第1章 1.3.3 三次函数的性质单调区间和极值-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 [学习目标]　1.能利用导数研究三次函数的有关性质.2.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.3.会求某闭区间上具体函数的最值. 导语 研究高次函数(中学阶段多项式函数不超过三次)时,我们往往通过求导降次的方法,转化为低次函数来处理,从而达到研究的目的.今天我们研究三次函数的有关性质,也可以采取上述的思想方法. 一、三次函数的性质:单调区间和极值 问题1　回顾函数的单调性与导数的关系,怎样确定三次函数的单调性和极值呢? 提示　三次函数可以通过求导转化为二次函数,研究二次函数在相应区间上的正、负,可以得到三次函数的单调性,进而确定函数的极值. 知识梳理 三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),F'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0). 当a>0时, 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x)的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x)>0 F'(x)≥0 x∈(-∞,u)∪(v,+∞)时, F'(x)>0;x∈(u,v)时,F'(x)<0 F(x)的单调性 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,u),(v,+∞)上单调递增,在(u,v)上单调递减 F(x)的极值 无 无 在x=u处取极大值,在x=v处取极小值 当a<0时, 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x)的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x)<0 F'(x)≤0 x∈(-∞,u)∪(v,+∞)时, F'(x)<0;x∈(u,v)时,F'(x)>0 F(x)的单调性 在(-∞,+∞)上单调递减 在(-∞,+∞)上单调递减 在(-∞,u),(v,+∞)上单调递减,在(u,v)上单调递增 F(x)的极值 无 无 在x=u处取极小值,在x=v处取极大值 例1　(课本例6)　求下列三次函数的单调区间和极值. (1)f(x)=x3-x2+2x+1； (2)h(x)=-2x3+9x2-12x+5. 解　(1)因为f'(x)=3x2-2x+2=3+ 所以f'(x)恒为正，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增， 因此f(x)没有极值. (2)h'(x)=-6x2+18x-12=-6(x2-3x+2)=-6(x-1)(x-2). 令h'(x)=0，得x=1或x=2. 1和2将区间(-∞，+∞)分为三个区间，列表如下： x (-∞，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 递减↘ 极小值0 递增↗ 极大值1 递减↘ 故h(x)在(-∞，1)和(2，+∞)上单调递减，在(1，2)上单调递增，因而极大值为1，极小值为0. 例1　已知x轴是曲线f(x)=x3+ax+b在点A(1,f(1))处的切线. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间和极值. 解　(1)由题意知f'(x)=3x2+a, f'(1)=0,且f(1)=0, 所以解得 所以f(x)=x3-3x+2. (2)f'(x)=3x2-3=3(x2-1), 令f'(x)=0,得x=±1. 当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). f(x)的极大值是f(-1)=4,极小值是f(1)=0. 反思感悟　求解函数的单调区间和极值时,导数值为0的点将整个定义域分为若干个区间,可将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,通过表格可以清楚地判断在相应区间上是单调递增还是单调递减,在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值. 跟踪训练1　求下列函数的单调区间和极值点: (1)f(x)=2x3+3x2+6x+1; (2)f(x)=-2x3+9x2-12x-7. 解　(1)f'(x)=6x2+6x+6=6(x2+x+1). ∵f'(x)恒为正, ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间,无极值点. (2)f'(x)=-6x2+18x-12=-6(x2-3x+2)=-6(x-1)(x-2),令f'(x)=0,得x1=1,x2=2. 当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 故f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递增区间为(1,2). x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点. 二、极值与最值的关系 问题2　如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 提示　由题图可得,最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在. 问题3　开区间上的连续函数有最值吗? 提示　如图. 容易发现,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,若有最值,则一定是在极值点处取到. 知识梳理 函数最值的定义 (1)一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 注意点: (1)开区间上的函数不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值. (2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分而不必要条件. 例2　如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 解　由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,所以极小值为f,f,极大值为f;比较极值和端点值可知函数的最小值是f,最大值在b处取得,最大值为f(b). 反思感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点在定义域内,但不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 跟踪训练2　设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 答案　C 解析　根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确;若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确. 三、求函数的最值 例3　(课本例7)　求函数f(x)=x3+x2-2x+1在区间[-2，1]上的最大值和最小值. 解　求导得f'(x)=3x2+x-2.令f'(x)=0，则x1=-1，x2=. 由于x1和x2都在区间[-2，1]内，所以可列表如下： x [-2，-1) -1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 又f(-2)=-1，f(1)=将它们与极值比较可得，该函数在[-2，1]上的最大值为最小值为-1. 例3　求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]; (2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]. 解　(1)因为f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3], 所以f'(x)=6x2-12 =6(x+)(x-), 令f'(x)=0, 解得x=-或x=. 因为f(-2)=8,f(3)=18, f()=-8,f(-)=8, 所以当x=时, f(x)取得最小值-8; 当x=3时, f(x)取得最大值18. (2)因为f(x)=x+sin x, 所以f'(x)=+cos x,令f'(x)=0, 又x∈[0,2π],解得x=或x=. 因为f(0)=0,f(2π)=π,f=+, f=-. 所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π. 反思感悟　求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); (3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 跟踪训练3　求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4]; (2)f(x)=. 解　(1)f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 又f(0)=3,f(2)=-5,f(4)=35,f(-2)=-37, ∴当x=4时,f(x)取得最大值35. 当x=-2时,f(x)取得最小值-37. 即f(x)在[-2,4]上的最大值为35,最小值为-37. (2)函数f(x)=的定义域为R. f'(x)==, 令f'(x)=0,得x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 递增↗ 递减↘ ∴f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, ∴f(x)无最小值,且当x=2时, f(x)max=f(2)=. 1.知识清单: (1)三次函数的性质. (2)函数最值的定义. (3)求函数的最值. 2.方法归纳:转化化归、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系. 1. 如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则(　　) A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值 B.函数f(x)有最大值,没有最小值 C.函数f(x)没有最大值,有最小值 D.函数f(x)有最大值,也有最小值 答案　C 解析　由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值. 2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是(　　) A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 答案　C 解析　y'=1-cos x,当x∈时,y'>0, 则函数在区间上单调递增, 所以函数的最大值为ymax=π-sin π=π. 3.函数f(x)=x3-4x+3在[0,3]上的最小值为(　　) A.- B.- C.0 D.3 答案　A 解析　f'(x)=x2-4, 由f'(x)>0,得x<-2或x>2; 由f'(x)<0,得-2<x<2. 又x∈[0,3], 所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增, 所以f(x)min=f(2)=-8+3=-. 4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　.  答案　- 解析　由题意知f'(x)=(x+2)ex, 当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为 f(-2)=(-2+1)e-2=-. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分 1. 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　) A.-3是函数y=f(x)的极大值点 B.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 C.-1是函数y=f(x)的最小值点 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 答案　B 解析　根据导函数图象可知,函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增, ∴-3是函数y=f(x)的极小值点,故A错误,B正确;∵f(x)在(-3,1)上单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故C错误;∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴f(x)在x=0处切线的斜率大于零,故D错误. 2.函数f(x)=x+2cos x在区间上的最小值是(　　) A.- B.2 C.+ D.+1 答案　A 解析　因为f'(x)=1-2sin x, 且x∈, 所以f'(x)=1-2sin x>0在上恒成立. 所以f(x)在上单调递增. 所以f(x)min=f=-+2cos =-. 3.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 答案　A 解析　f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令f'(x)=0,得x=-1或x=2, 所以当x∈[0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)min=f(2)=-15, 又f(0)=5,f(3)=-4, 所以f(x)max=f(0)=5. 4.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　) A.a=0或a=7 B.a<0或a>21 C.0≤a≤21 D.a=0或a=21 答案　C 解析　f'(x)=3x2+2ax+7a. ∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上, ∴f'(x)≥0在x∈R上恒成立, ∴Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21. 5.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为(　　) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 答案　A 解析　令F(x)=f(x)-g(x), ∵f'(x)<g'(x), ∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0, ∴F(x)在[a,b]上单调递减, ∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a). 6.(多选)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是(　　) A.f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B.f(-)是极小值,f()是极大值 C.f(x)没有最小值,也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 答案　ABD 解析　由f(x)>0得0<x<2,故A正确; f'(x)=(2-x2)ex, 令f'(x)=0,得x=±, 当x<-或x>时,f'(x)<0, 当-<x<时,f'(x)>0, ∴当x=-时,f(x)取得极小值, 当x=时,f(x)取得极大值,故B正确; 当x→-∞时,f(x)→0, 当x→+∞时,f(x)→-∞,且f()>0, 结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,故C不正确,D正确. 7.(5分)函数f(x)=x3-x2-x+1的极大值点为　　　,极小值为　　　.  答案　x=-　0 解析　由f(x)=x3-x2-x+1,得f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 令f'(x)>0,解得x>1或x<-; 令f'(x)<0,解得-<x<1, 故f(x)在和上单调递增,在上单调递减, 故f(x)在x=1处取极小值,在x=-处取极大值, 故f(x)极小值=f(1)=1-1-1+1=0. 8.(5分)函数f(x)= 的最小值为 　　　,最大值为 　　　.  答案　-1　1 解析　f'(x)=,令f'(x)=0⇒x=±1,令f'(x)>0,得-1<x<1,令f'(x)<0,得x<-1或x>1,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,所以f(x)的极小值为f(-1)=-1,极大值为f(1)=1.又当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)的最小值为-1,最大值为1. 9.(10分)已知函数f(x)=x3-x2-4x+1. (1)求f(x)的单调区间;(5分) (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值.(5分) 解　(1)f(x)=x3-x2-4x+1, f'(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4), 当x=-1或时,f'(x)=0. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 递减↘ - 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),,单调递减区间为. (2)由(1)知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,x=为极小值点,f(0)=1, f=-,f(2)=-1,所以f(x)在区间[0,2]上的最小值为-,最大值为1. 10.(10分)已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a，b的值；(4分) (2)求f(x)在上的最大值.(6分) 解　(1)f'(x)=-2bx(x>0). 由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切， 得即解得 (2)由(1)得f(x)=ln x-x2. f'(x)=-x=，x∈. 令f'(x)>0，得≤x<1， 令f'(x)<0，得1<x≤e， 所以f(x)在上单调递增，在(1，e］上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)=-. 11.各种不同的进制在我们生活中随处可见,计算机使用的是二进制,数学运算一般用的是十进制.通常我们用函数f(x)=·表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率,则下列选项中表达M个数字的效率最高的是(　　) A.二进制 B.三进制 C.七进制 D.十进制 答案　B 解析　设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=,由于f(x)中x∈N+,下面比较和的大小即可. -==<0, 所以<,所以f(3)最大,即三进制效率最高. 12.(多选)关于函数f(x)=x3-4x+4,下列说法正确的是(　　) A.它的极大值为,极小值为- B.当x∈[3,4]时,它的最大值为,最小值为- C.它的单调递减区间为[-2,2] D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 答案　ACD 解析　∵函数f(x)=x3-4x+4, ∴f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 由f'(x)=(x-2)(x+2)>0, 得x>2或x<-2,此时函数单调递增; 由f'(x)=(x-2)(x+2)<0, 得-2<x<2,此时函数单调递减,∴C正确; 当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=, 当x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=-, ∴A正确; 当x∈[3,4]时,f(x)单调递增,它的最大值为f(4)=-4×4+4=,最小值为f(3)=-4×3+4=1,∴B错误; f'(0)=-4,f(0)=4, ∴它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4,∴D正确. 13.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是(　　) A.20 B.18 C.3 D.0 答案　A 解析　因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2],所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[-3,-1]和[1,2]上单调递增.f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19,又由题意知在[-3,2]上|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=20,所以t≥20,故选A. 14.(5分)函数f(x)=2x3-3x+1的零点个数为　　　　.  答案　3 解析　令f'(x)=6x2-3=0,解得x=±, 所以f(x)在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增, 所以当x=-时,f(x)取得极大值1+>0; 当x=时,f(x)取得极小值1-<0, 当x→-∞时,f(x)→-∞; 当x→+∞时,f(x)→+∞, 所以函数f(x)=2x3-3x+1的零点个数为3. 15.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则(　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 答案　ACD 解析　对于A，因为函数f(x)的定义域为R， f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3)， 易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0； 当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增， 在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故x=3是f(x)的极小值点，故A正确； 对于B，当0<x<1时， x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0， 由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以f(x)>f(x2)，故B错误； 对于C，当1<x<2时，1<2x-1<3， 由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3)， 即-4<f(2x-1)<0，故C正确； 对于D，当-1<x<0时， f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0， 所以f(2-x)>f(x)，故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)=x3-mx2+x,m∈R. (1)当m=时,求函数y=f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值;(5分) (2)若f(x0)为f(x)的一个极值,求证:<0.(7分) (1)解　当m=时,f(x)=x3-x2+x, f'(x)=x2-x+1=(x-2), 令f'(x)=0,解得x=或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x 0 2 (2,3) 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 0 递增↗ 递减↘ - 递增↗ 所以当x=2时,f(x)取得最小值-; 当x=3时,f(x)取得最大值. (2)证明　因为f(x0)是f(x)的一个极值, 所以f'(x)=x2-2mx+1=0有两个不同的解, 所以Δ>0,即m2>1, 且f'(x0)=-2mx0+1=0, 即-2mx0=-1, 所以 = =(-2mx0)-m2+1 =-m2+<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 1.3.3　三次函数的性质： 单调区间和极值 1.能利用导数研究三次函数的有关性质. 2.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 3.会求某闭区间上具体函数的最值. 学习目标 研究高次函数(中学阶段多项式函数不超过三次)时,我们往往通过求导降次的方法,转化为低次函数来处理,从而达到研究的目的.今天我们研究三次函数的有关性质,也可以采取上述的思想方法. 导 语 一、三次函数的性质：单调区间和极值 二、极值与最值的关系 课时对点练 三、求函数的最值 随堂演练 内容索引 三次函数的性质：单调区间和极值 一 提示　三次函数可以通过求导转化为二次函数,研究二次函数在相应区间上的正、负,可以得到三次函数的单调性,进而确定函数的极值. 回顾函数的单调性与导数的关系,怎样确定三次函数的单调性和极值呢? 问题1 三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),F'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0). 当a>0时, (-∞,u)∪(v,+∞) 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x) 的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x)>0 F'(x) 0 x∈ 时, F'(x)>0;x∈ 时,F'(x)<0 (u,v) ≥ 知识梳理 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x) 的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F(x)的单调性 在(-∞,+∞)上 _________ 在(-∞,+∞)上 _________ 在(-∞,u),(v,+∞)上___ ,在(u,v)上___ _______ F(x)的极值 ____ ____ 在x= 处取极大值,在x= 处取极小值 单调递增 单调递增 单 调递增 单 调递减 无 无 u v 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x) 的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x)<0 F'(x) 0 x∈_____________ 时,F'(x)<0;x∈____ 时,F'(x)>0 当a<0时, (-∞,u)∪(v,+∞) (u,v) ≤ 　 　 F'(x)的零点 F(x)、F'(x) 的性质 无 x=w x=u和x=v(u<v) F(x)的单调性 在(-∞,+∞)上________ 在(-∞,+∞)上________ 在(-∞,u),(v,+∞)上 ,在(u,v)上 _________ F(x)的极值 无 无 在x= 处取极小值,在x= 处取极大值 单调递减 单调递增 u v 单调递减 单调递减 　　　(课本例6)　求下列三次函数的单调区间和极值. (1)f(x)=x3-x2+2x+1； 因为f'(x)=3x2-2x+2=3+ 所以f'(x)恒为正，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增， 因此f(x)没有极值. 例 1 11 (2)h(x)=-2x3+9x2-12x+5. h'(x)=-6x2+18x-12=-6(x2-3x+2)=-6(x-1)(x-2). 令h'(x)=0，得x=1或x=2. 1和2将区间(-∞，+∞)分为三个区间，列表如下： x (-∞，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 递减↘ 极小值0 递增↗ 极大值1 递减↘ 故h(x)在(-∞，1)和(2，+∞)上单调递减，在(1，2)上单调递增，因而极大值为1，极小值为0. 12 已知x轴是曲线f(x)=x3+ax+b在点A(1,f(1))处的切线. (1)求函数f(x)的解析式; 例 1 由题意知f'(x)=3x2+a, f'(1)=0,且f(1)=0, 所以 所以f(x)=x3-3x+2. 13 (2)求函数f(x)的单调区间和极值. f'(x)=3x2-3=3(x2-1), 令f'(x)=0,得x=±1. 当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). f(x)的极大值是f(-1)=4,极小值是f(1)=0. 14 求解函数的单调区间和极值时,导数值为0的点将整个定义域分为若干个区间,可将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,通过表格可以清楚地判断在相应区间上是单调递增还是单调递减,在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值. 反 思 感 悟 15 　求下列函数的单调区间和极值点： (1)f(x)=2x3+3x2+6x+1; 跟踪训练 1 f'(x)=6x2+6x+6=6(x2+x+1). ∵f'(x)恒为正, ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间,无极值点. 16 (2)f(x)=-2x3+9x2-12x-7. f'(x)=-6x2+18x-12=-6(x2-3x+2)=-6(x-1)(x-2),令f'(x)=0,得x1=1,x2=2. 当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如表所示. 故f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递增区间为(1,2). x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点. x (-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 17 二 极值与最值的关系 如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 问题2 提示　由题图可得,最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在. 开区间上的连续函数有最值吗? 问题3 提示　如图.   容易发现,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,若有最值,则一定是在极值点处取到. 函数最值的定义 (1)一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 知识梳理 (1)开区间上的函数不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值. (2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分而不必要条件. 注 意 点 <<< 22 如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 例 2 由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,所以极小值为f,f,极大值为f;比较极值和端点值可知函数的最小值是f,最大值在b处取得,最大值为f(b). 23 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点在定义域内,但不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 最值与极值的区别与联系 反 思 感 悟 24 　设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是 A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点 跟踪训练 2 √ 25 根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确; 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确. 26 求函数的最值 三 　　　(课本例7)　求函数f(x)=x3+x2-2x+1在区间[-2，1]上的最大值和最小值. 例 3 28 求导得f'(x)=3x2+x-2.令f'(x)=0，则x1=-1，x2=. 由于x1和x2都在区间[-2，1]内，所以可列表如下： x [-2，-1) -1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 又f(-2)=-1，f(1)=将它们与极值比较可得，该函数在[-2，1]上的最大值为最小值为-1. 29 求下列函数的最值： (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]; 例 3 30 因为f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3], 所以f'(x)=6x2-12 =6(x+)(x-), 令f'(x)=0, 解得x=-或x=. 因为f(-2)=8,f(3)=18, f()=-8,f(-)=8, 31 所以当x=时, f(x)取得最小值-8; 当x=3时, f(x)取得最大值18. 32 (2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]. 因为f(x)=x+sin x, 所以f'(x)=+cos x,令f'(x)=0, 又x∈[0,2π],解得x=或x=. 因为f(0)=0,f(2π)=π,f=+,f=-. 所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π. 33 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); (3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 反 思 感 悟 34 　求下列函数的最值： (1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4]; 跟踪训练 3 f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 令f'(x)=0,得x=0或x=2. 又f(0)=3,f(2)=-5,f(4)=35,f(-2)=-37, ∴当x=4时,f(x)取得最大值35. 当x=-2时,f(x)取得最小值-37. 即f(x)在[-2,4]上的最大值为35,最小值为-37. 35 函数f(x)=的定义域为R. f'(x)==, 令f'(x)=0,得x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. ∴f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, ∴f(x)无最小值,且当x=2时, f(x)max=f(2)=. x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 递增↗ 递减↘ (2)f(x)=. 36 1.知识清单： (1)三次函数的性质. (2)函数最值的定义. (3)求函数的最值. 2.方法归纳：转化化归、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系. 课堂小结 随堂演练 四 由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值. 1.如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则 A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值 B.函数f(x)有最大值,没有最小值 C.函数f(x)没有最大值,有最小值 D.函数f(x)有最大值,也有最小值 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是 A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 y'=1-cos x,当x∈时,y'>0, 则函数在区间上单调递增, 所以函数的最大值为ymax=π-sin π=π. √ f'(x)=x2-4, 由f'(x)>0,得x<-2或x>2; 由f'(x)<0,得-2<x<2. 又x∈[0,3], 所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增, 所以f(x)min=f(2)=-8+3=-. 1 2 3 4 3.函数f(x)=x3-4x+3在[0,3]上的最小值为 A.- B.- C.0 D.3 √ 由题意知f'(x)=(x+2)ex, 当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为 f(-2)=(-2+1)e-2=-. 1 2 3 4 4.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　. - 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则 A.-3是函数y=f(x)的极大值点 B.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 C.-1是函数y=f(x)的最小值点 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据导函数图象可知,函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调 递减,在(-3,1)上单调递增, ∴-3是函数y=f(x)的极小值点,故A错误,B正确; ∵f(x)在(-3,1)上单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故C错误; ∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴f(x)在x=0处切线的斜率大于零,故D错误. 13 14 15 16 2.函数f(x)=x+2cos x在区间上的最小值是 A.- B.2 C.+ D.+1 因为f'(x)=1-2sin x, 且x∈, 所以f'(x)=1-2sin x>0在上恒成立. 所以f(x)在上单调递增. 所以f(x)min=f=-+2cos=-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令f'(x)=0,得x=-1或x=2, 所以当x∈[0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)min=f(2)=-15, 又f(0)=5,f(3)=-4, 所以f(x)max=f(0)=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 13 14 15 16 √ 4.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是 A.a=0或a=7 B.a<0或a>21 C.0≤a≤21 D.a=0或a=21 f'(x)=3x2+2ax+7a. ∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上, ∴f'(x)≥0在x∈R上恒成立, ∴Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为 A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 令F(x)=f(x)-g(x), ∵f'(x)<g'(x), ∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0, ∴F(x)在[a,b]上单调递减, ∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a). 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 A.f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B.f(-)是极小值,f()是极大值 C.f(x)没有最小值,也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 13 14 15 16 √ √ √ 由f(x)>0得0<x<2,故A正确; f'(x)=(2-x2)ex, 令f'(x)=0,得x=±, 当x<-或x>时,f'(x)<0, 当-<x<时,f'(x)>0, ∴当x=-时,f(x)取得极小值, 当x=时,f(x)取得极大值,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x→-∞时,f(x)→0, 当x→+∞时,f(x)→-∞,且f()>0, 结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,故C不正确,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=x3-x2-x+1,得f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 令f'(x)>0,解得x>1或x<-; 令f'(x)<0,解得-<x<1, 故f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故f(x)在x=1处取极小值,在x=-处取极大值, 故f(x)极小值=f(1)=1-1-1+1=0. 7.函数f(x)=x3-x2-x+1的极大值点为　　　,极小值为　　　. x=- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.函数f(x)= 的最小值为 　　　,最大值为 　　　. f'(x)=,令f'(x)=0⇒x=±1,令f'(x)>0,得-1<x<1,令f'(x)<0,得x<-1或x>1,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,所以f(x)的极小值为f(-1)=-1,极大值为f(1)=1.又当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)的最小值为-1,最大值为1. 13 14 15 16 -1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知函数f(x)=x3-x2-4x+1. (1)求f(x)的单调区间; 13 14 15 16 f(x)=x3-x2-4x+1, f'(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4), 当x=-1或时,f'(x)=0. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 递减↘ - 递增↗ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),,单调递减区间为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值. 13 14 15 16 由(1)知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,x=为极小值点, f(0)=1,f=-,f(2)=-1,所以f(x)在区间[0,2]上的最小值为-,最大值为1. f'(x)=-2bx(x>0). 由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切， 得 10.已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得f(x)=ln x-x2. f'(x)=-x=，x∈. 令f'(x)>0，得≤x<1， 令f'(x)<0，得1<x≤e， 所以f(x)在上单调递增，在(1，e］上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)=-. (2)求f(x)在上的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.各种不同的进制在我们生活中随处可见,计算机使用的是二进制,数学运算一般用的是十进制.通常我们用函数f(x)=·表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率,则下列选项中表达M个数字的效率最高的是 A.二进制 B.三进制 .七进制 D.十进制 综合运用 √ 13 14 15 16 设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=, 由于f(x)中x∈N+,下面比较的大小即可. -==<0, 所以<,所以f(3)最大,即三进制效率最高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)关于函数f(x)=x3-4x+4,下列说法正确的是 A.它的极大值为,极小值为- B.当x∈[3,4]时,它的最大值为,最小值为- C.它的单调递减区间为[-2,2] D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵函数f(x)=x3-4x+4, ∴f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 由f'(x)=(x-2)(x+2)>0, 得x>2或x<-2,此时函数单调递增; 由f'(x)=(x-2)(x+2)<0, 得-2<x<2,此时函数单调递减,∴C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=, 当x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=-, ∴A正确; 当x∈[3,4]时,f(x)单调递增,它的最大值为f(4)=-4×4+4=,最小值为f(3)=-4×3+4=1,∴B错误; f'(0)=-4,f(0)=4, ∴它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4,∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 A.20 B.18 C.3 D.0 因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2],所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在 [-3,-1]和[1,2]上单调递增.f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间 [-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19,又由题意知在[-3,2]上|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=20,所以t≥20,故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.函数f(x)=2x3-3x+1的零点个数为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 13 14 15 16 令f'(x)=6x2-3=0,解得x=±, 所以f(x)在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增, 所以当x=-时,f(x)取得极大值1+>0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=时,f(x)取得极小值1-<0, 当x→-∞时,f(x)→-∞; 当x→+∞时,f(x)→+∞, 所以函数f(x)=2x3-3x+1的零点个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ √ √ 对于A，因为函数f(x)的定义域为R， f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3)， 易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0； 当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增， 在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故x=3是f(x)的极小值点，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，当0<x<1时， x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0， 由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以f(x)>f(x2)，故B错误； 对于C，当1<x<2时，1<2x-1<3， 由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3)， 即-4<f(2x-1)<0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，当-1<x<0时， f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0， 所以f(2-x)>f(x)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=x3-mx2+x,m∈R. (1)当m=时,求函数y=f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当m=时,f(x)=x3-x2+x, f'(x)=x2-x+1=(x-2), 令f'(x)=0,解得x=或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. 13 14 15 16 x 0 2 (2,3) 3 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) 0 递增↗ 递减↘ - 递增↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以当x=2时,f(x)取得最小值-; 当x=3时,f(x)取得最大值. 13 14 15 16 (2)若f(x0)为f(x)的一个极值,求证：<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x0)是f(x)的一个极值, 所以f'(x)=x2-2mx+1=0有两个不同的解, 所以Δ>0,即m2>1, 且f'(x0)=-2mx0+1=0, 即-2mx0=-1, 所以= =(-2mx0)-m2+1=-m2+<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$