1.3 导数在研究函数中的应用 第一课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数”核心知识点，通过跳水运动员高度变化的抛物线情境导入，衔接导数定义前序知识，以问题驱动引导学生探究导数正负与函数增减的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，结合数学思维展开逻辑推理，用数学语言精准表述规律。通过二次函数求导分类讨论单调性、三次函数解导数不等式确定单调区间等实例，总结“定义域-求导-解不等式”三步法，培养学生严谨思维，教师可借助清晰结构提升教学效率，学生能深化对导数应用的理解。

1.3 导数在研究函数中的应用 第一课时 情景与问题 跳水运动员从跳台上跳下,随着时间的变化,离水面的高度也是在不断地变化中,整体会呈现出一个抛物线 函数的单调性与导数 知识讲解 函数的单调性与导数 同学们,你们知道运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水的这两段时间的运动状态有什么区别吗? 函数的单调性与导数相关 函数的单调性与导数 函数单调性的定义 一般的,设函数的定义域为,区间 若任意,当时,都有,则称在区间上是增函数 若任意,当时,都有,则称在区间上是减函数 函数在区间上的单调性 函数的单调性与导数 函数的单调性 函数的解析式复杂 利用定义法 — 较为困难 — 函数的单调性与导数 而函数的瞬时变化率就是函数的导数,那么函数的导数与函数的单调性有什么样的关系呢? 我们能否用导数来判断函数的单调性呢? 函数的单调性与导数 函数的单调性与函数的导数之间的关系 函数的单调性与导数 函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的关系呢? 函数单调递增,导数为正 函数单调递减,导数为负 函数单调递增,导数还是为正 右边 左边 中间 图一 图二 函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的关系呢？ 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数 函数的单调性和它的导数的正负之间有着明确的关系,在一定的区间之内,函数的导数为正时,函数单调递增,函数的导数为负时,函数单调递减 图三 图四 函数的单调性与导数 通过对这些例子的观察,我们发现,对于一般函数,其单调性与其导函数的正负之间有如下法则: 若在区间内,,则函数在此区间内单调递增,为的单调递增区间 若在区间内,,则函数在此区间内单调递减,为的单调递减区间 函数的单调性与导数 我们知道常数函数的导函数恒为0,所以如果恒有,则为常数函数 会是一个什么样的函数呢? 图五 函数的单调性与导数 导数为正 斜率为正 增函数曲线的几何特征 导数是平均变化率的极限 函数的单调性与导数 导数是平均变化率的极限 合起来的平均变化率也为正 因而递增 函数的单调性与导数 例 求用导数研究二次函数的单调性 解:对该二次函数求导可得 令 分类讨论 两种情况 当时,,当时, 令 当时,,当时, 当时,在上单调递减,在上单调递增 当时,在上单调递增,在上单调递减 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数 导数的正负 函数的增减 求函数的单调区间 解:对函数求导得 令则 或 因此,函数 在区间和上单调递增 令 因此,函数在区间 上单调递减 例 则 函数的单调性与导数 那么导数的绝对值大小和函数的性态又有什么关系呢? 绝对值大 跑得快 瞬时速度 (位移)时间 ′ 绝对值小 跑得慢 函数的单调性与导数 (函数值)′自变量 瞬时变化率 绝对值大 = 函数的导数 函数值变得快 绝对值小 函数值变得慢 导数是切线的斜率 函数的单调性与导数 如图,圆和直角三角形的两边相切,射线从处开始,绕点匀速旋转(到处为止)时,所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数,它的图像大致为( ) 例 函数的单调性与导数 被圆所截到的弦长有变化 面积的瞬间变化率也变化 函数的单调性与导数 从处匀速转到时,被截得弧弦长是从小到大,等到过程中间的时候,弦长最长,是圆的直径,再往后走就是慢慢的 减少 ,因此,曲线开始的时候由平缓变陡,待到过程一半的时候,曲线最陡,再后面又慢慢的由陡变缓,只有选项中的图象具有上述特点,所以选 解: 函数的单调性与导数 那么用导数判断函数的单调性的基本步骤是什么呢? 利用导数我们可以判断比较复杂的函数的单调性 (1)确定函数的定义域 (2)求出函数的导数 (3)解不等式,得函数 单调递增区间 解不等式,得函数 单调递减区间 注意:单调区间要在函数的定义域内 导数判断函数的单调性的基本步骤: 函数的单调性与导数 问题解决 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数的关系 如何求函数的单调区间 总结 感谢您的观看 THE END $