第2章 2.2 第1课时 空间向量及其线性运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算. 导语 你见过滑翔伞滑翔的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 一、空间向量的基本概念 问题1　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示　平面内既有大小又有方向的量称为平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 知识梳理 空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)表示法： ①符号表示法：a，b，c，. ②几何表示法：有向线段. (3)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为1的向量 零向量 模为0的向量，记作0.零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b=λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a.零向量与任意向量共线 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0. 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. (2)(课本例1)　如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中： (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 解　(1)由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等. (2)由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量. (2)如图所示，从长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： ①写出所有与相等的向量； ②写出的相反向量. 解　①与向量相等的向量(除它自身之外)有，，. ②向量的相反向量有，. 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 跟踪训练1　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 答案　BC 解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行. 二、空间向量的加减法 问题2　平面向量的线性运算和运算律可以推广到空间向量吗？ 提示　由于空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以凡涉及两个空间向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用. 问题3　如何证明加法结合律+c=a+？如图，在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中，分别标出++，++表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 提示　++和++表示同一向量，如图所示. (1)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量. (2)利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 知识梳理 空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形表示 减法运算 几何意义 语言表述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形表示 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 注意点： (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点. (2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同. 例2　(课本例2)　如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列各式： (1)++； (2)-+. 解　(1)因为=，=， 所以++=++=. (2)因为=， 所以-+=-+ =+=. 例2　(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.-- B.+- C.-- D.-+ 答案　AB 解析　A中，--=-=； B中，+-=+=； C中，--=-=-=≠； D中，-+=++=+≠. 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)+-； (2)--. 解　(1)+-=++=+=，如图中向量. (2)如图，连接GF，则=，--=++=+=，如图中向量. 三、向量与实数相乘 知识梳理 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|=|λ||a| 几何意义 λ>0 λa与a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与a方向相反 λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 对实数加法的分配律 (λ1+λ2)a=λ1a+λ2a 对向量加法的分配律 λ(a+b)=λa+λb 注意点： (1)当λ=0或a=0时，λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 例3　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++ =a+c+=a+b+c. (2)∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点， ∴=+=+ =-a+=a+b+c. 延伸探究　若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ 解　=++=++=a+b+c. 反思感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 跟踪训练3　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)+； (2)++； (3)--. 解　(1)+=. (2)因为M是BB1的中点， 所以=. 又=， 所以++ =+=. (3)--=-=. 向量，，如图所示. 四、向量共线问题 例4　(课本例3)　如图，平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且=，点N在线段A'C上，且=. 求证：M，N，D'三点在一条直线上. 证明　设=a，=b，=c， 则=-=a-c. 又=， 所以==(a-c)， =+=-b+(a-c) =(a-3b-c). 因为=+=a-c+=a-c+b， ==(a-c+b)， 所以=+=-b+(a-c+b)=(a-3b-c). 所以=. 由两个非零向量平行的充要条件，可知 ∥. 又D'是直线D'M和D'N的公共点， 故D'M和D'N重合，即M，N，D'三点在一条直线上. 例4　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在对角线A1C上，且=.若=a，=b，=c. (1)用a，b，c表示； (2)求证：E，F，B三点共线. (1)解　因为=2，=a，=b，=c， 所以=++=++=-b-c+a，所以=a-b-c. (2)证明　=， =++=++ =++)++ =(-b-a+c)-c+a =a-b-c==， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 反思感悟　判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a=λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a=λb，从而得到a∥b. 跟踪训练4　已知空间不共线的向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，C B.B，C，D C.A，B，D D.A，C，D 答案　C 解析　因为=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b， 对于A，因为=+=-4a+8b， 则不存在λ∈R，使得=λ，所以A，B，C三点不共线，故A错误； 对于B，因为=+=2a+4b， 则不存在μ∈R，使得=μ，所以B，C，D三点不共线，故B错误； 对于C，因为=++=3a+6b， 所以=3，则A，B，D三点共线，故C正确； 对于D，因为=+=-4a+8b， 则不存在t∈R，使得=t，所以A，C，D三点不共线，故D错误. 1.知识清单： (1)空间向量的基本概念. (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律. (4)向量共线问题. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 1.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 2.化简-+的结果是(　　) A. B. C.0 D. 答案　C 解析　-+=+=-=0. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 答案　A 解析　∵+=+，∴=. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 4. 如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M，N分别为OA，BC的中点，若=xa+yb+zc，则x=　　　　，y=　　　　，z=　　　.  答案　-　　 解析　=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c. 所以x=-，y=，z=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.下列说法中正确的是(　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= 答案　C 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，他们的模可以相等，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 2.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则+-等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　+-=(+)-=-=. 方法二　+-=+(-)=+=. 3. (多选)如图，在四棱柱的上底面ABCD中，=，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 解析　对于A，与的方向相同，大小相等，因而是相等向量，所以A正确； 对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误； 对于C，与的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误； 对于D，与的方向相同，大小相等，因而是相等向量，所以D正确. 4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a，=b，=c，则等于(　　) A.a+b-c B.a-b+c C.b-a-c D.b-a+c 答案　C 解析　=-=(-)-， ∵==c，∴=b-a-c. 5. 在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且=，记=x+y+z，则(x，y，z)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接OE，OF(图略)，因为=，E，F分别是AB，BC的中点，所以=+=+=+-)=+=×+)+×+)=++，故(x，y，z)=. 6.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有(　　) A.-= B.=++ C.= D.+++= 答案　ABC 解析　作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象，如图所示.-=+=，故A正确； ++=++=，故B正确； C显然正确； +++=+=，故D不正确. 7.(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　　　.  答案　-8 解析　由已知得=- =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R， 使得=λ. ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k=-8. 8.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a，=b，=c，用a，b，c表示，则=　　　　.  答案　-a-b+c 解析　 ∵=++ =--+， 又∵M是AA1的中点，∴=， ∴=--+， ∵=a，==b，=c， ∴=-a-b+c. 9.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个？(3分) (2)写出模为 的所有向量；(3分) (3)试写出的所有相反向量.(4分) 解　(1)由题意知，AA1=1，所以向量，，，，，，，，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. (2)易知A1D==， 所以模为的向量有，，，，，，，. (3)根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为，，，. 10.(10分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若=+x+y，求x，y的值. 解　∵=++ =-+-- =-+=-++) =-++) =-++-) =+-， 又=+x+y，∴x=，y=-. 11.(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n 答案　AB 解析　m(a-b)=ma-mb，A对； (m-n)a=ma-na，B对； 若m=0，则a，b不一定相等，C错； 若a=0，则m，n不一定相等，D错. 12. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且BM=2MC'，则等于(　　) A.-++ B.-++ C.++ D.-+ 答案　C 解析　 因为BM=2MC'， 所以=， 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， =+=+=++)=-)++) =++. 13.(5分)已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量=a，=b，=c，则=　　　　(用a，b，c表示).  答案　a+b+c 解析　=+=+=+-)=+=×+)+×=++=a+b+c. 14.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且++)=λ，则λ=　　　　.  答案　 解析　如图，因为O为AC1与A1C的交点， 所以O为AC1的中点， 所以=2， 则++) ==， 故λ=. 15.(5分)如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记=a，=b，=c，则=　　　　.(用a，b，c表示)  答案　 a+b+c 解析　 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点， 则=+=+=+×+)=+-+-) =++- =++ =a+b+c. 16.(12分)如图，在四面体中A-BCD中，M，N分别为△BCD和△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3. 求证：B，G，N三点共线. 证明　如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为△BCD和△ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设=a，=b，=c， 因为M为△BCD的重心， 所以=+=+×+)=++) =+-+-) =++)=(a+b+c)， 因为GM∶GA=1∶3， 所以=， 所以=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c， 因为N为△ACD的重心， 所以=+=++)=-a+b+c=， 所以∥， 又BN∩BG=B， 所以B，G，N三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第2章 <<< 空间向量及其线性运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 学习目标 你见过滑翔伞滑翔的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉 力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平 面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否 把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量 研究滑翔运动呢？ 导 语 一、空间向量的基本概念 二、空间向量的加减法 课时对点练 三、向量与实数相乘 随堂演练 内容索引 四、向量共线问题 空间向量的基本概念 一 提示　平面内既有大小又有方向的量称为平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 问题1 空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)表示法： ①符号表示法：a，b，c，. ②几何表示法：有向线段. (3)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. 知识梳理 概念 定义 单位向量 长度为 的向量 零向量 模为 的向量，记作 .零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且长度 的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若 ，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作 .零向量与任意向量_____ (4)几类特殊向量 1 0 0 相同 相等 b=λa b∥a 共线 注 意 点 <<< (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0. 9 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 例 1 √ A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. 10 (2)(课本例1)　如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中： (1)向量，，与向量相等吗？ 由于相等. 11 (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 由于的相反向量. 12 (2)如图所示，从长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： ①写出所有与相等的向量； 与向量. 13 ②写出的相反向量. 向量. 14 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 15 　(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 跟踪训练 1 √ √ 16 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行. 17 二 空间向量的加减法 平面向量的线性运算和运算律可以推广到空间向量吗？ 问题2 提示　由于空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以凡涉及两个空间向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用. 如何证明加法结合律+c=a+？如图，在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中，分别标出++ ，++表示的向量.从中你能 体会向量加法运算的交换律和结合律吗？ 一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？ 问题3 提示　++和++表示同一向量，如图所示. (1)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边 的平行六面体的体对角线所表示的向量. (2)利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有 限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 加法运算 三角形 法则 语言表述 首尾顺次相接， 为和 图形表示   空间向量的加减运算 首指向尾 知识梳理 加法 运算 平行 四边 形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，____ 为和 图形表示   减法 运算 几何 意义 语言表述 共起点，连终点，方向指向 向量 图形表示   运算律 交换律 a+b=_____ 结合律 (a+b)+c=________ 共起 点对角线 被减 b+a a+(b+c) (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点. (2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同. 注 意 点 <<< 24 (课本例2)　如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列各式： (1)++； 例 2 因为==， 所以++=++=. 25 (2)-+. 因为=， 所以-+=-+ =+=. 26 (多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A.-- B.+- C.-- D.-+ 例 2 √ √ 27 A中，--=-=； B中，+-=+=； C中，--=-=-=≠； D中，-+=++=+≠. 28 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 空间向量加法、减法运算的两个技巧 反 思 感 悟 29 　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)+-； 跟踪训练 2 +-=++=+= . 30 (2)--. 如图，连接GF， 则=--=++=+= . 31 向量与实数相乘 三 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|=_____ 几何 意义 λ>0 λa与a方向_____ λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 λa与a方向_____ λ=0 λa=0，其方向是 的 运算律 对实数加法的分配律 (λ1+λ2)a=_________ 对向量加法的分配律 λ(a+b)=λa+λb |λ||a| 相同 相反 任意 |λ| λ1a+λ2a 知识梳理 (1)当λ=0或a=0时，λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 注 意 点 <<< 34 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； 例 3 ∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++=a+c+=a+b+c. 35 (2)； ∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. 36 (3). ∵M是AA1的中点， ∴=+=+=-a+=a+b+c. 37 若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ =++=++=a+b+c. 延伸探究 38 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 利用数乘运算进行向量表示的技巧 反 思 感 悟 39 　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中， M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化 简得到的向量. (1)+； 跟踪训练 3 +=. 向量如图所示. 40 (2)++； 因为M是BB1的中点， 所以=. 又=， 所以++=+=. 向量如图所示. 41 (3)--. --=-=. 向量如图所示. 42 向量共线问题 四 (课本例3)　如图，平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M在线段A'B上，且=，点N在线段A'C上，且=. 求证：M，N，D'三点在一条直线上. 例 4 44 设=a，=b，=c， 则=-=a-c. 又=， 所以==(a-c)， =+=-b+(a-c) =(a-3b-c). 45 因为=+=a-c+=a-c+b， ==(a-c+b)， 所以=+=-b+(a-c+b)=(a-3b-c). 所以=. 由两个非零向量平行的充要条件，可知 ∥. 又D'是直线D'M和D'N的公共点， 故D'M和D'N重合，即M，N，D'三点在一条直线上. 46 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在 A1D1上，且=2，F在对角线A1C上，且 =.若=a，=b，=c. (1)用a，b，c表示； 例 4 因为=2=a，=b，=c， 所以=++=++=-b-c+a，所以=a-b-c. 47 (2)求证：E，F，B三点共线. =， =++=++ =++)++=(-b-a+c)-c+a =a-b-c==， 又相交于B，所以E，F，B三点共线. 48 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a=λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a=λb，从而得到a∥b. 反 思 感 悟 49 　已知空间不共线的向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是 A.A，B，C B.B，C，D C.A，B，D D.A，C，D 跟踪训练 4 √ 50 因为=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b， 对于A，因为=+=-4a+8b， 则不存在λ∈R，使得=λ，所以A，B，C三点不共线，故A错误； 对于B，因为=+=2a+4b， 则不存在μ∈R，使得=μ，所以B，C，D三点不共线，故B错误； 51 对于C，因为=++=3a+6b， 所以=3，则A，B，D三点共线，故C正确； 对于D，因为=+=-4a+8b， 则不存在t∈R，使得=t，所以A，C，D三点不共线，故D错误. 52 1.知识清单： (1)空间向量的基本概念. (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律. (4)向量共线问题. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 课堂小结 随堂演练 五 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中为真命题的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ √ √ 1 2 3 4 2.化简-+的结果是 A. B. C.0 D. -+=+=-=0. √ ∵+=+，∴=. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ 1 2 3 4 =++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c. 所以x=-，y=，z=. 1 2 3 4 4.如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M，N分别为OA，BC的中点，若= xa+yb+zc，则x=　　，y=　　，z= 　. - 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，他们的模可以相等，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则+-等于 A. B. C. D. 方法一　+-=(+)-=-=. 方法二　+-=+(-)=+=. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(多选)如图，在四棱柱的上底面ABCD中，=，则下列向量相等的是 A.与 B.与 C.与 D.与 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于A，的方向相同，大小相等，因而是 相等向量，所以A正确； 对于B，的方向相反，因而不是相等向量， 所以B错误； 对于C，的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误； 对于D，的方向相同，大小相等，因而是相等向量，所以D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a， =b，=c，则等于 A.a+b-c B.a-b+c C.b-a-c D.b-a+c =-=(-)-， ∵==c，∴=b-a-c. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且=，记=x+y+z，则(x，y，z)等于 A. B. C. D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 连接OE，OF(图略)，因为=，E，F分别是 AB，BC的中点，所以=+=+=+ -)=+=×+)+×+) =++，故(x，y，z)=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有 A.-= B.=++ C.= D.+++= 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象，如图所示. -=+=，故A正确； ++=++=，故B正确； C显然正确； +++=+=，故D不正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　　　. 13 14 15 16 -8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴共线，即存在λ∈R， 使得=λ. ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k=-8. 13 14 15 16 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a，=b，=c，用a，b，c表示，则=　　　 　. ∵=++=--+， 又∵M是AA1的中点，∴=， ∴=--+， ∵=a，==b，=c， ∴=-a-b+c. -a-b+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，AA1=1，所以向量，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4， AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别 为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个？ 13 14 15 16 易知A1D==， 所以模为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)写出模为 的所有向量； 13 14 15 16 根据相反向量的定义，可得向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)试写出的所有相反向量. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点， E为OC的中点，若=+x+y，求x， y的值. 13 14 15 16 ∵=++=-+-- =-+=-++) =-++) =-++-) =+-， 又=+x+y，∴x=，y=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 m(a-b)=ma-mb，A对； (m-n)a=ma-na，B对； 若m=0，则a，b不一定相等，C错； 若a=0，则m，n不一定相等，D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n 综合运用 √ √ 13 14 15 16 12.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且BM=2MC'，则等于 A.-++ B.-++ C.++ D.-+ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BM=2MC'， 所以=， 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， =+=+=++) =-)++) =++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的 中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量 =a，=b，=c，则=　　　　 (用a，b， c表示). =+=+=+-)=+=×+)+ ×=++=a+b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a+b+c 如图，因为O为AC1与A1C的交点， 所以O为AC1的中点， 所以=2， 则++)==， 故λ=. 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且++ )=λ，则λ=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD， BE的中点，若记=a，=b，=c，则= 　　　 　.(用a，b，c表示)  a+b+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点， 则=+=+=+×+) =+-+-) =++- =++ =a+b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在四面体中A-BCD中，M，N分别为△BCD和△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3. 求证：B，G，N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为△BCD和△ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设=a，=b，=c， 因为M为△BCD的重心， 所以=+=+×+)=++) =+-+-) =++)=(a+b+c)， 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为GM∶GA=1∶3， 所以=， 所以=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c， 因为N为△ACD的重心， 所以=+=++)=-a+b+c=， 所以∥， 又BN∩BG=B， 所以B，G，N三点共线. 13 14 15 16 第一章 <<< $$