第1章 1.3 习题课 含参函数的极值与最值-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 习题课　含参函数的 极值与最值 1.能利用导数求简单的含参函数的极值、最值. 2.能根据最值求参数的值或取值范围. 学习目标 一、含参函数的极值 二、含参函数的最值 课时对点练 三、由最值求参数的值或取值范围 随堂演练 内容索引 含参函数的极值 一 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值. 例 1 5 ∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0, ∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a), 令f'(x)=0,得x=或x=. ①当a>0时,<, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表： x f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 6 ∴当x=时,函数取得极大值f=; 当x=时,函数取得极小值f=0. ②当a<0时,<, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表： x f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 7 ∴当x=时,函数取得极大值f=0; 当x=时,函数取得极小值f=. 综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=,在x=处取得极小值f=0; 当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=0,在x=处取得极小值f =. 8 求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 反 思 感 悟 9 　设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; 跟踪训练 1 10 由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1. 当a=1时,f'(x)=6x2≥0, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)]. f'(x),f(x)随x的变化情况如表： x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 由表可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1). 11 (2)讨论f(x)的极值. 由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值. 当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3. 12 二 含参函数的最值 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 例 2 14 f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a. ①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时,f(x)在上单调递减, 在上单调递增. 所以f(x)min=f=. 15 综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3; 当a=0时,f(x)的最小值为0; 当a<0时,f(x)的最小值为. 16 当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值. f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a. 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增. 因为f(-a)=-a3,f=,f(a)=-a3,f(2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 延伸探究 17 (1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况. 含参数的函数最值问题的两类情况 反 思 感 悟 18 　已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 跟踪训练 2 19 f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),x∈[0,2]. 令f'(x)=0,得x1=0,x2=. ①当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增, 从而f(x)max=f(2)=8-4a. ②当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减, 从而f(x)max=f(0)=0. 20 ③当0<<2,即0<a<3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 从而f(x)max= 综上所述,f(x)max= 21 由最值求参数的值或取值范围 三 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 例 3 23 由题意知a≠0, f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). ①若a>0,则当x变化时, f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f'(x)   + 0 -   f(x) -7a+b 递增↗ b 递减↘ -16a+b 24 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值, ∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2. x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f'(x)   + 0 -   f(x) -7a+b 递增↗ b 递减↘ -16a+b 25 ②若a<0,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值, ∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 26 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 反 思 感 悟 27 　已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 跟踪训练 3 28 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1, ∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 递增↗ 28 递减↘ -4 递增↗ 29 ∴当x=-3时,h(x)有极大值28; 当x=1时,h(x)有极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28, ∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28, 则k≤-3.∴k的取值范围为(-∞,-3]. 30 1.知识清单： (1)含参函数的极值. (2)含参函数的最值. (3)由最值求参数的值或取值范围. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 课堂小结 随堂演练 四 由题意得,f'(x)=3ax2,则f'(1)=3a=6,解得a=2, 所以f'(x)=6x2≥0, 故f(x)在[1,2]上单调递增,则f(2)=2×23+c=20,解得c=4. 1 2 3 4 1.已知函数f(x)=ax3+c,且f'=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为 A.1 B.4 C.-1 D.0 √ 1 2 3 4 2.函数f(x)=的最大值为 A.a B.e C.e1-a D.ea-1 f(x)=,则f'(x)=, 所以当x<1-a时,f'(x)>0, 当x>1-a时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增, 在(1-a,+∞)上单调递减, 所以f(x)max=f=ea-1. √ 因为x>0,f'(x)=a-=, 所以当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(0,+∞)上没有极值点. 1 2 3 4 3.函数f(x)=ax-1-ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为　　　　. 0 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为　　,f(x)在[-2,2]上的最大值为　　. 3 3 所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37, 所以a=3. 所以当x=0时,f(x)取得最大值3. f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 由f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表： 1 2 3 4 x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f'(x)   + 0 - 0 f(x) -40+a 递增↗ 极大值a 递减↘ -8+a 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.函数f(x)=x3+x2+x-2a的极值点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 因为f'(x)=x2+x+=≥0, 所以f(x)在R上单调递增, 所以函数f(x)不存在极值点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值,则a等于 A.2 B.1 C. D.0 ∵f(x)在x=处有最值, ∴x=是函数f(x)的极值点. 又f'(x)=acos x+cos 3x, ∴f'=acos +cos π=0,解得a=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)上有最小值,则a的取值范围是 A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D. f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,可得a=x2, ∵x∈(0,1),∴a∈(0,1). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.若函数f(x)=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于 A.0 B.1 C.2 D. f'(x)=3x2+3x=3x(x+1), 易知当-1<x<0时,f'(x)<0; 当-2≤x≤-1或0<x≤1时,f'(x)>0, 所以函数f(x)=x3+x2+m在[-2,-1],(0,1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减, 又当x=-1时,f(x)=m+,当x=1时,f(x)=m+,所以最大值为m+=,解得m=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0, 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a. 若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值,则a的可能取值为 A.- B. C.-1 D.0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵f(x)=x3+x2-2x+1, ∴f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 当-2<x<1时,f'(x)<0,故f(x)单调递减; 当x<-2或x>1时,f'(x)>0,故f(x)单调递增, ∴函数f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令f(x)=f(1),解得x=1或x=-, ∵函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值, 且(2a,2a+3)为开区间, ∴-<2a<1<2a+3,解得-1<a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+m在区间上的最大值是20,则实数m的值等于　　　　. -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x)=-3x2+6x+9, 令f'(x)<0,解得x<-1或x>3; 令f'(x)>0,解得-1<x<3, ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞),单调递增区间为(-1,3), ∴f(x)在[-2,-1]上单调递减,在[-1,2]上单调递增, 又f(-2)=8+12-18+m=2+m, f(2)=-8+12+18+m=22+m, ∴f(2)>f(-2), ∴f(2)是f(x)在区间[-2,2]上的最大值,于是有22+m=20,解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　. 1 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 又当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax, ∴f'(x)=-a, 令f'(x)=-a=0,得x=, 当0<x<时,f'(x)>0; 当<x<2时,f'(x)<0. ∴f(x)max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞), f'(x)=-=, ∵a<0, ∴f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知函数f(x)=ln x+. (1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值. 当x∈[1,e]时,分如下情况讨论： ①当a≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数在 [1,e]上的最小值是相矛盾; ②当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增, ∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=; ③当a≥e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+≥2, 这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾. 综上所述,a的值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值. f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2, 由a≠,得-2a≠a-2. 分以下两种情况讨论： ①若a>,则-2a<a-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2a),(a-2,+∞),单调递减区间为(-2a,a-2),函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. ②若a<,则-2a>a-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞),单调递减区间为(a-2,-2a), 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2), 且f(a-2)=(4-3a)ea-2,函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一章 <<< $$ 习题课　含参函数的极值与最值 [学习目标]　1.能利用导数求简单的含参函数的极值、最值.2.能根据最值求参数的值或取值范围. 一、含参函数的极值 例1　已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值. 解　∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0, ∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a), 令f'(x)=0,得x=或x=. ①当a>0时,<, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表: x f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴当x=时,函数取得极大值f=; 当x=时,函数取得极小值f=0. ②当a<0时,<, 则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表: x f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ ∴当x=时,函数取得极大值f=0; 当x=时,函数取得极小值f=. 综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=,在x=处取得极小值f=0; 当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值f=0,在x=处取得极小值f=. 反思感悟　求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 跟踪训练1　设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值. 解　由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)], 令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1. (1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)]. f'(x),f(x)随x的变化情况如表: x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 由表可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1). (2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值. 当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3. 二、含参函数的最值 例2　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 解　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a. ①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时,f(x)在上单调递减, 在上单调递增. 所以f(x)min=f=. 综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3; 当a=0时,f(x)的最小值为0; 当a<0时,f(x)的最小值为. 延伸探究　当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值. 解　f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a. 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增. 因为f(-a)=-a3,f=,f(a)=-a3,f(2a)=2a3. 所以f(x)max=f(2a)=2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. 反思感悟　含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况. 跟踪训练2　已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 解　f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),x∈[0,2]. 令f'(x)=0,得x1=0,x2=. ①当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增, 从而f(x)max=f(2)=8-4a. ②当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减, 从而f(x)max=f(0)=0. ③当0<<2,即0<a<3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 从而f(x)max= 综上所述,f(x)max= 三、由最值求参数的值或取值范围 例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 解　由题意知a≠0, f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). ①若a>0,则当x变化时, f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f'(x) + 0 - f(x) -7a+b 递增↗ b 递减↘ -16a+b 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2. ②若a<0,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值, ∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 跟踪训练3　已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 解　∵h(x)=x3+3x2-9x+1, ∴h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 递增↗ 28 递减↘ -4 递增↗ ∴当x=-3时,h(x)有极大值28; 当x=1时,h(x)有极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28, ∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28, 则k≤-3.∴k的取值范围为(-∞,-3]. 1.知识清单: (1)含参函数的极值. (2)含参函数的最值. (3)由最值求参数的值或取值范围. 2.方法归纳:转化法、分类讨论. 3.常见误区:分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏. 1.已知函数f(x)=ax3+c,且f'=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为(　　) A.1 B.4 C.-1 D.0 答案　B 解析　由题意得,f'(x)=3ax2,则f'(1)=3a=6,解得a=2, 所以f'(x)=6x2≥0, 故f(x)在[1,2]上单调递增,则f(2)=2×23+c=20,解得c=4. 2.函数f(x)=的最大值为(　　) A.a B.e C.e1-a D.ea-1 答案　D 解析　f(x)=,则f'(x)=, 所以当x<1-a时,f'(x)>0, 当x>1-a时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增, 在(1-a,+∞)上单调递减, 所以f(x)max=f=ea-1. 3.函数f(x)=ax-1-ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为　　　　.  答案　0 解析　因为x>0,f'(x)=a-=, 所以当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(0,+∞)上没有极值点. 4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为　　　　,f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　.  答案　3　3 解析　f'(x)=6x2-12x=6x(x-2). 由f'(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f'(x) + 0 - 0 f(x) -40+a 递增↗ 极大值a 递减↘ -8+a 所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37, 所以a=3. 所以当x=0时,f(x)取得最大值3. 课时对点练　[分值:65分] 单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共6分 1.函数f(x)=x3+x2+x-2a的极值点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　因为f'(x)=x2+x+=≥0, 所以f(x)在R上单调递增, 所以函数f(x)不存在极值点. 2.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处有最值,则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案　A 解析　∵f(x)在x=处有最值, ∴x=是函数f(x)的极值点. 又f'(x)=acos x+cos 3x, ∴f'=acos +cos π=0,解得a=2. 3.已知函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)上有最小值,则a的取值范围是(　　) A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D. 答案　B 解析　f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,可得a=x2, ∵x∈(0,1),∴a∈(0,1). 4.若函数f(x)=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　C 解析　f'(x)=3x2+3x=3x(x+1), 易知当-1<x<0时,f'(x)<0; 当-2≤x≤-1或0<x≤1时,f'(x)>0, 所以函数f(x)=x3+x2+m在[-2,-1],(0,1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减, 又当x=-1时,f(x)=m+,当x=1时,f(x)=m+,所以最大值为m+=,解得m=2. 5.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 答案　A 解析　f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0, 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a. 若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1. 6.(多选)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值,则a的可能取值为(　　) A.- B. C.-1 D.0 答案　AD 解析　∵f(x)=x3+x2-2x+1, ∴f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 当-2<x<1时,f'(x)<0,故f(x)单调递减; 当x<-2或x>1时,f'(x)>0,故f(x)单调递增, ∴函数f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值. 令f(x)=f(1),解得x=1或x=-, ∵函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值, 且(2a,2a+3)为开区间, ∴-<2a<1<2a+3,解得-1<a<. 7.(5分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+m在区间上的最大值是20,则实数m的值等于　　　　.  答案　-2 解析　f'(x)=-3x2+6x+9, 令f'(x)<0,解得x<-1或x>3; 令f'(x)>0,解得-1<x<3, ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞),单调递增区间为(-1,3), ∴f(x)在[-2,-1]上单调递减,在[-1,2]上单调递增, 又f(-2)=8+12-18+m=2+m, f(2)=-8+12+18+m=22+m, ∴f(2)>f(-2), ∴f(2)是f(x)在区间[-2,2]上的最大值,于是有22+m=20,解得m=-2. 8.(5分)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　.  答案　1 解析　由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 又当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax, ∴f'(x)=-a, 令f'(x)=-a=0,得x=, 当0<x<时,f'(x)>0; 当<x<2时,f'(x)<0. ∴f(x)max=f=-ln a-1=-1. 解得a=1. 9.(12分)已知函数f(x)=ln x+. (1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(4分) (2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.(8分) 解　函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞), f'(x)=-=, (1)∵a<0, ∴f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. (2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论: ①当a≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾; ②当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增, ∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=; ③当a≥e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+≥2,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾. 综上所述,a的值为. 10.(12分)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值. 解　f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2, 由a≠,得-2a≠a-2. 分以下两种情况讨论: ①若a>,则-2a<a-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2a),(a-2,+∞),单调递减区间为(-2a,a-2),函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. ②若a<,则-2a>a-2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞),单调递减区间为(a-2,-2a), 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2), 且f(a-2)=(4-3a)ea-2,函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. 学科网（北京）股份有限公司 $$