量表示. ②用其他向量表示此向量. ③用公式a·a=|a|2，求|a|. (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉=，求出〈a，b〉 的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 反 思 感 悟 39 　已知在空间四边形OABC中，∠AOB= ∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 跟踪训练 3 40 如图所示，连接ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ， 又设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|. 又=+)==(a+b+c)， =-=c-b. ∴·=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c) =(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2)=0. ∴⊥，即OG⊥BC. 41 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量、投影. (2)空间向量的数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 课堂小结 随堂演练 四 由题意，可得=， 所以〈〉=〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°. 1 2 3 4 1.在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 2.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(a-2b)·a等于 A.12 B.8 C.4 D.14 (a-2b)·a=a2-2b·a=|a|2-2|a|·|b|cos 120°=4-2×2×5×=14. √ 因为|a-b|=，所以(a-b)2=7， 所以a·b=， 又a·b=|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉=. 1 2 3 4 3.已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，|a-b|=，则cos〈a，b〉=　　　. =++， ==+++2(·+·+·)， 因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥BC，·=0，·=0， 所以=36+36+36+2×6×6×cos 60°=144，则||=12. 1 2 3 4 4.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°， PA=AB=BC=6，则||=　　　. 12 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 A.与 B.与 C.与 D.与 基础巩固 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)下列命题中，正确的有 A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2b=b2a ABC正确； D不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同. 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·等于 A.1 B.-1 C. D.- 由题意可知，=+， ∴·=·(+)=·+·=2×2×cos 60°+2×1× cos 120°=1. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-，则两直线的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ==-，所以θ=120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°. 13 14 15 16 √ ∵=++， ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-. 故||=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 A. B. C.1 D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且a与2b-a互相垂直，则〈a，b〉等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 由a与2b-a互相垂直，得a·(2b-a)=0，即2a·b=|a|2=4，解得a·b=2， ∴cos〈a，b〉===， 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=45°. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知向量a，b，|a|=6，|b|=8，〈a，b〉=120°，则a在b方向上的投影向量为　　　　，b在a方向上的投影向量为　　　　. 与向量a，b同方向的单位向量分别为. 根据投影向量的定义，得a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉==-b，b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·==-a. 13 14 15 16 -b -a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=　　　　. 由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0， (a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2， 所以a·b=|b|2，代入上面两个式子中的任意一个， 得|a|=|b|， 所以cos〈a，b〉===， 所以〈a，b〉=60°. 13 14 15 16 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图，在空间四边形OACB中，OB=OC，AB=AC， 求证：OA⊥BC. 13 14 15 16 因为OB=OC，AB=AC，OA=OA， 所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC=∠AOB. 又·=·(-)=·-· =||·||cos∠AOC-||·||cos∠AOB=0， 所以⊥，即OA⊥BC. 在空间四边形ABCD中，==a，且〈〉=60°， ∴·=a2cos 60°=a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点.求下列 向量的数量积： (1)·； 13 14 15 16 =a，=a，〈〉=60°， ∴·=a2cos 60°=a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)·； 13 14 15 16 =a，||=a， 又∥〉=π， ∴·=a2cos π=-a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)·； 13 14 15 16 ∵=a，=a，∥， ∴〈〉=〈〉=60°. ∴·=a2cos 60°=a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)·. 13 14 15 16 (a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=1+1+4-2cos 60°=5， ∴|a-b+2c|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于 A. B.5 C.6 D. 综合运用 √ 13 14 15 16 12.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面 ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA 与BD所成角的余弦值为 A.- B. C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，DA⊥DC，=-=+， 故·=(-)·(+)=+·-·-·=1， ==， ==， cos〈〉===， 所以异面直线PA与BD所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　. ∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·=·=·=0， 且=·(++)=++)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设=λ，λ∈[0，1]，·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ×1×× =1-λ，又λ∈[0，1]，因此·的取值范围是[0，1]. 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [0，1] 13 14 15 16 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点， 则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ ·=·(+)=+·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·=0， ∴·=||2=1， 则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AC=，∠ACD=90°，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD的夹角为60°，求此时B，D之间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵∠ACD=90°， ∴·=0，·=0. ∵AB与CD的夹角为60°， ∴〈〉=60°或〈〉=120°. ∵=++， ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=22+()2+22+0+2×2×2×cos〈〉+0=10+8cos〈〉. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当〈〉=60°时， ||2=10+8cos〈〉=10+8×cos 60°=14， 即||=； 当〈〉=120°时， ||2=10+8cos〈〉=10+8×cos 120°=6， 即||=. 综上，B，D之间的距离为. 13 14 15 16 第一章 <<< $$