第1章 1.3.2 函数的极值与导数-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 1.3.2　函数的极值与导数 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 学习目标 同学们,前面我们通过对函数的求导,掌握了函数的单调性,从而也发现了函数图象的变化趋势,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,大家可以想象一下,在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处,但却是其附近的最高点,同样,各个谷底虽然不一定是山谷的最低处,但却是其附近的最低点.这就和我们今天要研究的函数的极值很相似. 导 语 一、函数极值的概念 二、求函数的极值 课时对点练 三、由极值求参数的值或取值范围 随堂演练 内容索引 函数极值的概念 一 提示　在x1,x3,x5处是山峰,在x2,x4处是山谷. 如图是某处群山的截面图,你能指出山峰、山谷吗? 问题1 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗? 问题2 提示　以山峰x=x1处为例来研究,在x=x1处,它附近的函数值都比它小,且在x=x1处的左侧函数是单调递增的,有f'(x)>0;在x=x1处的右侧函数是单调递减的,有f'(x)<0,函数图象是连续不断的,f'(x)的变化也是连续不断的,并且有f'(x1)=0. 极值点与极值的概念 如图1所示,设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都 f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. 小于或等于 知识梳理 如图2所示,设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都 f(x0)(即f(x) f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点. 极大值和极小值统称 ,极大值点和极小值点统称 . 若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点. 大于或等于 极值 极值点 ≥ 注 意 点 <<< (1)极值点不是点. (2)极值是函数的局部性质. (3)函数的极值不唯一. (4)极大值与极小值两者的大小关系不确定. (5)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点. (6)若f'(c)=0,则c不一定是极值点,即f'(c)=0是f(x)在x=c处取到极值的必要而不充分条件,函数y=f'(x)的变号零点,才是函数的极值点. 10 (多选)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断,正确的是 A.函数y=f(x)在区间内单调递减 B.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增 C.当x=-时,函数y=f(x)有极大值 D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值 例 1 √ √ 11 对于A,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(2,3)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以A错误; 对于B,当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以B正确; 对于C,当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 故当x=-时,f不是极大值,所以C错误; 对于D,由A知,当x=2时,函数y=f(x)取得极大值,所以D正确. 12 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 反 思 感 悟 13 　已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练 1 √ 如图,在(a,c),(d,b)上,f'(x)≥0, 所以函数f(x)在(a,c),(d,b)上单调递增, 在(c,d)上,f'(x)<0,所以f(x)在(c,d)上单调递减, 所以当x=c时,函数f(x)取得极大值,当x=d时,函数f(x)取得极小值. 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1. 14 二 求函数的极值 　　　(1)(课本例4)　试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点. (1)f(x)=x4； 对f(x)求导得f'(x)=4x3. 令f'(x)=0，即4x3=0，解得x=0，它是此函数的唯一驻点. 当x<0时f'(x)=4x3<0，此时函数f(x)单调递减； 当x>0时f'(x)=4x3>0，此时函数f(x)单调递增. 因此x=0为此函数的极小值点. 例 2 16 (2)f(x)=x5. 对f(x)求导得f'(x)=5x4. 令f'(x)=0，即5x4=0，解得x=0，它是此函数的唯一驻点. 当x<0时f'(x)=5x4>0，此时函数f(x)单调递增； 当x>0时仍有f'(x)=5x4>0，此时函数f(x)也单调递增. 因此x=0不是此函数的极值点. 17 (2)(课本例5)　求函数g(x)=x2(3-x)的极大值和极小值. 18 求导得g'(x)=6x-3x2. 令g'(x)=0，解得x=0或x=2. 当x变化时，g'(x)和g(x)的变化情况如下表所示： x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) g'(x) - 0 + 0 - g(x) 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 故g(x)有极大值点x=2，对应的极大值为g(2)=4； g(x)有极小值点x=0，对应的极小值为g(0)=0. 19 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0),f'(-1)=f'(1)=0,且f(1)=-1. (1)求实数a,b,c的值; 例 2 f'(x)=3ax2+2bx+c. 由f'(-1)=f'(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ∴a=,b=0,c=-. 20 (2)求函数的驻点,判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号,并判断驻点是否为极值点. 由(1)可得f(x)=x3-x, ∴f'(x)=x2-=(x-1)(x+1). 令f'(x)=0,即(x-1)(x+1)=0,解得x=1或x=-1,它们是此函数的驻点. 当x<-1或x>1时,f'(x)>0; 当-1<x<1时,f'(x)<0, ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减. ∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=-1是函数f(x)的极大值点. 21 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,x0为f(x)的驻点. (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么x=x0是极大值点. (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么x=x0是极小值点. 一般地,判断函数y=f(x)的驻点和极值点的方法 反 思 感 悟 22 求下列函数的驻点,并判断其是否为极值点,若是,求出对应极值. (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; 跟踪训练 2 23 函数f(x)的定义域为R. f'(x)=3x2-6x-9, 令f'(x)=0, 即3x2-6x-9=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以x=-1或x=3为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 24 所以当x=-1时,函数y=f(x)有极大值, 且f(-1)=10; 当x=3时,函数y=f(x)有极小值, 且f(3)=-22. 25 (2)f(x)=+3ln x. 函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=-+=. 令f'(x)=0,解得x=1, 所以x=1为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. 所以当x=1时,函数f(x)有极小值,为f(1)=3,f(x)无极大值. x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 26 由极值求参数的值或取值范围 三 (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于 A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3 例 3 √ 28 ∵f(x)=x3+ax2+bx+a2, ∴f'(x)=3x2+2ax+b. 由题意得 即当时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故函数f(x)单调递增,无极值,不符合题意. ∴a=4. 29 (2)已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为 A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞) √ f'(x)=3x2+2ax+a+6, ∵f(x)既有极大值又有极小值, ∴方程3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根, 那么Δ=(2a)2-4×3·(a+6)>0, 解得a>6或a<-3. 30 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后,一定要验证是否满足题目中的条件. (2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立. 已知函数的极值求参数的方法 反 思 感 悟 31 　若函数f(x)=x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点, 则实数a的取值范围是　　　 　. 跟踪训练 3 32 ∵f(x)=x3-4x+4(x∈R), ∴f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f'(x)=0,得x=2或x=-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 33 ∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)=; 当x=2时,函数取得极小值f(2)=-. 且f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, 在(2,+∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值的情况,它的图象大致如图所示, 结合图象知-<a<. 34 1.知识清单： (1)函数极值的概念. (2)函数极值的判定及求法. (3)函数极值的应用. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论、数形结合. 3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是 A.在(1,2)上函数f(x)单调递增 B.在(3,4)上函数f(x)单调递减 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 √ 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0; 当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0. ∴f(x)在(1,2),(4,5)上单调递增,在(2,4)上单调递减, x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是 A.(-∞,2) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) ∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值, ∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15, ∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 由f'(x)>0得x<2或x>3. √ √ f'(x)=ex+x·ex=(1+x)ex,令f'(x)=0, 得x=-1. 当x<-1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减; 当x>-1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增. 故x=-1为f(x)的极小值点. 3.设函数f(x)=xex,则 A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 √ 1 2 3 4 f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3, 所以 解得a=b=3,经检验a=b=3满足题意, 所以a-b=0. 1 2 3 4 4.函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a-b的值等于 A.0 B.6 C.3 D.2 √ 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.函数f(x)=2x2-6x+1的驻点为 A.1 B. C.2 D.3 f'(x)=4x-6,令f'(x)=0,得x=. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列函数中存在极值的是 A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 对于y=x-ex,y'=1-ex, 令y'=0,得x=0. 在区间(-∞,0)上,y'>0; 在区间(0,+∞)上,y'<0. 故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0, 当-2<x<1时,f'(x)<0, 当1<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处 取得极小值. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e)上的极大值为 A.-e B.-1 C.1-e D.0 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1. 令f'(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,故f(x)单调递增; 当x∈(1,e)时,f'(x)<0,故f(x)单调递减; 故f(x)在x=1处取得极大值 f(1)=ln 1-1=0-1=-1. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若x=1是函数f(x)=ax3+的一个极值点,则a的值为 A. B.1 C.0 D. 由f(x)=ax3+,得f'(x)=3ax2-,依题意可得f'(1)=3a-1=0,解得a=,经检验,a=满足题意. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 A.2 B.- C.3+ln 2 D.-2+2ln 2 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得,f'(x)=+2ax-3, ∵f(x)在x=2处取得极小值, ∴f'(2)=4a-2=0,解得a=, ∴f(x)=2ln x+x2-3x,x>0, f'(x)=+x-3=, ∴f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴f(x)的极大值为f(1)=-3=-. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.函数f(x)=的极小值为　　　. f'(x)==. 令f'(x)<0,得x<-2或x>1; 令f'(x)>0,得-2<x<1. 所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减, 在(-2,1)上单调递增, 所以f(x=f(-2)=-. 13 14 15 16 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a=　　　,b=　　　　. f'(x)=3x2+2ax+b, 由题意知 解得经验证知符合题意. 13 14 15 16 2 -4 f'(x)=-+(x>0). 由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0, 即f'(1)=0, 从而a-+=0, 解得a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.设函数f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; 13 14 15 16 由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0), f'(x)=--+==. 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去). 当x∈(0,1)时,f'(x)<0, 故f(x)在(0,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增. 故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求函数f(x)的极值. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值; 13 14 15 16 f'(x)=3x2-2x-1. 令f'(x)=0,得x=-或x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. ∴f(x)的极大值是f=+a, 极小值是f(1)=a-1. x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点? 13 14 15 16 函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0, x取足够小的负数时,有f(x)<0, ∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值=f=+a, f(x)极小值=f(1)=a-1. ∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即+a<0或a-1>0, ∴a<-或a>1, ∴当a∈∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处的极值为0,则m+n等于 A.11 B.4或11 C.4 D.8 综合运用 √ 13 14 15 16 f'(x)=3x2+6mx+n, 由题意知 解得 此时f(x)=x3+6x2+9x+4,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),当-3<x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,故函数f(x)在x=-1处取得极小值,符合题意,因此m+n=11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是 A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 由题意知f'(x)=ex-a. 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意; 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a, ∴当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0. 可知x=ln a为f(x)的极小值点, ∴ln a<0,∴a∈(0,1). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)在x=-2处取得极小值, 所以当x<-2时, f(x)单调递减,即f'(x)<0; 当x>-2时,f(x)单调递增,即f'(x)>0. 所以当x<-2时,y=xf'(x)>0; 当x=-2时,y=xf'(x)=0; 当-2<x<0时,y=xf'(x)<0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=0时,y=xf'(x)=0; 当x>0时,y=xf'(x)>0. 结合选项中的图象知选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,且f(x)在x=x0与x=2处取得极值,则f(1)+f(-1)的值一定 A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f'(x)=3ax2+2bx+c. 令f'(x)=0,则x0和2是该方程的根. ∴x0+2=-<0,即>0. 由题图知,f'(x)<0的解集为(x0,2), ∴3a>0,则b>0, ∵f(1)+f(-1)=2b,∴f(1)+f(-1)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.函数f(x)=ex(x-aex)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2),则实数a的取值范围是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 ∵函数f(x)=ex(x-aex), ∴f'(x)=(x+1-2aex)ex. ∵函数f(x)恰有两个极值点x1,x2, ∴x1,x2是方程f'(x)=0的两个不相等的实数根. 令x+1-2aex=0,可知a≠0, ∴=ex. 设y1=(a≠0),y2=ex,在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使这两个函数有两个不同的交点,应满足>1, 解得0<a<,所以实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. 13 14 15 16 (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 1.3.2　函数的极值与导数 [学习目标]　1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 导语 同学们,前面我们通过对函数的求导,掌握了函数的单调性,从而也发现了函数图象的变化趋势,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,大家可以想象一下,在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处,但却是其附近的最高点,同样,各个谷底虽然不一定是山谷的最低处,但却是其附近的最低点.这就和我们今天要研究的函数的极值很相似. 一、函数极值的概念 问题1　如图是某处群山的截面图,你能指出山峰、山谷吗? 提示　在x1,x3,x5处是山峰,在x2,x4处是山谷. 问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗? 提示　以山峰x=x1处为例来研究,在x=x1处,它附近的函数值都比它小,且在x=x1处的左侧函数是单调递增的,有f'(x)>0;在x=x1处的右侧函数是单调递减的,有f'(x)<0,函数图象是连续不断的,f'(x)的变化也是连续不断的,并且有f'(x1)=0. 知识梳理 极值点与极值的概念 如图1所示,设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. 如图2所示,设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点. 极大值和极小值统称极值,极大值点和极小值点统称极值点. 若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点. 注意点: (1)极值点不是点. (2)极值是函数的局部性质. (3)函数的极值不唯一. (4)极大值与极小值两者的大小关系不确定. (5)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点. (6)若f'(c)=0,则c不一定是极值点,即f'(c)=0是f(x)在x=c处取到极值的必要而不充分条件,函数y=f'(x)的变号零点,才是函数的极值点. 例1　(多选)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断,正确的是(　　) A.函数y=f(x)在区间内单调递减 B.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增 C.当x=-时,函数y=f(x)有极大值 D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值 答案　BD 解析　对于A,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(2,3)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以A错误; 对于B,当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以B正确; 对于C,当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故当x=-时,f不是极大值,所以C错误; 对于D,由A知,当x=2时,函数y=f(x)取得极大值,所以D正确. 反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 跟踪训练1　已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　如图,在(a,c),(d,b)上,f'(x)≥0, 所以函数f(x)在(a,c),(d,b)上单调递增, 在(c,d)上,f'(x)<0,所以f(x)在(c,d)上单调递减, 所以当x=c时,函数f(x)取得极大值,当x=d时,函数f(x)取得极小值. 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1. 二、求函数的极值 例2　(1)(课本例4)　试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点. (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5. 解　(1)对f(x)求导得f'(x)=4x3. 令f'(x)=0，即4x3=0，解得x=0，它是此函数的唯一驻点. 当x<0时f'(x)=4x3<0，此时函数f(x)单调递减； 当x>0时f'(x)=4x3>0，此时函数f(x)单调递增. 因此x=0为此函数的极小值点. (2)对f(x)求导得f'(x)=5x4. 令f'(x)=0，即5x4=0，解得x=0，它是此函数的唯一驻点. 当x<0时f'(x)=5x4>0，此时函数f(x)单调递增； 当x>0时仍有f'(x)=5x4>0，此时函数f(x)也单调递增. 因此x=0不是此函数的极值点. (2)(课本例5)　求函数g(x)=x2(3-x)的极大值和极小值. 解　求导得g'(x)=6x-3x2. 令g'(x)=0，解得x=0或x=2. 当x变化时，g'(x)和g(x)的变化情况如下表所示： x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) g'(x) - 0 + 0 - g(x) 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 故g(x)有极大值点x=2，对应的极大值为g(2)=4； g(x)有极小值点x=0，对应的极小值为g(0)=0. 例2　已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0),f'(-1)=f'(1)=0,且f(1)=-1. (1)求实数a,b,c的值; (2)求函数的驻点,判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号,并判断驻点是否为极值点. 解　(1)f'(x)=3ax2+2bx+c. 由f'(-1)=f'(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ∴a=,b=0,c=-. (2)由(1)可得f(x)=x3-x, ∴f'(x)=x2-=(x-1)(x+1). 令f'(x)=0,即(x-1)(x+1)=0,解得x=1或x=-1,它们是此函数的驻点. 当x<-1或x>1时,f'(x)>0; 当-1<x<1时,f'(x)<0, ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减. ∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=-1是函数f(x)的极大值点. 反思感悟　一般地,判断函数y=f(x)的驻点和极值点的方法 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,x0为f(x)的驻点. (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么x=x0是极大值点. (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么x=x0是极小值点. 跟踪训练2　求下列函数的驻点,并判断其是否为极值点,若是,求出对应极值. (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=+3ln x. 解　(1)函数f(x)的定义域为R. f'(x)=3x2-6x-9, 令f'(x)=0, 即3x2-6x-9=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以x=-1或x=3为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以当x=-1时,函数y=f(x)有极大值, 且f(-1)=10; 当x=3时,函数y=f(x)有极小值, 且f(3)=-22. (2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=-+=. 令f'(x)=0,解得x=1, 所以x=1为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 所以当x=1时,函数f(x)有极小值,为f(1)=3,f(x)无极大值. 三、由极值求参数的值或取值范围 例3　(1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于(　　) A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3 答案　C 解析　∵f(x)=x3+ax2+bx+a2, ∴f'(x)=3x2+2ax+b. 由题意得 即解得或 当时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故函数f(x)单调递增,无极值,不符合题意. ∴a=4. (2)已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(　　) A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞) 答案　D 解析　f'(x)=3x2+2ax+a+6, ∵f(x)既有极大值又有极小值, ∴方程3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根, 那么Δ=(2a)2-4×3·(a+6)>0, 解得a>6或a<-3. 反思感悟　已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号. 注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目中的条件. (2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立. 跟踪训练3　若函数f(x)=x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f(x)=x3-4x+4(x∈R), ∴f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f'(x)=0,得x=2或x=-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)=; 当x=2时,函数取得极小值f(2)=-. 且f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值的情况,它的图象大致如图所示, 结合图象知-<a<. 1.知识清单: (1)函数极值的概念. (2)函数极值的判定及求法. (3)函数极值的应用. 2.方法归纳:方程思想、分类讨论、数形结合. 3.常见误区:导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 1. 函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(　　) A.在(1,2)上函数f(x)单调递增 B.在(3,4)上函数f(x)单调递减 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 答案　D 解析　根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0. ∴f(x)在(1,2),(4,5)上单调递增,在(2,4)上单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点. 2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是(　　) A.(-∞,2) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 答案　AB 解析　∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值, ∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15, ∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 由f'(x)>0得x<2或x>3. 3.设函数f(x)=xex,则(　　) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 答案　D 解析　f'(x)=ex+x·ex=(1+x)ex,令f'(x)=0, 得x=-1. 当x<-1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减; 当x>-1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增. 故x=-1为f(x)的极小值点. 4.函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a-b的值等于(　　) A.0 B.6 C.3 D.2 答案　A 解析　f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3, 所以 解得a=b=3,经检验a=b=3满足题意, 所以a-b=0. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共50分 1.函数f(x)=2x2-6x+1的驻点为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　B 解析　f'(x)=4x-6,令f'(x)=0,得x=. 2.下列函数中存在极值的是(　　) A.y= B.y=x-ex C.y=2 D.y=x3 答案　B 解析　对于y=x-ex,y'=1-ex, 令y'=0,得x=0. 在区间(-∞,0)上,y'>0; 在区间(0,+∞)上,y'<0. 故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值. 3. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 答案　D 解析　由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0, 当-2<x<1时,f'(x)<0, 当1<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 4.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e)上的极大值为(　　) A.-e B.-1 C.1-e D.0 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1. 令f'(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,故f(x)单调递增; 当x∈(1,e)时,f'(x)<0,故f(x)单调递减; 故f(x)在x=1处取得极大值 f(1)=ln 1-1=0-1=-1. 5.若x=1是函数f(x)=ax3+的一个极值点,则a的值为(　　) A. B.1 C.0 D. 答案　A 解析　由f(x)=ax3+,得f'(x)=3ax2-,依题意可得f'(1)=3a-1=0,解得a=,经检验,a=满足题意. 6.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为(　　) A.2 B.- C.3+ln 2 D.-2+2ln 2 答案　B 解析　由题意得,f'(x)=+2ax-3, ∵f(x)在x=2处取得极小值, ∴f'(2)=4a-2=0,解得a=, ∴f(x)=2ln x+x2-3x,x>0, f'(x)=+x-3=, ∴f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴f(x)的极大值为f(1)=-3=-. 7.(5分)函数f(x)=的极小值为　　　　.  答案　- 解析　f'(x)= =. 令f'(x)<0,得x<-2或x>1; 令f'(x)>0,得-2<x<1. 所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减, 在(-2,1)上单调递增, 所以f(x=f(-2)=-. 8.(5分)已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a=　　　　　,b=　　　　　.  答案　2　-4 解析　f'(x)=3x2+2ax+b, 由题意知即 解得经验证知符合题意. 9.(11分)设函数f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值;(5分) (2)求函数f(x)的极值.(6分) 解　(1)f'(x)=-+(x>0). 由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0, 即f'(1)=0, 从而a-+=0, 解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0), f'(x)=--+ ==. 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去). 当x∈(0,1)时,f'(x)<0, 故f(x)在(0,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增. 故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值. 10.(12分)设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值;(5分) (2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?(7分) 解　(1)f'(x)=3x2-2x-1. 令f'(x)=0,得x=-或x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴f(x)的极大值是f=+a, 极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0, x取足够小的负数时,有f(x)<0, ∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值=f=+a, f(x)极小值=f(1)=a-1. ∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0, 即+a<0或a-1>0, ∴a<-或a>1, ∴当a∈∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 11.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处的极值为0,则m+n等于(　　) A.11 B.4或11 C.4 D.8 答案　A 解析　f'(x)=3x2+6mx+n, 由题意知 解得 此时f(x)=x3+6x2+9x+4,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),当-3<x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,故函数f(x)在x=-1处取得极小值,符合题意,因此m+n=11. 12.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 答案　B 解析　由题意知f'(x)=ex-a. 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意; 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a, ∴当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0. 可知x=ln a为f(x)的极小值点, ∴ln a<0,∴a∈(0,1). 13.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　因为f(x)在x=-2处取得极小值, 所以当x<-2时, f(x)单调递减,即f'(x)<0; 当x>-2时,f(x)单调递增,即f'(x)>0. 所以当x<-2时,y=xf'(x)>0; 当x=-2时,y=xf'(x)=0; 当-2<x<0时,y=xf'(x)<0; 当x=0时,y=xf'(x)=0; 当x>0时,y=xf'(x)>0. 结合选项中的图象知选C. 14. 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,且f(x)在x=x0与x=2处取得极值,则f(1)+f(-1)的值一定(　　) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 答案　B 解析　f'(x)=3ax2+2bx+c. 令f'(x)=0,则x0和2是该方程的根. ∴x0+2=-<0,即>0. 由题图知,f'(x)<0的解集为(x0,2), ∴3a>0,则b>0, ∵f(1)+f(-1)=2b,∴f(1)+f(-1)>0. 15.(5分)函数f(x)=ex(x-aex)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2),则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵函数f(x)=ex(x-aex), ∴f'(x)=(x+1-2aex)ex. ∵函数f(x)恰有两个极值点x1,x2, ∴x1,x2是方程f'(x)=0的两个不相等的实数根. 令x+1-2aex=0,可知a≠0, ∴=ex. 设y1=(a≠0),y2=ex,在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示. 要使这两个函数有两个不同的交点,应满足>1,解得0<a<,所以实数a的取值范围为. 16.(12分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(7分) 解　(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$