第2章 2.1.1 建立空间直角坐标系-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2章 <<< 2.1.1　建立空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系的建系方式. 2.掌握在空间中任意一点的表示方法. 3.熟练掌握在空间直角坐标系中点与其坐标之间的关系. 学习目标 在一条直线上可以建立数轴，将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每点的位置用两个实数组成有序实数组(x，y)来表示.那么，在空间中怎样表示每个点的位置呢？这就是本节课要研究的问题. 导 语 一、确定空间中点的坐标 二、已知点的坐标确定点的位置 课时对点练 三、空间点的对称问题 随堂演练 内容索引 确定空间中点的坐标 一 如图，如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P？ 问题 提示　如图，将海面看成一个平面，从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP'，垂足为P'，则飞机在P'上空.为了刻画P'在海平面上的位置，在海平面上建立平面直角坐标系，则P'可以由它在这个坐标系中的坐标(x，y)来刻画.又由于飞机在海平面上空的高度|PP'|=z是一个实数，因而将x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)，它就刻画了飞机的位置P，称之为点P的坐标. 1.空间直角坐标系 (1)建系方法：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两 的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取 的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴. (2)建系原则：伸出右手，让四指与大拇指 ，并使四指先指向______ ，然后让四指沿握拳方向旋转 指向 ，此时大拇指的指向即为 . (3)构成要素：点O叫作坐标原点， 统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 ， ， . 垂直 共同 垂直 x轴正 方向 90° y轴正方向 z轴正方向 x，y，z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 知识梳理 2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标. 注 意 点 <<< 在空间直角坐标系中，坐标轴及三个坐标平面内的点的坐标特点如下： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 10 (课本例2)　长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD| =3，|AA'|=5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标. 例 1 11 如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0. 因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0). 由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内，又|AA'|=5，所以这四点的竖坐标z都是5. 12 又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同. 因此，A'，B'，C'，D'的坐标分别是A'(0，0，5)，B'(8，0，5)，C'(8，3，5)，D'(0，3，5). 13 画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，分别以有向直线AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 (1)顶点A，D1的坐标分别为　　　　 　　　；  (2)棱C1C中点的坐标为　　 　　；  (3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　 　　　. 例 1 (0，0，0)，(0，1，1) 14 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求空间某点的坐标的方法 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面内的射影，确定其两个坐标再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 反 思 感 悟 15 　建立适当的空间直角坐标系，写出底面边长为2，高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点的坐标. 跟踪训练 1 以BC的中点O为原点，分别以有向直线OA，OB为x轴、y轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知，|AO|=， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)， B(0，1，0)，C(0，-1，0)，A1(，0，3)， B1(0，1，3)，C1(0，-1，3).(答案不唯一) 16 二 已知点的坐标确定点的位置 根据坐标与点的对应关系，描出各点，如图所示. (课本例1)　在空间直角坐标系中，描出下列各点： (1)A(0，0，4)； (2)B(3，-3，0)； (3)C(1，2，3). 例 2 18 方法一　第一步：从原点出发沿x轴正方向移动3个单位长度. 第二步：沿与y轴平行的方向向y轴正方向移动4个单位长度. 第三步：沿与z轴平行的方向向z轴正方向移动5个单位长度，即得点P(如图所示). 方法二　以O为顶点构造长方体，使这个长方 体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正 半轴上，且棱长分别为3，4，5，则长方体与 顶点O相对的顶点即为所求点P. 在空间直角坐标系中描出点P(3，4，5). 例 2 19 (1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置. (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的公共交点确定点P. 已知点P的坐标确定其位置的方法 反 思 感 悟 20 　点A(0，-2，3)在空间直角坐标系中的位置是 A.在x轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在xOz平面内 跟踪训练 2 √ 因为点A的横坐标为0，所以点A(0，-2，3)在yOz平面内. 21 空间点的对称问题 三 在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 例 3 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4). 23 (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4). 24 (3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点的坐标. 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6， y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12， 所以对称点P3的坐标为(6，-3，-12). 25 (1)P(x，y，z) P1(-x，-y，-z). (2)P(x，y，z) P2(x，-y，-z)； P(x，y，z) P3(-x，y，-z)； P(x，y，z) P4(-x，-y，z). (3)P(x，y，z) P5(x，y，-z)； P(x，y，z) P6(-x，y，z)； P(x，y，z) P7(x，-y，z). 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”. 空间中点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的坐标特征 反 思 感 悟 26 　点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为　　 　　，点P关于z轴的对称点P2的坐标为　　 　　. 跟踪训练 3 (1，1，-1) (-1，-1，1) 27 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)空间直角坐标系中点的坐标. (3)空间直角坐标系中点的对称问题. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：由空间点的位置求点的坐标时，坐标的符号容易出错. 课堂小结 随堂演练 四 在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点中，横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数. 又因为点A(-3，1，-4)， 所以点A关于x轴对称的点的坐标是(-3，-1，4). 1 2 3 4 1.已知点A，则点A关于x轴的对称点的坐标为 A.(-3，-1，4) B.(-3，-1，-4) C.(3，1，4) D.(3，-1，-4) √ 2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，则线段AB的中点坐标是 A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2) C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4) 设线段AB的中点坐标为(x，y，z)， 所以x==-1，y==-1，z==2， 故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2). √ 1 2 3 4 点P到平面yOz的距离就是点P的横坐标的绝对值，即1. 1 2 3 4 3.在空间直角坐标系中，点P(-1，-2，-3)到平面yOz的距离是 A.1 B.2 C.3 D. √ 由题意结合所给的空间直角坐标系，OA=3，OC=5，OD'=2， 可知点B'的坐标为(3，5，2)，点P的坐标为. 1 2 3 4 4.如图，长方体ABCO-A'B'C'D'中，OA=3，OC=5，OD'=2，点P为A'C'与B'D'的交点，则点B'的坐标为　　　　　，点P的坐标为　　　　　　. (3，5，2) 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标是(a，0，c) 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误. 基础巩固 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.在空间直角坐标系中，点P(-2，1，4)关于xOy平面的对称点的坐标是 A.(-2，1，-4) B.(-2，-1，-4) C.(2，-1，4) D.(2，1，-4) 过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)， 则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P'连线的中点， 又N(-2，1，0)，所以对称点为P'(-2，1，-4). 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(-1，2，3) A.关于xOy平面对称 B.关于xOz平面对称 C.关于yOz平面对称 D.关于x轴对称 空间中的两个点(1，2，3)和(-1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知点A(-3，1，4)，B(7，1，0)，则线段AB的中点M在yOz平面上的射影点的坐标为 A.(0，1，2) B.(2，1，2) C.(2，-1，2) D.(-2，1，-2) 线段AB的中点M的坐标为(2，1，2)，从而点M在yOz平面上的射影点的坐标为(0，1，2). 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为 A.(0，，0) B.(0，，) C.(1，0，) D.(1，，0) 由于垂足在平面yOz内，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，故垂足Q的坐标为(0，). 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1，2，3)，下列说法正确的是 A.OP的中点坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1，2，3) C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1，-2，-3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，-3) 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 利用中点坐标公式可得OP的中点坐标为，故A正确； 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3)，故B错误； 点P关于原点对称的点的坐标为(-1，-2，-3)，故C正确； 点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，-3)，故D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在空间直角坐标系中，过点P(-4，-2，3)作x轴的垂线，则垂足与点P的中点坐标为　　　 　. 过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足的坐标均为(a，0，0)的形式，所以垂足的坐标为(-4，0，0)，故所求中点坐标为. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.以1为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　 　　. 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). 由重心坐标公式得点G的坐标为. 13 14 15 16 因为点A(-4，2，3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，-2，-3)， 点A1(4，-2，-3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4，2，-3)， 点A2(4，2，-3)关于z轴的对称点A3的坐标为(-4，-2，-3)， 所以AA3的中点M的坐标为(-4，0，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知点A(-4，2，3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标. 13 14 15 16 由于D为坐标原点，所以D(0，0，0)， 由|AB|=|BC|=2，|D1D|=4得A(2，0，0)， B(2，2，0)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)， 因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点， 所以N，M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，D1D=4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标. 13 14 15 16 在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为 A. B.3 C. D. 综合运用 √ 13 14 15 16 12.(多选)下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是 A.点P(1，-1，0)与点Q(1，1，0)关于z轴对称 B.点A(-3，-1，4)与点B(3，-1，-4)关于y轴对称 C.点A(-3，-1，4)与点B(3，-1，-4)关于平面xOz对称 D.空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，点P(1，-1，0)与点Q(1，1，0)关于x轴对称，A错误； 对于B，点A(-3，-1，4)与B(3，-1，-4)关于y轴对称，B正确； 对于C，点A(-3，-1，4)与B(3，-1，-4)不关于平面xOz对称，C错误； 对于D，空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是 A.z轴 B.与xOy平面平行的一条直线 C.与xOy平面垂直的一条直线 D.xOy平面 点(2，2，z)在过点(2，2，0)且垂直于平面xOy的直线上，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为(1，1，1)； 或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为(-1，-1，-1). 14.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为　　 　　. (1，1，1)或(-1，-1，-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，分别以有向直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是 A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ √ √ 根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确； B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)， 故点C1关于点B对称的点为(8，5，-3)，选项B错误； 在长方体中|AD1|=|BC1|==5=|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在空间直角坐标系中，|BC|=2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，求点D的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=30°，|BC|=2， 则|BD|=1，|CD|=， 所以|DE|=|CD|sin 30°=， |OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|cos 60°=1-=， 所以点D的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 2.1.1　建立空间直角坐标系 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握在空间中任意一点的表示方法.3.熟练掌握在空间直角坐标系中点与其坐标之间的关系. 导语 在一条直线上可以建立数轴，将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每点的位置用两个实数组成有序实数组(x，y)来表示.那么，在空间中怎样表示每个点的位置呢？这就是本节课要研究的问题. 一、确定空间中点的坐标 问题　如图，如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P？ 提示　如图，将海面看成一个平面，从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP'，垂足为P'，则飞机在P'上空.为了刻画P'在海平面上的位置，在海平面上建立平面直角坐标系，则P'可以由它在这个坐标系中的坐标(x，y)来刻画.又由于飞机在海平面上空的高度|PP'|=z是一个实数，因而将x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)，它就刻画了飞机的位置P，称之为点P的坐标. 知识梳理 1.空间直角坐标系 (1)建系方法：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴. (2)建系原则：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向. (3)构成要素：点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面. 2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标. 注意点： 在空间直角坐标系中，坐标轴及三个坐标平面内的点的坐标特点如下： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 例1　(课本例2)　长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD|=3，|AA'|=5.建立适当的 空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标. 解　如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0. 因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0). 由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内，又|AA'|=5，所以这四点的竖坐标z都是5. 又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同. 因此，A'，B'，C'，D'的坐标分别是A'(0，0，5)，B'(8，0，5)，C'(8，3，5)，D'(0，3，5). 例1　画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，分别以有向直线AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 (1)顶点A，D1的坐标分别为　　　　　　　；  (2)棱C1C中点的坐标为　　　　；  (3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　.  答案　(1)(0，0，0)，(0，1，1)　(2) (3) 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求空间某点的坐标的方法 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面内的射影，确定其两个坐标再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1　建立适当的空间直角坐标系，写出底面边长为2，高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点的坐标. 解　以BC的中点O为原点，分别以有向直线OA，OB为x轴、y轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知，|AO|=， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，-1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，-1，3).(答案不唯一) 二、已知点的坐标确定点的位置 例2　(课本例1)　在空间直角坐标系中，描出下列各点： (1)A(0，0，4)； (2)B(3，-3，0)； (3)C(1，2，3). 解　根据坐标与点的对应关系，描出各点，如图所示. 例2　在空间直角坐标系中描出点P(3，4，5). 解　方法一　第一步：从原点出发沿x轴正方向移动3个单位长度. 第二步：沿与y轴平行的方向向y轴正方向移动4个单位长度. 第三步：沿与z轴平行的方向向z轴正方向移动5个单位长度，即得点P(如图所示). 方法二　以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为3，4，5，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P. 反思感悟　已知点P的坐标确定其位置的方法 (1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置. (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的公共交点确定点P. 跟踪训练2　点A(0，-2，3)在空间直角坐标系中的位置是(　　) A.在x轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在xOz平面内 答案　C 解析　因为点A的横坐标为0，所以点A(0，-2，3)在yOz平面内. 三、空间点的对称问题 例3　在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点的坐标. 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4). (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6， y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12， 所以对称点P3的坐标为(6，-3，-12). 反思感悟　空间中点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的坐标特征 (1)P(x，y，z)P1(-x，-y，-z). (2)P(x，y，z)P2(x，-y，-z)； P(x，y，z)P3(-x，y，-z)； P(x，y，z)P4(-x，-y，z). (3)P(x，y，z)P5(x，y，-z)； P(x，y，z)P6(-x，y，z)； P(x，y，z)P7(x，-y，z). 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”. 跟踪训练3　点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为　　　　，点P关于z轴的对称点P2的坐标为　　　　.  答案　(1，1，-1)　(-1，-1，1) 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)空间直角坐标系中点的坐标. (3)空间直角坐标系中点的对称问题. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：由空间点的位置求点的坐标时，坐标的符号容易出错. 1.已知点A，则点A关于x轴的对称点的坐标为(　　) A.(-3，-1，4) B.(-3，-1，-4) C.(3，1，4) D.(3，-1，-4) 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点中，横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数. 又因为点A(-3，1，-4)， 所以点A关于x轴对称的点的坐标是(-3，-1，4). 2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，则线段AB的中点坐标是(　　) A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2) C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4) 答案　A 解析　设线段AB的中点坐标为(x，y，z)， 所以x==-1，y==-1，z==2，故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2). 3.在空间直角坐标系中，点P(-1，-2，-3)到平面yOz的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D. 答案　A 解析　点P到平面yOz的距离就是点P的横坐标的绝对值，即1. 4. 如图，长方体ABCO-A'B'C'D'中，OA=3，OC=5，OD'=2，点P为A'C'与B'D'的交点，则点B'的坐标为　　　　　　，点P的坐标为　　　　　　.  答案　(3，5，2)　 解析　由题意结合所给的空间直角坐标系，OA=3，OC=5，OD'=2， 可知点B'的坐标为(3，5，2)，点P的坐标为. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标是(a，0，c) 答案　BCD 解析　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误. 2.在空间直角坐标系中，点P(-2，1，4)关于xOy平面的对称点的坐标是(　　) A.(-2，1，-4) B.(-2，-1，-4) C.(2，-1，4) D.(2，1，-4) 答案　A 解析　过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)， 则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P'连线的中点， 又N(-2，1，0)，所以对称点为P'(-2，1，-4). 3.在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(-1，2，3)(　　) A.关于xOy平面对称 B.关于xOz平面对称 C.关于yOz平面对称 D.关于x轴对称 答案　C 解析　空间中的两个点(1，2，3)和(-1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称. 4.已知点A(-3，1，4)，B(7，1，0)，则线段AB的中点M在yOz平面上的射影点的坐标为(　　) A.(0，1，2) B.(2，1，2) C.(2，-1，2) D.(-2，1，-2) 答案　A 解析　线段AB的中点M的坐标为(2，1，2)，从而点M在yOz平面上的射影点的坐标为(0，1，2). 5.在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　) A.(0，，0) B.(0，，) C.(1，0，) D.(1，，0) 答案　B 解析　由于垂足在平面yOz内，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，故垂足Q的坐标为(0，，). 6.(多选)关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1，2，3)，下列说法正确的是(　　) A.OP的中点坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1，2，3) C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1，-2，-3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，-3) 答案　ACD 解析　利用中点坐标公式可得OP的中点坐标为，故A正确； 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3)，故B错误； 点P关于原点对称的点的坐标为(-1，-2，-3)，故C正确； 点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，-3)，故D正确. 7.(5分)在空间直角坐标系中，过点P(-4，-2，3)作x轴的垂线，则垂足与点P的中点坐标为　　　　.  答案　 解析　过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足的坐标均为(a，0，0)的形式，所以垂足的坐标为(-4，0，0)，故所求中点坐标为. 8.(5分)如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　　　.  答案　 解析　由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). 由重心坐标公式得点G的坐标为. 9.(10分)已知点A(-4，2，3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标. 解　因为点A(-4，2，3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，-2，-3)， 点A1(4，-2，-3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4，2，-3)， 点A2(4，2，-3)关于z轴的对称点A3的坐标为(-4，-2，-3)， 所以AA3的中点M的坐标为(-4，0，0). 10.(10分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，D1D=4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标. 解　由于D为坐标原点，所以D(0，0，0)， 由|AB|=|BC|=2，|D1D|=4得A(2，0，0)， B(2，2，0)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)， 因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N，M. 11.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A. B.3 C. D. 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=. 12.(多选)下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是(　　) A.点P(1，-1，0)与点Q(1，1，0)关于z轴对称 B.点A(-3，-1，4)与点B(3，-1，-4)关于y轴对称 C.点A(-3，-1，4)与点B(3，-1，-4)关于平面xOz对称 D.空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 答案　BD 解析　对于A，点P(1，-1，0)与点Q(1，1，0)关于x轴对称，A错误； 对于B，点A(-3，-1，4)与B(3，-1，-4)关于y轴对称，B正确； 对于C，点A(-3，-1，4)与B(3，-1，-4)不关于平面xOz对称，C错误； 对于D，空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D正确. 13.设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是(　　) A.z轴 B.与xOy平面平行的一条直线 C.与xOy平面垂直的一条直线 D.xOy平面 答案　C 解析　点(2，2，z)在过点(2，2，0)且垂直于平面xOy的直线上，故选C. 14.(5分)已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为　　　　.  答案　(1，1，1)或(-1，-1，-1) 解析　分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为(1，1，1)； 或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面， 三个平面的交点即为点M，其坐标为(-1，-1，-1). 15.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，分别以有向直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确； B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)， 故点C1关于点B对称的点为(8，5，-3)，选项B错误； 在长方体中|AD1|=|BC1|==5=|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确. 16.(11分)如图，在空间直角坐标系中，|BC|=2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，求点D的坐标. 解　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=30°，|BC|=2， 则|BD|=1，|CD|=， 所以|DE|=|CD|sin 30°=， |OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|cos 60° =1-=， 所以点D的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$